PhD Thesis

Observación. Del Capítulo anterior tenemos que los elementos f + α · g que
cumplen la condición ht(Jα) < m son un número finito. Entonces definamos,
como en el Capítulo 2,
W := {α/ht(Jα) < m} .
Lema 3.15. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. I = 〈f, g〉 un ideal de intersección
completa con una singularidad aislada en η. Sea h = f + α0 · g generador de
I con una singularidad aislada en η. Entonces existe h ′ generador del ideal I
el cual cumplen las siguientes condiciones :
1) El generador h ′ tienen una singularidad aislada en η, e I = 〈h, h ′ 〉.
2) La aplicación
h ′ : Jh
Jh,h ′
definida como a ↦→ a · h ′ es inyectiva.
−→ Jh
Jh,h ′
Prueba. Sea M = Jh
Jh,g , donde h = f + α0 · g tiene una singularidad aislada
en η. Definamos hλ := f + λ · g ∈ R con λ ∈ k − {W ∪ α0} , y asumamos que
para todo λ ∈ k − W se cumple que la aplicación
hλ : Jh
Jh,g
−→ Jh
Jh,g
definida como a ↦→ a · hλ no es inyectiva. Entonces para cada λ ∈ k − W
existe xλ ∈ M tal que hλ ∈ Ann(xλ).
De la Proposición A.26 podemos decir que cada Ann(xλ) esta contenido
en al menos un ideal primo p ∈ Ass(M). De la Proposición A.27 se sigue que
Ass(M) son un conjunto finito. Los elementos f +λ·g con λ ∈ k −{W ∪ α0}
son infinitos. Por lo tanto podemos afirmar que existe un primo p ∈ Ass(M)
y elementos α = β tal que f + α · g, f + β · g ∈ p = ann(x) y x ∈ M es no
nulo (ver Definición [Mats]). Como α = β se prueba que f · x = g · x = 0. Es
decir
x · hλ = 0 (3.9)
para todo λ ∈ k.
Por otro lado hemos probado que :
Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f y I = 〈f, g〉 una variedad con una singularidad
aislada en η entonces el complejo Lm−1 cumple H i (Lm−1) = 0 para todo
i ≤ m − 3 (ver Corolario 2.51)
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