PhD Thesis

Demostraremos que este complejo es exacto salvo en el nivel m. Esta
construcción y la prueba de la afirmación se presentan a continuación.
Definición 2.60. Dado el complejo L ′ m+p definamos el subcomplejo (E ′ p, δ),
de la siguiente manera :
donde i + j + s = m + p.
(E ′ p) m−i :=
s+t=i;t≤0
Bs,t,
Observación. Notemos que (E ′ p, δ) esta formado por las primeras p + 1
columnas de la izquierda del complejo L ′ m+p (ver 2.20).
Lema 2.61. Si ht(Jf) = m entonces el complejo E ′ p es exacto salvo en el
nivel cero. Sea Mp := H m (E ′ p) entonces Gr(Mp) = ⊕ p
i=0 (R/Jf)i.
Prueba. La prueba será por inducción sobre p el número de columnas del
complejo E ′ p. Para el caso p = 0 tenemos que E ′ 0 = K(df) el cual tiene
cohomología cero para todo i = m. Más aún H m (E ′ 0) = H m (K(df)) = R/Jf.
De un proceso de inducción y la secuencia exacta corta
0
K(df)
E ′ p+1
E ′ p
se prueba que H i (Ep+1) = 0 para todo i = m. Si tomamos homología en la
secuencia anterior nos queda la secuencia exacta
0
R/Jf
Hm (Ep+1)
Hm (Ep)
Esto significa que Gr(Mp) = ⊕ p
i=0 (R/Jf)i. Notemos que la filtración por
columnas es la que que da origen al módulo graduado Gr(Mp).
Observación. El Lema anterior nos indica que el módulo H m (Ep) es isomor-
fo a ⊕ p
i=0 (R/Jf)i sólo como k−espacios vectoriales. Esto es debido a que no
se encontró un split de R−módulos en la secuencia anterior. En el siguiente
teorema vemos los complejos de cocadenas Ep y Lm−1 como complejos de
cadenas de la siguiente manera (Ep) ∗ = (Ep)m−∗ y (Lm−1) ∗ = (Lm−1)m−1−∗
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