PhD Thesis

Como sabemos las columnas de este complejos son sumas directas de complejos
Koszul K(dfr) truncados
En el anillo RP se cumple que
(L ′ m+p)P = L ′ m+p(x1, . . . , xr).
Es decir la aplicación ω → dfr ∧ ω y el complejo K((fr)x1, . . . , (fr)xm) se
transforma en ω → dxr ∧ω, y K(dxr). Se prueba que este último complejo es
exacto. Como los complejos E ′ , y (B∗,t, dfr) para t ∈ {0, 1, . . . , m} son sumas
directas del complejo de Koszul K(dxr), y de complejos que se obtienen de
truncar el complejo de Koszul entonces E ′ es exacto y U ′ t es exacto excepto
posiblemente en el último nivel.
Si tomamos cohomología a las columnas del complejo L ′ m+p obtenemos el
siguiente complejo C :
· · ·
Hm (E ′ ) Hm−1
(B∗,1, dfr)
Hm−r (B∗,r, dfr)
H m−r−1 (B∗,r+1, dfr)
. . .
H1 (U ′
1)
Ω0
El complejo C es quasi isomorfo al complejo L ′ m+p. Por lo tanto C es exacto.
Esto significa que el complejo M ′′ definido como
Hm−r (B∗,r, dfr) Hm−r−1
(B∗,r+1, dfr) Hm−r−2
(B∗,r+2, dfr)
. . . H2
(B∗,m−2, dfr) H1
(B∗,m−1, dfr)
B0,m
tiene cohomología cero para todo grado diferente de m−r. Como el complejo
M ′′ se obtiene al tomar cohomología a las columnas del complejo M ′ P (ver
Complejo 2.25) entonces M ′ P y M ′′ son quasi isomorfos. Por lo tanto M ′ P es
exacto salvo en el último nivel.
Observación. Notemos Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I. Como el complejo Lm+p se
puede escribir como un bicomplejo (ver Página 114), tenemos una secuencia
espectral E r ∗,∗ que converge a la cohomología del complejo Lm+p.
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