PhD Thesis

indicando con ello que θ ′ 1 es sobreyectiva. Del hecho que ∧V ⊗ ∧V es un
álgebra graduada libre generada por ∧V ⊗ V , tenemos que θ ′ 1 se extiende a
θ ′ k : ∧V ⊗ ∧ k V → Hk(T ot(Tp,q), b)
Como θ ′ 1 es un isomorfismo si probamos que Hk(T ot(Tp,q), b) es una álgebra
libre generada por H1(T ot(Tp,q), b) tendríamos que θ ′ k es un isomorfismo. Para
probar esta última afirmación nos basamos en el cálculo de la homología
del álgebra graduada ∧V como T or∧V ⊗∧V (∧V, ∧V ), (Proposición 2.5 [V.B].)
Tomando la resolución
(∧V ⊗ ∧V ⊗ ∧V, D)
y efectuando el producto tensorial como ∧V ⊗ ∧V módulos, obtenemos que
(Hk(T ot(Tp,q), b)) = (∧V ⊗ ∧ k V ),
que prueba la afirmación.
Observación. La generalización del teorema anterior para ciertas álgebras
de la forma A0 ⊗ ∧V donde V := ⊕i≥1Vi, es un espacio vectorial graduado,
se presenta a continuación.
Definición 1.96. Una k−álgebra A es llamada homológicamente regular si
y sólo si la aplicación ε : (A ⊗ A ∗ , b) −→ (Ω∗ R , 0) definida en [LQ] es un
es flat.
isomorfismo y Ω 1 A
Ejemplo 1.97. Del Teorema 1.28 y Corolario 1.52 tenemos que si el anillo
(R, η) es r.l.e.t.f. entonces Ω∗ R es flat y HH∗(R) Ω∗ R respectivamente. Es
decir (R, η) es un álgebra homológicamente regular.
Definición 1.98. Una k−álgebra diferencial graduada (A, d) se llama homológicamente
regular si A = A0⊗∧V donde A0 es homológicamente regular
y V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · es un espacio vectorial graduado.
Ejemplo 1.99. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Del Ejemplo 1.67 tenemos que
el complejo de Koszul K(f1, . . . , fr), de una secuencia de elementos f1, . . . , fr
en el anillo R, es un A.D.G de la forma R ⊗ ∧V, donde V = V1 = ⊕ r i=1k · ei.
Por otro lado del ejemplo anterior tenemos que el anillo R es un álgebra
homológicamente regular. Por lo tanto el álgebra K(f1, . . . , fr) (descrita en
el Ejemplo 1.67) es una k−A.D.G. homológicamente regular.
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