PhD Thesis

Prueba. [CGG, Corolario 2.7].
Notemos que
ξp,q = ξ p
p+q.
Observación. A continuación justificaremos, sin demostración, por que la
necesidad de calcular HH(A0 ⊗ ∧V, ∂) y HC(A0 ⊗ ∧V, ∂). Primero debemos
de recordar que el álgebra (A0 ⊗ ∧V, ∂), si V = V1 = ⊕r i=1ei, es el complejo
de Koszul (ver Ejemplo 1.67). Cuando ∂(ei) = fi con i = 1, . . . , r forman
una secuencia regular se prueba que el álgebra (A0 ⊗∧V, ∂) es una resolución
de A0/I, donde I = 〈fi : i = 1, . . . , r〉 (ver Lema 1.70.) De la definición del
bicomplejo T (A0 ⊗ ∧V ) se observa que las filas de este complejo son dadas
por el producto tensorial del complejo (A0 ⊗ ∧V, ∂), sobre el cuerpo k. Por
lo tanto usando las fórmulas de Kunnet se prueba que la filas (A0 ⊗ ∧V, ∂) ⊗∗
son quasisomorfas a (A0/I) ⊗∗ y que por lo tanto el bicomplejo T (A0 ⊗∧V ) es
quasisomorfo al complejo de Hochschild (C(A0/I), b). Siguiendo los mismos
lineamientos se demuestra que la homología cíclica del álgebra (A0 ⊗ ∧V, ∂)
proporciona la homología cíclica del álgebra A0/I. A continuacion describimos
los complejos ξj ∗ y proporcionamos de manera informal cierto quasiisomorfismo
entre el complejo ξ j
k y cierto complejo Lj que luego formalizamos.
En efecto, sea
ξ j δ
δ
· · · ξ j
δ
δ . . .
ξj ∗ : 0 ξ j
j
donde ξ j
k = j
i=0 Ωi A0 ⊗ (∧V ⊗ ∧V j−i )k−i. Usando el isomorfismo
ξ j
k
j
i=0
j+1
si definimos t := 2j − i se prueba que
ξ j
k
j+∗
(Ω i A0 ⊗ V j−i ) ⊗A0 (A0 ⊗ ∧V )k+i−2j,
2j
(Ω 2j−t ⊗ V t−j ) ⊗A0 (A0 ⊗ ∧V )k−t.
t=j
Definición 1.103. Definamos el complejo (L ′ j, δ) como
(L ′ j, δ) : Ωj ⊗ ∧V 0
δ
Ωj−1 ⊗ ∧V 1
δ
· · ·
0.
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Ω 0 ⊗ ∧V j
δ