PhD Thesis

Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0 para todo t ≤ j − 1 (Proposición 3.10).
Un cálculo directo muestra que H j (Dj) = Ω j
A /dΩj−1
A .
Si j ≥ m − 2 entonces Ht (Dj) = 0 para todo t ≤ m − 2 − 1 (ver
/dΩm−3
A ,
.
Proposición 3.10). Un cálculo muestra que H m−2 (Dm−2) = Ω m−2
A
y que H m−1 (Dm−1) = Ω m−1
A
/dΩm−2
A
De la Proposición 3.11 tenemos que H m−2 (Dj) = H m−2 (Lj) para todo
j > m − 2, y Hm−2 (Dm−2) = Ω m−2
A
/dΩm−3
A .
Notemos que hemos calculado todos los módulos de cohomología de los
complejos Dj para t ≤ m − 2, y todo j.
Sea j > m − 1. Si m − 2 < t < m entonces t = m − 1. De la Proposición
3.12 se sigue que
H m−1 (Dj) = H m (Lj+1).
De la Proposición 3.12 con t = m − 1 obtenemos
H m−1 (Lj)
0
m−1 H (Dj)
m−2 H (Dj−1)
Sabemos que H m−2 (Dj) = H m−2 (Lj) para todo j > m − 2 ( ver Proposición
3.11). Por lo tanto tenemos las siguiente secuencia exacta corta
0
m−2 H (Lj−1)
Como espacio vectorial tenemos
m−1 H (Lj)
0.
H m−1 (Dj) Hm−1 (Lj)
H m−2 (Lj−1) .
Si usamos la Proposición 3.12 tenemos que
Como sabemos (Proposición 3.12)
para todo j. Por lo tanto si j < m
H m−1 (Dj) H m (Lj).
H m (Dj) = 0,
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m−1 H (Dj)
0.