PhD Thesis

Prueba. Sea P un ideal primo en el anillo R/I diferente del maximal. Como
siempre obviaremos la notación de clase de equivalencia en el anillo R/I.
Como ht(Jf,g) = m − 2 entonces P Jf,g. Por lo tanto del Teorema 2.48 se
tiene que H i ((Lj)P ) = 0 para todo i = j. Una aplicación directa del Criterio
de exactitud en el anillo R/I concluye la prueba.
Observación. A continuación demostraremos que los generadores f, g del
ideal I forman una secuencia H j (L ′ j)−regular para j ≤ m−2. Esta propiedad
no se usa en el trabajo pero afianza el manejo de las propiedades del complejo
de Koszul. Como los complejos L ′ j para j ≤ m − 2 tienen cohomología cero
para todo i = j (Corolario 2.52) y Lj = L ′ j ⊗ R/I entonces
H s (Lj) = T orj−s(H j (L ′ j), R/I).
De la proposición anterior tenemos que T orj−s(H j (L ′ j), R/I) = H s (Lj) = 0,
para todo s < j. De aquí (siguiendo el mismo procedimiento que se presenta
en el Teorema A.33 del Apéndice) se prueba que f, g forman un secuencia
H j (L ′ j)−regular para todo j ≤ m − 2.
Observación. Una de las principales propiedades que usamos en las demostraciones
anteriores y que se manifiesta en el Teorema 2.47 es que los
módulos de cohomología de los complejos L ′ m+p están soportados en los primos
P ⊃ Jf,g. La otra propiedad que hemos usado es que los módulos de
cohomología de los complejos Lm+p están soportados sólo en el ideal maximal
(Proposición 2.53.)
A continuación demostraremos que los complejos Lm+p sólo tienen tres
términos de cohomología no nulos.
Teorema 2.54. Se cumple que H s (Lj) = 0, para todo s ≤ m − 3, s > m y
j ≥ m.
Prueba. Se sigue del Corolario 2.40 para j > m − 2.
Observación. A continuación presentamos el cálculo del módulo de cohomología
Hm−2 (Lm+p) para todo p 0. La primera parte de la prueba se basa
en el Teorema 2.47 y el hecho que ht(Jf,g) ≥ m−1. A continuación usaremos
la siguiente notación
Ω m−i
i,l,m+p =
|α|=i+p;a2=l
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y a1
1 y a2
2 Ω m−i ,