PhD Thesis

Prueba. Sea α : A ⊗ A −→ I
definida como α(a ⊗ b) = a ⊗ b − ab ⊗ 1, de
I2 las igualdades
y
α(c · (a ⊗ b)) = α(ca ⊗ b) = ca ⊗ b − cab ⊗ 1 = c · α(a ⊗ b)
α(1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a) =
1 ⊗ ab − ab ⊗ 1 − (a ⊗ b − ab ⊗ 1) − (−1) |a||b| (b ⊗ a − ba ⊗ 1) =
1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a + ab ⊗ 1 = (1 ⊗ a − a ⊗ 1)(1 ⊗ b − b ⊗ 1),
A ⊗ A
tenemos que α induce una aplicación α :
N ′
I
−→ a la cual también
I2 A ⊗ A
denominaremos α. Ahora tomemos β : A ⊗ A −→
N ′ definida como
β(a ⊗ b) = a ⊗ b. Del hecho
−a ⊗ 1 = 1 ⊗ a · 1 − a ⊗ 1 − (−1) |a||1| 1 ⊗ a
tenemos que β(1 ⊗ a − a ⊗ 1) = 1 ⊗ a. Por otro lado notemos que todo
elemento x ∈ I2 se escribe como
x =
ri(1⊗ai−ai⊗1)r ′ i(1⊗bi−bi⊗1) =
(−1) tirir ′ i(1⊗ai−ai⊗1)(1⊗bi−bi⊗1),
i
(ver Lema 1.87), pues
y como
(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1)r ′ i(1 ⊗ bi − bi ⊗ 1) =
(−1) |ai||r ′ i | r ′ i ⊗ aibi − (−1) |ai|(|r ′ i |+|bi|) r ′ ibi ⊗ ai − air ′ i ⊗ bi + air ′ ibi ⊗ 1 =
(−1) |ai||r ′ i | r ′ i(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1)(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1),
β((1⊗a−a⊗1)(1⊗b−b⊗1)) = 1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a + ab ⊗ 1 ∈ N ′
y β es A lineal. Entonces hemos definido una aplicación β : I A ⊗ A
−→
I2 N ′ .
Ahora como
β ◦ α(a ⊗ b) = β(a ⊗ b − ab ⊗ 1) = a ⊗ b,
y
α ◦ β(1 ⊗ a − a ⊗ 1) = α(1 ⊗ a) = 1 ⊗ a − a ⊗ 1
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i