PhD Thesis

Por lo tanto, para calcular la cohomología del complejo Lm−1 podemos usar
la resolución K(f, g) de R/ 〈f, g〉 . Como
K(f, g) ⊗ Jg
Jf,g
K(g) ⊗ K(f) ⊗ Jg
Jf,g
y como K(g) es una resolución libre de R/〈g〉 y C := K(f) ⊗ Jg
resolución de H0(C) = Jf
Jf,g
⊗ R/〈f〉, entonces
K(f, g) ⊗ Jg
Jf,g
Jf,g
es una
calcula tor(R/〈g〉, H0)
Observación. La conclución anterior también se puede obtener asumiendo
que el ideal 〈Jf,g, f〉 cumplen ht(〈Jf,g, f〉) = m = dim(R). Tal como sucede
en el siguiente ejemplo :
Ejemplo 3.18. Sea (R, η) = (k[x, y](x,y), η) el anillo local y g = x 2 + y 3 ,
f = x 2 − y 3 una variedad de intersección completa con una singularidad
aislada en η. Entonces es claro que ht(〈Jf,g, f〉) = dim(R) = 2.
Observación. Notemos que la condición establecida en la observación anterior
no siempre se cumple. Veamos el siguiente ejemplo :
Ejemplo 3.19. Sea (R, η) = (k[x, y](x,y), η), f = x 2 y g = y 3 . Entonces
Jf,g = (xy 2 ) y ht(〈f, Jf,g〉) = ht(〈g, Jf,g〉) = 1 < 2
Observación. El Lema 3.15 se interpreta de la siguiente manera : siempre
se puede elegir un representante f el cual cumpla que ht(〈Jf,g, f〉) = m.
3.3.1. El Número de Milnor.
A continuación estudiamos la dimensión de H m−1 (Lm−1), cuando I =
〈f, g〉 es una icis y Jf = η. También ponemos de manifiesto la relación de la
dimensión de este espacio con el número de Milnor, según se define en [Looj].
Trabajaremos sólo bajo las hipótesis que aquí se presentan.
Definición 3.20. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis. Sea
As =
R
〈JFs, f1, . . . , fs−1〉 .
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