PhD Thesis

entonces T ot(D)n =
p+q=n i≥0 Mp−i,q−i
. Por lo tanto, si definimos
Ep q :=
i≥0 Mp−i,q−i tenemos que (Ep ∗, B + b) es un bicomplejo. En efec-
to si (ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ E p
q+1 entonces
(B + d)(ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) =
(dap,q+1+Bap−1,q, dap−1,q+Bap−2,q, . . . , dan−k−i,k+1−i+Ban−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ E p q .
Mas aún T ot(D)n =
p+q=n Ep q y HCn(M) = n p=0 Hn−p(Ep ∗).
La afirmación anterior se refleja en el siguiente diagrama
T otn+1 = E0 n+1⊕ E1 n⊕
⊕ . . . ⊕
T otn = E0 n⊕
E1 n−1⊕
E 2 n−1
E2 n−2
⊕ . . . ⊕
T otn−1 = E0 n−1⊕ E1 n−2 E2 n−3 ⊕ . . . ⊕ 0
el cual en cada sumando se escribe como
E n−k
k+1
: Mn−k,k+1
Mn−k,k
Mn−k−1,k
Mn−k−1,k−1
Mn−k−2,k−1
Mn−k−2,k−2.
E n+1
0
Con ello vemos en la definición anterior que si b = 0, la homología cíclica
se descompone en suma de la homología de ciertos complejos (E p ∗, d + B). La
homología de Hochschild tiene una descomposición similar.
Definición 1.77. Dado (Mp,q, b, d) y B : Mp,q → Mp+1,q, donde B ◦ B =
B ◦ d + d ◦ B = B ◦ b + b ◦ B = 0. Definamos el bicomplejo negativo CN
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