PhD Thesis

Si j ≥ m − r para m − r + 1 ≤ t ≤ m − 1 existe una secuencia exacta
0
H t (Lj)
t−1
HDR (Aj−t+1)
Ht (Dj)
π ∗
t−1 H (Dj−1)
Ht DR (Aj−t)
Prueba. En lo que sigue de la sección demostraremos los distintos casos del
teorema.
Los resultados se basan en el Corolario 2.40 y Lema 4 de [BACH] que
pasamos a enunciar.
Notación. En este Capítulo usaremos la siguiente notación
Ω i Ar =
Ω i A
I r Ω r A + dIr Ω r A
Lema 3.2. La imagen del morfismo π : H j−r (Dj) −→ H j−r (Dj−1) inducido
por la proyección canónica π ∗ : Dj −→ Dj−1 para todo 1 ≤ r ≤ j es dado por
π ∗ (H j−r (Dj)) = H j−r
DR (Ar)
Prueba. Lema 4 de [BACH].
Observación. A continuación describimos los módulos de cohomología de
los complejos Dj para grados menores que m−r. El primer paso es demostrar
la siguiente proposición :
Proposición 3.3. Si j < m − r entonces
para todo t ≤ j − 2.
H t (Dj) = H t (Dt+1)
Prueba. Sea j < m − r y t ≤ j − 2 < j. En la secuencia
0
Lj
Dj
123
.
π
Dj−1
0.
0