PhD Thesis

Observación. Notemos que esta definición coincide con la que se presenta
en [Eis.] :
Un anillo para el cual profundidad(P ) = codim(P ), para todo ideal maximal
P de R es llamado anillo Cohen Macaulay.
En efecto, profundidad(R) = dim(R) si sólo sí profundidad(η) = ht(η). Como
η es el único ideal maximal de R tenemos que las definiciones coinciden en
al caso que R sea un anillo local.
Proposición A.18. Sea (R, η) un anillo regular local. Entonces (R, η) es
Cohen-Macaulay.
Prueba. Sea {x1, . . . , xn} una secuencia regular de parámetros. Del Corolario
A.10 tenemos que x1, . . . , xn es una secuencia regular. Esto significa, a partir
de la definición, que
profundidad(R) ≥ n.
Si usamos la Proposición A.15 tenemos que
profundidad(η) ≤ ht(η) = dim(R) = n.
Por lo tanto dim(R) = profundidad(R.)
Observación. Un hecho importante que se obtiene del último teorema es el
que para todo ideal I de un anillo regular local esencialmente de tipo finito
(r.l.e.t.f) se cumple
ht(I) = profundidad(I).
Esta propiedad se presenta a continuación :
Teorema A.19. Sea R un anillo tal que profundidad(P ) = ht(P ) para todo
ideal maximal P de R. Si I ⊂ R es un ideal propio, entonces profundidad(I) =
ht(I).
Prueba. [Eis, Teorema 18.7].
Para anillos r.l.e.t.f se tiene la siguiente versión :
Teorema A.20. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si I ⊂ R es un ideal propio,
entonces
profundidad(I) = ht(I).
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