PhD Thesis

Prueba. Notemos que Ω 1 A tiene una estructura de A módulo, pues Ω1 A0 y
Ω 1 ∧V tienen estructura de A0 y ∧V módulos respectivamente, donde Ω 1 A0
tiene grado uno. Ahora definamos la siguiente aplicación d : A −→ Ω 1 A como
d(a ⊗ v) = da ⊗ v + a ⊗ dv.Veamos que d sea una derivación. En efecto, de
las igualdades
d(a ⊗ v · b ⊗ w) = dDR(ab) ⊗ vw + ab ⊗ dDR(vw) =
d(a)b ⊗ vw + ad(b) ⊗ vw + ab ⊗ d(v)w + (−1) |v| ab ⊗ vd(w) =
d(a)⊗v·b⊗w+a⊗d(v)·b⊗w+(−1) |v| a⊗v·d(b)⊗w+(−1) |v| a⊗v·b⊗d(w) =
d(a ⊗ v) · b ⊗ w + (−1) |v| a ⊗ v · d(b ⊗ w);
tenemos que d es una derivación según se define en [Vi]. A continuación
veremos que d cumple la propiedad universal. En el diagrama
A0
D
A
id⊗1
d
d
Ω1
∃!f
1
A0 Ω
id⊗1 A
claramente A0 ↩→ A y Ω1 A0 ↩→ Ω1A (pues k es un cuerpo). Es decir D induce
una derivación d1 = D ◦ (id ⊗ 1) sobre A0 y por la propiedad universal
existe una única aplicación f1 : Ω1 −→ M. El mismo análisis para ∧V nos
A0
proporciona f2 : Ω1 ∧V −→ M. Definamos f : Ω1A −→ M como f(adb ⊗ v) =
f1(bda)v, f(a ⊗ dv) = af2(v), y como f(d(a) ⊗ v + a ⊗ d(v)) = f1d(a)v +
af2d(v) = D(a ⊗ 1)v + aD(1 ⊗ v) = D(a ⊗ v), el diagrama
A
d
D
Ω1
∃!f
A
conmuta. La unicidad se sigue del hecho que f restricto a cada uno de los
sumandos es único por la propiedad universal de ΩA0 y Ω 1 ∧V respectivamente.
M
Lema 1.94. En ∧V ⊗ ∧V ⊗ ∧V existe un diferencial
M
δ : ∧V ⊗ ∧ p V ⊗ ∧V −→ ∧V ⊗ ∧ p−1 V ⊗ ∧V,
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