PhD Thesis

por lo tanto
ϕ j
m−1 ◦ δ = δ ◦ ϕ j
m−1
El caso T ot(ξ j , δ, β) es similar. Del diagrama
0
0
(ξi j+k , δ)k≥0
ϕ j ∗
2j−∗
Lj
j T ot(ξ , δ, β)
ϕ j ∗
2j−∗
Dj
j T ot(ξ , δ, β)
ϕ j−1
∗
2j−∗
Dj−1 al tomar homología y ver que ϕj m es un isomorfismo entre las homologías de
los complejos (ξi j+k , δ)k≥0 y L 2j−∗
j (ver Teorema 3.3 [CGG]) tenemos que ϕj m
es un isomorfismo entre las homología de los complejos T ot(ξj , δ, β) y D 2j−∗
j .
El argumento es el mismo que demuestra que un isomorfismo en homología
de Hochschild produce un isomorfismo en cíclica. La demostración que ϕ j m
es un quasi isomorfismo se presenta en el Teorema 3.3 de [CGG].
Corolario 1.107. Bajo las hipótesis del Teorema anterior, tenemos
[n/2]
1) HCn(A0/I) = Hn−2i (D∗ n−i)
2) HHn(A0/I) =
i=0
[n/2]
H
i=0
n−2i (L∗ n−i)
donde [s] representa el máximo entero de s y la secuencia exacta larga de
Gysin-Connes es la suma de las secuencias exactas largas de homología asociadas
con la secuencia exacta corta
0
L∗ j
D∗ j
D∗ j−1
Prueba. [CGG, Corolario 3.4].
Observación. A continuación describiremos la aplicación θ : T (A) → ξ de
[CGG, Teorema 2.6]. Esta nos permitirá apreciar mejor la descomposición de
la secuencia S.B.I. Que es el motivo por el cual presentamos esta observación.
El primer hecho a tener en cuenta es que θ : Tp,q → ξ p
p+q. En efecto un
elemento z ∈ Tp,q es de la forma z = a0x0 ⊗ a1x1 ⊗ . . . ⊗ apxp; donde ai ∈ A0,
xi ∈ ∧V, y p
i=1 |xi| = q. Entonces se prueba usando la definición de β que
θ(z) esta formado por sumas de elementos de la forma
0.
a0aj1 . . . ajp−sβ(ai1) . . . β(ais) · xi1 . . . xisxj1 . . . xjp−s,
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0.
0