PhD Thesis

Gr(H m (Γ(f, g))) = ⊕p≥0H m (Em+p(0)), y Gr(H m (Em+p(0))) = ⊕ p
i=0 (R/Jf)i.
Prueba. Notemos que las columnas del complejo E ′ m+p(0) estan formadas
por el complejo K(df). Como por hipótesis f tiene una singularidad aislada,
K(df) es exacto excepto en el último nivel. Por lo tanto H s (Γ(f, g)) = 0 para
todo s < m. De la secuencia exacta larga en cohomología de la secuencia
0
Γ(f, g)
obtenemos la secuencia
0
H m (Γ(f, g))
M(f, g)
m−1 H (M(f, g))
m H (M(f, g))
Γ(f, g)[−1]
m H (Γ(f, g))y
Como los complejos (E ′ m+p(0), δ) son exactos salvo en el último nivel un
argumento rutinario de filtraciones nos llevan a la igualdad
Gr(H m (Γ(f, g))) =
H m (Em+p(0)).
El hecho que Gr(H m (Em+p(0))) = p
i=0 (R/Jf)i se sigue del Lema 2.61.
3.4.3. El Complejo Ω≥m
M(f,g) .
Ω ≥m
M(f,g)
p≥0
Brindamos información sobre los módulos de cohomología del complejo
. Para ello nos basamos en el Lema 3.15.
Lema 3.35. El complejo
es exacto excepto en el último nivel, y
Ω ≥m
M(f, g)
Gr(H0( Ω≥m
M(f, g) )) = Gr(Hm−1 ( Ω≥m
)) = [(
M(f, g) Jg
) ⊗ R/ 〈f〉]i
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i>0
0.
Jf,g
0