PhD Thesis

Prueba. [Eis, Lema 17.13].
Corolario A.43. Si algún xi es unidad en el anillo (R, η) entonces
K ∗ (x1, . . . , xn) : R
donde N = ⊕ n 1ei · R es contráctil.
dx dx
N
2 ∧ N
· · ·
Prueba. Si x1 es unidad en R, definamos
ϕ : N −→ R
dx dx
n−1 ∧ N
n ∧ N
como ϕ(e1) = 1
x1 , y ϕ(ei) = 0 para todo i mayor que uno.
De la definición de ϕ tenemos que ϕ(x) = 1. Del lema anterior se sigue
que
dx · ∂ϕ + ∂ϕ · dx = ϕ(x) = 1 − 0.
A.3. El Ideal Jacobiano.
La definición que presentaremos del ideal jacobiano será sólo para anillos
regulares locales. Esta se basá en el hecho que Ω1 R es libre.
Definición A.44. Sea R un anillo r.l.e.t.f. Sea F = (f1, . . . , fr) con r ≥ 1 tal
donde m =
que ht(I) = c e I = 〈f1, . . . , fr〉 . Sea e1, . . . , em una base de Ω1 R
dim(R). Definamos la matriz jacobiana de F en la base e1, . . . , em como
Jac(F ) = (fi,j), donde dfj = Σm i=1fi,jei. Por definición el ideal jacobiano
JF (e1, . . . , em) es el ideal generado por los menores c × c de Jac(F ) = (fi,j).
Observación. La definición de ideal jacobiano JF que presentamos depende
de los generadores y del número de estos en el ideal I. Para probar esta
afirmación basta ver el siguiente ejemplo.
Ejemplo A.45. Sea (R; η) = k[x, y](x,y) e I = 〈f = x 2 + y 2 , g = x 2 − y 2 〉,
es claro que I representa una icis. Un cálculo nos hace ver Jf,g = 〈xy〉. Los
polinomios f ′ = (1+xy)(x 2 +y 2 ) y g ′ = y 2 generan el ideal I. De la definición
de ideal jacobiano tenemos que Jf ′ ,g ′ = 〈y2 x 2 + y 4 + 2xy + 2x 2 y 2 〉.
Por otro lado si h = (1 − xy)x 2 , es claro que I = 〈f, g, h〉 y un cálculo
nos lleva a que Jf,g,h = 〈xy, x 4 + y 4 , x 4 − y 4 〉, aquí estamos tomando todos
los menores de orden 2 × 2 de la matriz jacobiana de F = (f, g, h). Es claro
que ht(Jf,g,h) = m = 2.
181