PhD Thesis

Observación. De las definiciones anteriores tenemos las secuencias exactas
cortas
0
0
CN∗(A)
CN∗+2(A)
CP∗(A)
CN∗(A)
CC∗−2(A)
(C(A), b)
las cuales proporcionan una secuencia exacta larga que relacionas sus homologías.
1.3. Método de Cálculo
Desarrollamos la teoría de la homología de Hochschild y cíclica para álgebras
diferenciales graduadas. Este estudio nos lleva a conocer la homología
cíclica y Hochschild para álgebras de la forma R/I, donde R es un anillo
r.l.e.t.f. e I es un ideal de tipo interseción completa. Presentamos la definición
de un álgebra diferencial graduada, y calculamos el primer módulo de diferenciales
de Kähler graduado para álgebras de la forma ∧V, y R ⊗ ∧V donde
V es un espacio vectorial graduado. Finalmente desarrollamos las herramientas
necesarias para poder demostrar una versión graduada del Teorema de
Hochschild Kostant Rosenberg, presentamos un bosquejo de la demostración
de la descomposición de Hodge de la homología de Hochschild y cíclica. Esta
decomposición se realiza de la siguiente manera : El complejo cíclico de R/I
se reemplaza por el complejo cíclico de R ⊗ ∧(V ), que es el complejo cíclico
de (T (R ⊗ ∧(V )), ∂, b, B). Este es quasiisomorfo a un complejo de la forma
(ξ, δ, 0, β). El complejo cíclico y de Hochschild de este se descomponen en
ciertos complejos ξ j
j+k y ξj que son quasiisomorfos a Lj y Dj. De aquí se
sigue que estos complejos calculan la homología cíclica y de hochschild del
álgebra R/I.
Observación. Recordemos que una k−álgebra diferencial graduada (A.D.G)
se define como un álgebra graduada con un morfismo ∂ : An → An−1 que
cumple la regla de Leibniz
∂(ab) = ∂(a)b + (−1) |a| a∂(b)
y es un diferencial, es decir ∂ ◦ ∂ = 0. Entre los ejemplos que nos interesa se
encuentra el siguiente
22
0,
0,