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A. Álgebra Conmutativa 167 A.1. Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.2. Complejo Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 A.3. El Ideal Jacobiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 A.4. El Anillo de Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 ii
Introducción En la presente tesis desarrollaremos herramientas para calcular la homología cíclica y la homología de Hochschild para A = R/ 〈f, g〉 ; aquí R es el anillo local de un punto racional regular de un esquema de tipo finito sobre un cuerpo k de característica cero. Es decir R = (k[x1, . . . , xs]/I ′ )η y η = (x1 − a1, . . . , xs − as). El ideal I = 〈f, g〉 es de tipo intersección completa con una singularidad aislada en (R, η). Este anillo es un caso particular de un anillo regular local esencialmente de tipo finito (r.l.e.t.f). Los cálculos que aquí se obtienen generalizan los resultados de Michler, Hülb, Bach, [Mich1], [BKH], [BACH]. Como R es proyectivo como k−módulo, podemos escribir la homología de Hochschild como HH∗(R) = T or Re ∗ (R, R). En particular, si el ideal J = ker(R ⊗ R → R) es localmente generado por una secuencia regular, tenemos una descripción concreta de la homología de Hochschild : HH∗(R) = Ω ∗ R (Teorema de Hochschild Kostant Rosenberg). Las álgebras con esta propiedad se llamarán suaves. En esta dirección, podemos indicar que la homología de Hochschild caracteriza la suavidad de un anillo regular local e.t.f : Por un lado si A es suave entonces la homología de Hochschild en grado n se anula para todo n > m := dim(R), por otro lado tenemos el siguiente resultado de Avramov-Vigué [AV] y de BACH [BACH1] : Sea A un álgebra f.g. sobre un cuerpo k tal que la homología de Hochschild se anule en grados i y j para algún i par y j impar entonces A es suave. En el caso suave podemos describir a la homología cíclica por medio de la cohomología de deRham según [LQ, Teorema 2.9]. HCn(A) = ΩnA dΩ n−1 ⊕ (⊕i≥1H A n−2i DR (A)), iii
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Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
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indicando con ello que θ ′ 1 es
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Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
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y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
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donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
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para convertir a los polinomios f1,
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términos de cohomología no nulos.
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tal que η j · M = 0. En el caso q
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Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3
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Supongamos que el Lema se cumple pa
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De aquí se tiene que ht(JF ) = m
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Prueba. Nuevamente como W tiene a l
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(ver Proposición A.38 del Apéndic
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es un polinomio no nulo (ver Lema A
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Lj : 0 IjΩ0 R Ij+1Ω0 R dDR I
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donde δ(y (a1) 1 . . . y (ar) r y
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donde df denota la imagen de df ∧
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Observación. Notemos que Lm+p = L
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en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por
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para todo i (ver [Wei, Aplicación
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. . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
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Notemos que puede ocurrir que ai
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2.2.3. Cálculo de la Homología de
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como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
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Prueba. Sea P un ideal primo en el
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Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
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Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
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Con esta notación el bicomplejo L
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Teorema 2.62. Existe una secuencia
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intercambiar el rol de f por el de
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Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1
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son cero, para todo p ≥ 1. En efe
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2.3. Homología de Hochschild para
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se trata de M(x1, . . . , xr) el de
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Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L
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Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 .
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y a1 1 · · · yar r ω → y a1 1
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Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo
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En el caso que el ideal I = 〈f, g
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para todo i = m − r + 1. Del crit
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En general los módulos de cohomolo
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Capítulo 3 Homología Cíclica. Lo
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el complejo Lj tiene cohomología c
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para todo t ≤ m − r − 2. Si t
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3.2. El Caso Quasihomogéneo En est
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tomamos la secuencia exacta larga
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Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0
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Observación. Del Capítulo anterio
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Prueba. El Lema 3.15 nos permite as
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Definamos el número de Milnor de l
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entonces en el anillo R/Jf,g tendr
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. . . . B d Ω2,1 B . d Ω1,1
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Como lím 1 H( ˆ Dj) = 0 entonces
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. . . Ωm−1 · x · xp+2 ⊕ Ω
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El complejo L ′ m+p se escribe co
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Lema 3.28. El morfismo β restricto
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Si z = ωxiyj y ∈ (E ′ m+p(0))t
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Gr(H m (Γ(f, g))) = ⊕p≥0H m (E
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F y una filtración del mismo. Del
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Prueba. Por definición (E ′ m+p(
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se denotará como β β . . . E∗
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Prueba. La demostración será por
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. . . 0 Lm+p−i−1(f) 0 Lm+p−
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Como β(x) = x, entonces el morfism
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que finalizan en I. Si el ideal I n
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Definición A.9. Sea (R, η) un ani
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Prueba. [Mats, Teorema 36]. . Defin
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A.2. Complejo Koszul Nuestro princi
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Prueba. [Eis, Teorema 17.1] . Corol
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De la hipótesis inductiva se sigue
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Observación. Notemos también que
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Prueba. Del Corolario anterior tene
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Por lo tanto fk,j = s gk,iλi,j, es
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Como M/N η · M/N = M N ⊗ R/η,
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esta bien definida. Más aún si x
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Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (
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Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
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[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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