PhD Thesis

dim(H m−r (Lj(f1, . . . , fr))) + dim(H m−r (Lj−1(f1, . . . , fr)))−
· · · + · · ·
dim(H t−1 (Lj(f1, . . . , fr−1))) − dim(H t−1 (Lj(f1, . . . , fr)))
dim(H t−1 (Lj−1(f1, . . . , fr))) − dim(ker(i ∗ )),
donde i ∗ : H t ((Lj(f1, . . . , fr−1))) ≤t+1 ) → H(Lj((f1, . . . , fr)) ≤t+1 ), las dimensiones
del lado derecho se conocen, y el signo ± depende con el signo que se
comience la suma y resta alternada.
Prueba. Del Lema anterior conocemos la dimensión de los módulos de cohomología
de los complejos Lj cuando I = 〈f, g〉 es generado por una secuencia
regular de longitud dos. Por lo tanto por inducción podemos suponer que
hemos calculado la dimensión de los módulos de cohomología de los complejos
Lj cuando I = 〈f1, . . . , fr〉 es generado por una secuencia regular de
longitud r. Sea I = 〈f1, . . . , fr, fr+1〉 una icis generada por una secuencia
regular de longitud r + 1. Sin perdida de generalidad podemos suponer que
I ′ = 〈f1, . . . , fr〉 genera una icis (ver Proposición 2.24). Del Lema 2.80 tenemos
ya calculado el módulo
para toda icis. Como
H m−r (Lj) = T or1(H m−r+1 (L ′ j) ≤m−r+1 , R/I),
H ∗ (Lm−(r+1)+1) = T orm−(r+1)+1−∗(H(L ′ m−(r+1)+1), R/I)
podemos admitir que hemos calculado la dimensión de los módulos de Lj−1
para la icis I = 〈f1, . . . , fr, fr+1〉, para j ≥ m − (r + 1) − 1.
De la Proposición 2.43 tenemos la secuencia exacta de complejo
0
Lj(f1, . . . , fr)
Lj(f1, . . . , fr+1)
Lj−1(f1, . . . , fr+1)
Si cortamos la secuencia anterior en nivel m − r + 2 tenemos la secuencia
exacta corta de complejos
0
(Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2
(Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2
(Lj−1(x1, . . . , fr+1) ≤m−r+2
0.
119
0.