PhD Thesis

Definamos el número de Milnor de la singularidad R/I en η como
µ =
r
(−1) r−s As,
s=1
siempre que los sumandos As sean de dimensión finita.
Observación. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis; sin perdida de generalidad podemos
suponer que para todo s el ideal Is = 〈f1, . . . , fs〉 es una icis y que Is−1
es una icis (ver Proposición 2.24). Es decir los elementos fi son los hallados
en la Proposición 2.24. Denotemos al jacobiano de Fs = (f1, . . . , fs) como
JFs.
Lema 3.21. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis como en la observación anterior.
Entonces el anillo R/〈JFs, Is−1〉 tiene dimensión finita para todo 1 ≤ s ≤ r.
Prueba. Será suficiente demostrar que el anillo
R/〈JFr, Ir−1〉
es de dimensión finita. Esta afirmación es equivalente a demostrar que
ht(〈JFr, Ir−1〉) = m.
Esta última demostración es idéntica a la prueba de la Proposición 2.24.
Observación. El lema anterior nos dice que los representantes hallados en la
observación anterior sirven para calcular el número de Milnor según se define
en 5.11.c de [Looj].
Lema 3.22. Sea (R, η) un anillo regular local, I = 〈f, g〉 donde Jf = η.
Entonces existe una secuencia exacta
0
k
ϕ
η
Jf,g + g · η
el morfismo ϕ se define como ϕ(1) = g
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R
Jf,g + 〈g〉
k
0,