PhD Thesis

〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano de F no se anula en un punto p de Y si sólo si el
anillo de gérmenes de funciones regulares de Y en p
Op,Y := {〈U, f〉 : U es un abierto en Y, f es una función regular}
es un anillo regular local. A continuación presentamos brevemente los elementos
que intervienen en esta afirmación. Por definición una aplicación
f : X → k es regular si para todo punto p ∈ Y existe un abierto U con
p ∈ U ⊂ Y, y polinomios g, h ∈ k[x1, . . . , xn] tal que h es no nulo en U y
f = g
h . Aquí interpretamos los polinomios como funciones de kn a k. Diremos
que f es regular en Y si es regular en todo punto de Y . El elemento 〈U, f〉 es
una clase de equivalencia, donde dos pares (U, f) y (V, g) son equivalentes si
sólo si f = g en U ∩ V. Gracias a [Hart, Teorema I.3.2] se puede identificar
Op,Y con (k[x1, . . . , xn]/I(Y ))P . Por otro lado se prueba que en el anillo
(k[x1, . . . , xn])P se cumple que c = ht(I(Y )), donde dim(Op,Y ) = n − c.
Finalmente presentamos formalmente la afirmación que realizamos al inicio
de la observación :
Teorema 1.32. Sea Y ⊂ k n una variedad afín. Sea p ∈ Y un punto de Y.
Entonces Y es no singular en p si sólo sí el anillo local Op,Y es un anillo
regular local.
Prueba. [Hart, Teorema 5.1].
Ejemplo 1.33. Usaremos el teorema para verificar que el punto (0, 0) es
singular para f(x, y) = x 2 + y 3 en el anillo (k[x, y](x,y), η). El polinomio f
es irreducible. A partir de aquí se prueba que 〈f〉 = 〈f〉 . Por lo tanto si
tomamos Y = Z(f) entonces I(Y ) = I(Z(f)) = 〈f〉 = 〈f〉 .
La dimensión del anillo (k[x, y]/ 〈f〉)(x,y) es uno. Si evaluamos la matriz
jacobiana de f en el punto (0, 0) obtenemos que el rango de esta es cero.
Por lo tanto usando el Teorema 1.32 obtenemos que (k[x, y]/ 〈f〉)(x,y) no es
regular local.
Ejemplo 1.34. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f. Entonces R es un dominio -ver
Lema A.6 o Corolario 10.14 de [Eis.]- y Ω1 R es un R-módulo libre finitamente
generado por el Teorema 1.28. Entonces Ω1 es un R-módulo finito universal
R|k
con derivada finita, es decir
˜Ω 1 R|k = Ω1 R|k .
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