PhD Thesis

Prueba. Admitamos que la tesis no se cumple. Es decir H t (K(x1, . . . , xn)) =
0 para todo t ≤ r1 y r1 < r. Entonces del Teorema anterior tenemos que la
maxima cadena de R−secuencias tiene longitud menor igual a r1. Lo cual
significa que profundidad(x1, . . . , xn) ≤ r1 < r. La última desigualdad es una
contradicción con la hipótesis y prueba el Corolario.
Proposición A.38. Si (R, η) es local y 〈x1, . . . , xn〉 es un ideal propio conteniendo
una secuencia regular de longitud n entonces x1, . . . , xn es una secuencia
regular.
Prueba. De la definición de secuencia regular y el Corolario 17.7 de [Eis]
será suficiente tomar M = R.
Proposición A.39. Si N = N ′ ⊕ N ′′ entonces ∧N = ∧N ′ ⊕ ∧N ′′ como
álgebra conmutativa graduada. Sea x ′ ∈ N ′ y x ′′ ∈ N ′′ tal que x = (x ′ , x ′′ ) ∈
N entonces
K(x) = K(x ′ ) ⊗ K(x ′′ )
como complejos.
Prueba. [Eis, Proposición 17.9].
Nota. Un hecho que usaremos repetidas ocasiones en la tesis es el siguiente
Corolario A.40. Sea R un anillo y x = (x1, . . . , xn) ∈ N R n entonces
K(x1, . . . , xn) = K(x1) ⊗ · · · ⊗ K(xn)
Prueba. La demostración será por inducción sobre n, para valores mayores
que uno.
Si n = 2 entonces x = (x1, x2) ∈ N. De la proposición anterior con x ′ = x1
y x ′′ = x2, N ′ = R, N ′′ = R se tiene que
K(x1, x2) = K(x1) ⊗ K(x2).
Si n = r, supongamos que K(x1, · · · , xr) = K(x1) ⊗ · · · ⊗ K(xr).
Sea x = (x1, . . . , xr+1) = (x ′ , x ′′ ) donde x ′ = (x1, . . . , xr) y x ′′ = xr+1. De
la proposición anterior tenemos que
K(x1, . . . , xr+1) = K(x ′ ) ⊗ K(x ′′ ).
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