PhD Thesis

existe un único morfismo f : A⊗A
N ′
conmute.
A
d ′
→ M, tal que el diagrama
D
A⊗A
N ′
∃!f
Prueba. Definamos la aplicación f1 : A ⊗ A → M como f1(a ⊗ b) =
(−1) b aD(b). Sea 1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a un generador de N ′ , entonces
M
f1(1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a)
= (−1) |a|+|b| D(ab) − (−1) |b| aD(b) − (−1) |a||b|+|a| bD(a) =
(−1) |a|+|b| ((−1) |a| aD(b)+(−1) (|a|+1)|b| bD(a))−(−1) |b| aD(b)−(−1) |a||b|+|a| bD(a)
= (−1) |b| aD(b) + (−1) |a||b|+|a| bD(a) − (−1) |b| aD(b) − (−1) |a||b|+|a| bD(a) = 0.
Por lo tanto f1 induce una aplicación en el cociente
f :
A ⊗ A
N ′
→ M,
más aún notemos que f ◦ d ′ (a) = D(a). Además es claro que f es única.
Corolario 1.91. El módulo Ω 1 (A,∂)
es isomorfo al módulo graduado A⊗A
N ′ .
Prueba. Se sigue directamente de la propiedad universal.
Ejemplo 1.92. Sea V un espacio vectorial graduado y ∧V el álgebra simétrica
libre en el sentido graduado, entonces Ω1 ∧V = ∧V ⊗ V [−1]. En efecto,
definamos la aplicación
como
d(v1 · · · vn) =
d : ∧V −→ ∧V ⊗ V [−1]
n
(−1) |v1|+···+|vi−1|+|vi|(|vi+1|+···+|vn)|)
v1 · · · vi · · · vn ⊗ vi.
i=1
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