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. . . . . . . M3 M2 B B . . . M1 d+b M0 B B d+b M2 B d+b M0 . d+b M0 y la homología como HN∗(M) := H∗(T ot(CN)) como la homología cíclica negativa. Definición 1.78. Dado el bicomplejo (Mp,q, b, d) y B como en la Definición 1.76 definamos los complejos Lj de la siguiente manera Mj,0 d Mj,1 d d Mj,2 d Mj,∗ y el bicomplejo (Mp,q, d, B) como . . . B dd M2,1 . . . d · · · . B . d M1,1 . d M0,1 d d d B B M1,0 B M0,0. . . . M2,0 Finalmente definamos el complejo M ≥p como . . . B d Mp+2,1 . B . B d Mp+1,1 . d Mp,1 d d d B B Mp+1,0 B Mp,0. . . . Mp+2,0 29 B
Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y B : Mp,q −→ Mp+1,q como en la Definición 1.76. Si b = 0 entonces y HHn(M) = HCn(M) = n p=0 n p=0 Hn−p(Lp), Hn−p(E p ∗). Prueba. Se sigue del análisis anterior. Proposición 1.80. Sea (Mp,q, b, d) y B : Mp,q −→ Mp+1,q como en la Definición 1.76. Si b = 0 entonces HNk(M) = Hk−2p(M p ) p∈Z Prueba. Similar a la prueba anterior. Para grados bajos basta analizar la descomposición de la homología del siguiente complejo . · · · . · · · M30 ⊕ M21 ⊕ M12 ⊕ M03 d · · · M20 ⊕ M11 ⊕ M02 · · · M10 ⊕ M01 · · · M00 . B . M30 ⊕ M21 ⊕ M12 ⊕ M03 30 d M20 ⊕ M11 ⊕ M02 d M10 ⊕ M01 d M00 B . M20 ⊕ M11 ⊕ M02 M10 ⊕ M01 d M00
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. . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
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Notemos que puede ocurrir que ai
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2.2.3. Cálculo de la Homología de
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como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
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Prueba. Sea P un ideal primo en el
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Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
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Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
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Con esta notación el bicomplejo L
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Teorema 2.62. Existe una secuencia
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intercambiar el rol de f por el de
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Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1
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son cero, para todo p ≥ 1. En efe
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2.3. Homología de Hochschild para
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se trata de M(x1, . . . , xr) el de
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Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L
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Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 .
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y a1 1 · · · yar r ω → y a1 1
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Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo
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En el caso que el ideal I = 〈f, g
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para todo i = m − r + 1. Del crit
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En general los módulos de cohomolo
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Capítulo 3 Homología Cíclica. Lo
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el complejo Lj tiene cohomología c
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para todo t ≤ m − r − 2. Si t
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3.2. El Caso Quasihomogéneo En est
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tomamos la secuencia exacta larga
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Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0
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Observación. Del Capítulo anterio
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Prueba. El Lema 3.15 nos permite as
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Definamos el número de Milnor de l
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entonces en el anillo R/Jf,g tendr
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. . . . B d Ω2,1 B . d Ω1,1
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Como lím 1 H( ˆ Dj) = 0 entonces
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. . . Ωm−1 · x · xp+2 ⊕ Ω
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El complejo L ′ m+p se escribe co
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Lema 3.28. El morfismo β restricto
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Si z = ωxiyj y ∈ (E ′ m+p(0))t
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Gr(H m (Γ(f, g))) = ⊕p≥0H m (E
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F y una filtración del mismo. Del
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Prueba. Por definición (E ′ m+p(
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se denotará como β β . . . E∗
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Prueba. La demostración será por
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. . . 0 Lm+p−i−1(f) 0 Lm+p−
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Como β(x) = x, entonces el morfism
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que finalizan en I. Si el ideal I n
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Definición A.9. Sea (R, η) un ani
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Observación. Notemos que esta defi
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Prueba. [Mats, Teorema 36]. . Defin
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A.2. Complejo Koszul Nuestro princi
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Prueba. [Eis, Teorema 17.1] . Corol
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De la hipótesis inductiva se sigue
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Observación. Notemos también que
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Prueba. Del Corolario anterior tene
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Por lo tanto fk,j = s gk,iλi,j, es
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Como M/N η · M/N = M N ⊗ R/η,
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esta bien definida. Más aún si x
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Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (
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Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
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[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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