PhD Thesis

Resumen
Sea A = R/I un anillo regular de funciones de una variedad algebraica
con una singularidad aislada en el punto racional η; donde (R, η) es un anillo
r.l.e.t.f de dimensión m, e I es un ideal de intersección completa. El teorema
de HKR para el álgebra diferencial graduada R ⊗ ∧V nos lleva a expresar
homología cíclica y de Hochschild del álgebra R/I en función de la cohomología
de los complejos Lj y Dj. En el primer capítulo desarrollamos las
herramientas necesarias para poder llegar a este resultado.
En este trabajo suponemos que el anillo R/I tiene sólo una singularidad
aislada en η. En el caso que el ideal I = 〈f〉 sea principal, los módulos de
cohomología de los complejos Lj y Dj fuerón calculados por Hülb en Divided
Powers and Hochschild Homology of Complete Intersections y por Michler
en Torsion of diferentials of hypersurfaces with isolated singularities cuando
R es el anillo de polinomios. La fórmula H m−∗ (Lj) = T or∗(R/I, R/Jf) para
valores j ≥ m se debe a que ht(Jf) = dim(R) = m. Nuestro trabajo se centra
en calcular los módulos de cohomología de los complejos Lj y Dj, cuando el
ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es generado por una intersección completa con una
singularidad aislada en η. Los cálculos que se presentan no se encuentran el
la literatura. En este caso se tiene que
ht(JF ) = m − r + 1
para una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 . Notemos que en el caso particular que r = 1
obtenemos ht(Jf) = m. Esta propiedad, junto al hecho de que f ∈ Jf nos
permiten demostrar uno de los principales resultados originales del trabajo:
el Teorema de Clasificación de Singularidades Aisladas. A grandes rasgos
este teorema nos dice que toda icis I = 〈f1, . . . , fr〉 puede ser generado por
elementos g1, . . . , gr, donde cada uno de los gi tiene una singularidad aislada
en η. Este teorema permite generalizar los métodos de cálculos para un sólo
polinomio, al caso de un ideal que sea una icis generado por r polinomios.
En la Sección 2.2 estudiamos el caso que el ideal este generado por una
secuencia regular de longitud dos. Llegamos a los siguientes resultados :
H i (Lj) = 0, para todo i < m − 1, e i = j. Cuando j = m + k > m − 1
presentamos la secuencia espectral E∗,∗ que converge a la cohomología de el
complejo Lm+k, y colapsa en E 2 . Calculamos los módulos de cohomología

de los complejos Lm+k en nivel m y m − 2, para el término en grado m − 1
hallamos su dimensión. Cuando Lm−1 llegamos a la siguiente igualdad
H m−1−∗ (Lm−1) = T or∗(Jf/Jf,g, R/I).
Mostramos que la cohomología de los complejos Lj para j < m−1 es exacta.
En la Sección 2.3 generalizamos los resultados de la sección anterior al caso
de r polinomios.
En el Tercer Capítulo, debido a que los complejos Lj tienen cohomología
cero para todo término menor que m − r, y al saber la imagen de la aplicación
S en la secuencia SBI expresamos los módulos de cohomología de los
complejos Dj para grados menores que m − r − 1 en función de la cohomología
de deRham del álgebra R/I s , para algún s adecuado. Los demás
términos se encuentran en una secuencia exacta corta, y pueden ser calculados
de manera recurrente. En el caso que S = 0 expresamos los módulos de
cohomología de los complejos Dj en función de los módulos de cohomología
de los complejos Lj. Los complejos que proporcionan la homología cíclica
negativa Ω ≥p para p > 0 se descompone en casi un producto tensorial de
complejos. En el caso r = 2 esto permite tomar un subcomplejo Ω ≥m
f . El
complejo cociente Ω ≥m /Ω ≥m
f
es isomorfo a Ω ≥m
f . Mostramos una secuencia
espectral que se genera a partir de este subcomplejo. Este estudio permite
presentar una secuencia espectral que converge a la cohomología de Ω ≥m .
El Apéndice esta destinado a presentar las principales definiciones y propiedades
de la teoría de anillos. También es el sustento de las demostración
de propiedades que se usan en el cuerpo de la tesis y son parte fundamental
en el trabajo .

Índice general
Introducción III
1. Homología de Hochschild y Cíclica 1
1.1. Homología de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Homología Cíclica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Método de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Homología de Hochschild para icis 51
2.1. Singularidades Aisladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2. Homología de Hochschild para I = 〈f, g〉 . . . . . . . . . . . . 67
2.2.1. El Complejo Lj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.2. Una Generalización del Complejo de Koszul . . . . . . 79
2.2.3. Cálculo de la Homología de Hochschild . . . . . . . . . 84
2.3. Homología de Hochschild para I = 〈f1, · · · , fr〉 . . . . . . . . 104
2.3.1. Homología de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.3.2. El Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3. Homología Cíclica. 122
3.1. Homología Cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2. El Caso Quasihomogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3.1. El Número de Milnor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4. La Homología Cíclica Negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.4.1. El Complejo Ω ≥m
f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.4.2. El Complejo M(f, g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.4.3. El Complejo Ω≥m
3.4.4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
M(f,g)
La Cohomología del Complejo M(f, g) . . . . . . . . . 155
i

A. Álgebra Conmutativa 167
A.1. Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.2. Complejo Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.3. El Ideal Jacobiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A.4. El Anillo de Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
ii

Introducción
En la presente tesis desarrollaremos herramientas para calcular la homología
cíclica y la homología de Hochschild para A = R/ 〈f, g〉 ; aquí R
es el anillo local de un punto racional regular de un esquema de tipo finito
sobre un cuerpo k de característica cero. Es decir R = (k[x1, . . . , xs]/I ′ )η y
η = (x1 − a1, . . . , xs − as). El ideal I = 〈f, g〉 es de tipo intersección completa
con una singularidad aislada en (R, η). Este anillo es un caso particular de
un anillo regular local esencialmente de tipo finito (r.l.e.t.f). Los cálculos que
aquí se obtienen generalizan los resultados de Michler, Hülb, Bach, [Mich1],
[BKH], [BACH].
Como R es proyectivo como k−módulo, podemos escribir la homología
de Hochschild como HH∗(R) = T or Re
∗ (R, R). En particular, si el ideal J =
ker(R ⊗ R → R) es localmente generado por una secuencia regular, tenemos
una descripción concreta de la homología de Hochschild : HH∗(R) = Ω ∗ R
(Teorema de Hochschild Kostant Rosenberg). Las álgebras con esta propiedad
se llamarán suaves. En esta dirección, podemos indicar que la homología de
Hochschild caracteriza la suavidad de un anillo regular local e.t.f : Por un
lado si A es suave entonces la homología de Hochschild en grado n se anula
para todo n > m := dim(R), por otro lado tenemos el siguiente resultado de
Avramov-Vigué [AV] y de BACH [BACH1] :
Sea A un álgebra f.g. sobre un cuerpo k tal que la homología de Hochschild
se anule en grados i y j para algún i par y j impar entonces A es suave.
En el caso suave podemos describir a la homología cíclica por medio de la
cohomología de deRham
según [LQ, Teorema 2.9].
HCn(A) = ΩnA dΩ n−1 ⊕ (⊕i≥1H
A
n−2i
DR (A)),
iii

Sea A un álgebra de la forma A = k[x1, . . . , xm]/I donde I es un ideal
de tipo intersección completa. En [BV] se define la homología cíclica y de
Hochschild para álgebras diferenciales graduadas. Sea V un espacio vectorial
graduado concentrado en grado uno. Identificando el álgebra graduada ∧V
con el módulo graduado del complejo Koszul se proporciona un diferencial a
∧V . Esto convierte a (∧V, d) en un álgebra diferencial graduada. Mostrando
una versión graduada del teorema de Hochschild Kostant Rosenberg para
el álgebra (∧V, d) hallan una fórmula explícita, HHn(∧V, d) = ⊕p≥0HH (p)
n ,
HCn(∧V, d) = HCn(k)⊕⊕p≥0HC (p)
n , que cálcula la homología de Hochschild
y cíclica de A (ver [BV]). En [CGG] se usa un método similar para hallar
una fórmula que calcula la homología cíclica y de Hochschild para álgebras
de la forma R/I, donde R es homológicamente regular e I es localmente una
intersección completa. Estas fórmulas (ver Corolario1.107), que en el caso
R regular fueron obtenidas por [FT], expresan la homología de Hochschild
y cíclica en función de los complejos Lj y Dj para j > 0 respectivamente,
definidos de la siguiente manera
y
Lj : 0
Dj : 0
IjΩ0 R
Ij+1Ω0 R
Ω0R Ij+1Ω0 R
dDR dDR
I j−1 Ω 1 R
I j Ω 1 R
dDR dDR Ω
1 R
IjΩ1 R
dDR
. . .
dDR
. . .
dDR
dDR
IΩ
j−1
R
I 2 Ω j−1
R
Ω
j−1
R
I 2 Ω j−1
R
Ω j
dDR R
IΩ j
R
Ω j
dDR R
IΩ j
R
Basados en la fórmula del Corolario 1.107 en adelante nos dedicaremos a
calcular la cohomología de los complejos Lj y de los Dj.
En el caso que el ideal I es principal, para el cálculo de los módulos
de cohomología de los complejos Lj se usa el siguiente método: Primero se
prueba que Lj es quasiisomorfo a K(fx1, · · · , fxm) ⊗R R/I. Si la singularidad
de I en η es aislada y (R, η) es r.l.e.t.f, entonces K(fx1, · · · , fxm) es una
resolución de R/Jf. Aquí Jf es el ideal jacobiano de f, y en general JF
representa el ideal jacobiano de F = (f1, · · · , fr).
Esto nos permite describir la cohomología de Lj mediante la siguiente
fórmula
H ∗ (Lj) = T or R m−∗(H m (K(fx1, . . . , fxm)), R/I) = T or R m−∗(R/Jf, R/I), (1)
iv

para valores j mayores que la dimensión de Krull del anillos R, además se
tiene que T or1(R/I, R/Jf) = I ′ /Jf donde I ′ = (J : f). Este resultado se
encuentra en [BKH] cuando R = k[x1, . . . , xn], y en [LM] en el caso de un
álgebra r.l.e.t.f. Todos ellos se limitan al caso en que I = 〈f〉 .
Nosotros generalizamos estos cálculos al caso en que I = 〈f1, . . . , fr〉 sea
una intersección completa. La generalización natural directa de las fórmulas
anteriores al caso de dos polinomios sería
H ∗ (Lm) = T orm−∗(R/ 〈f, g〉 , R/ 〈Jf, Jg〉).
Sin embargo, esta nueva fórmula no se cumple en general, como se ve en
el Ejemplo 2.34. Allí presentamos un ideal I = 〈f, g〉 , donde f y g es una
secuencia regular con una singularidad aislada en η que cumple
H m−1 (Lm) = T or1(R/ 〈Jf, Jg〉 , R/I) = T or1(H m (L ′ m), R/I).
Aquí L ′ j es un complejo de R−módulos libres que se define de modo que
Lj = L ′ j ⊗R R/I (ver Observación en la Página 74).
La Ecuación (1) se obtuvo gracias al hecho que ht(Jf) = dim(R) = m.
En el caso que I = 〈f, g〉 se tiene que ht(JF ) = m − 1. Cuando el ideal I es
generado por una secuencia regular de r elementos obtenemos que ht(JF ) =
m − r + 1. Esta es la principal obstrucción para seguir el método empleado
para el caso de un solo polinomio. Sin embargo el cálculo de la altura del
ideal jacobiano nos permite brindar información sobre los ideales de tipo
intersección completa con una singularidad aislada (icis por sus siglas en
inglés). Estas propiedades permitirán calcular la homología de Hochschild
y serán descritas más adelante. A continuación describimos los resultados
obtenidos sobre la cohomología de los complejos Lj y L ′ j.
Para el caso en que el ideal esté generado por una secuencia regular de
longitud dos, I = 〈f, g〉 , obtenemos :
Los complejos H i (L ′ j) = 0 para todo i = j.
La prueba se presenta en la Proposición 2.49 y Corolario 2.52 de la tesis.
El significado de esta afirmación cuando j = m−1 se refleja en poder escribir
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jf
Jf,g
, R/I);
donde Hm−1 (L ′ m−1) = Jf
. Otra conclusión que se desprende del corolario
Jf,g
anterior es el hecho de tener que los complejos Lj satisfacen que Hi (Lj) = 0
v

para todo i = j para j ≤ m − 2. El hecho que H i (L ′ j) = 0 para todo i = j
para j < m nos permite escribir
H s (Lj) = T orj−s(H j (L ′ j), R/I)).
Como los complejos Lj para j ≤ m − 1 son exactos salvo en el último nivel,
T ort(H j (L ′ j), R/I)) = 0 para todo t > 0. Esto significa que f, g forman una
secuencia H j (L ′ j)−regular.
Luego demostramos que los complejos Lj para valores de j mayores o
iguales que la dimensión del anillo R sólo tienen tres términos no nulos en
cohomología. También describimos su último término de cohomología como
una generalización de (1) :
Para todo j ≥ m se cumple : los módulos de cohomología de los complejos
Lj son cero para todo grado menor m − 2. Los términos en grado m − 2 se
expresan como
T or1(H m−1 (L ′≤m−1
j ), R/I).
Aquí L ′≤m−1
j es el complejo truncado en nivel m − 1. Las pruebas se encuentran
en el Teorema 2.54 y Corolario 2.59 . Con respecto a la cohomología
de los complejos Lm+k en grados m y m − 1 mostramos que existe una secuencia
espectral Er p,q que converge a la cohomología de los complejos Lm+k
y colapsa en el segundo término (Teorema 2.62).
Esta información se puede resumir en el siguiente cuadro
H i ⎧
0 si i < min{j, m − 2}.
⎪⎨
df ∧ Ω
(Lj) =
⎪⎩
j
⊗ R/I si i = j y j ≤ m.
df ∧ dg ∧ Ωj−1 T orm−1−i( Jf
, R/I) si j = m − 1.
Jf,g
T or1(H m−1 (Ck+1), R/I) si j > m − 1 e i = m − 2,
donde Ck+1 = (L ′ m+k )≤m−1 (ver Proposición 2.55). Para los términos en nivel
m − 1 y m presentamos una secuencia espectral
vi
(2)

E 1 2,0 = T or2(Mk, R
I )
E1 1,0 = T or1(Mk, R
I ) E1 1,1 = T or1(Mk, R
d1
E1 0,0 = T or0(Mk, R
I )) E1 0,1 = T or0( Jg R , Jf,g I ),
d1
donde Gr(Mk) = ⊕ k i=0R/Jf (ver Teorema 2.62) y d 1 es el producto exterior
con dg.
En el caso que Jg este contenido en el ideal Jf, se cumple E 1 = E ∞ , lo cual
se demuestra en el Corolario 2.65. Aunque la condición Jg ⊂ Jf simplifica
significativamente los cálculos, esta se da en muchos ejemplos conocidos.
Ello nos permite calcular los módulos de cohomología de los complejos Lm+k
para el caso en que R/I es de dimensión cero y la singularidad es simple
(clasificación de Guisti [G]) [Looj, 7.19], a exepción de Hµ para µ ≥ 7, y
las singularidades simples de curvas inmersas en dimensión tres
(ver Ejemplo 2.67). El cálculo de estos grupos de cohomología fue una de las
motivaciones originales de este trabajo.
En general, cuando el ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es una intersección completa y
tiene una singularidad aislada en η encontramos una secuencia espectral E∗,∗
que converge hacia la cohomología del complejos Lm+k. El primer término
E 1 de la secuencia espectral se expresa en función de ciertos T or (Teorema
2.76).
Usando el mismo argumento dado para el caso de dos polinomios probamos
que H s (Lm+k) = 0 para todo s ≤ m − r − 1.
Este último resultado significa que los complejos Lm+k tienen a lo más
r + 1 términos de cohomología no nulos.
Para poder establecer las propiedades mencionadas anteriormente, en el
camino probamos los siguientes resultados algebraicos, que no se encuentran
en la literatura. Una de las piedras angulares en el trabajo es el Corolario
2.19 que dice que
ht(JF ) = m − r + 1,
cuando I = 〈f1, · · · , fr〉 es una icis en un anillo r.l.e.t.f. (R, η). Notemos
que en el caso r = 1, obtenemos ht(Jf) = m.
En general en una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 pueden existir elementos fi tales
vii
I )
(3)

que la hipersuperficie {fi = 0} sea regular, esto significa que el anillo R/ 〈fi〉
es regular. Por ejemplo los polinomios f = x 2 + xy + z, g = x 2 + y 2 + z,
y h = z en el anillo R = k[x, y, z](x,y,z) nos proporcionan una icis 〈f, g, h〉.
Es evidente que R/ 〈h〉 k[x, y](x,y) es un anillo r.l.e.t.f. Para evitar estos
casos triviales ponemos como condición que ninguna de las hipersuperficies
{fi = 0} sea regular. Ésto equivale a pedir que el ideal Jfi esté contenido
en el maximal η; notemos que esta condición significa, en el caso particular
que R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm), que el jacobiano evaluado en 0 = (0, . . . , 0)
tiene rango cero. En estos casos puede suceder que el lugar singular de fi
sea más grande que un punto, es decir ht(Jfi ) < m = dim(R). Notemos que
ht(Jf) = m si sólo si la singularidad de fi es aislada. Si embargo nosotros
tenemos el siguiente resultado :
Sea una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 de modo que ninguno de sus generadores es
regular. Entonces se pueden escoger generadores g1, · · · , gr de I de manera
que cada gi tenga una singularidad aislada. (Teorema 2.25)
Esta propiedad nos permite reducir el lugar singular de cada uno de los
generadores de I a un punto. En el Ejemplo 2.27 se muestra un ideal I
generado por una secuencia regular de dos elementos en k[x, y](x,y), que tiene
una singularidad aislada en η, y no podemos hallar un representante que sea
regular. Esto significa que, bajo las hipótesis planteadas anteriormente, no
podemos reducir más el lugar singular de los generadores de una icis.
El resultado anterior también se puede interpretar como un teorema de
clasificación local de las singularidades aisladas de tipo intersección
completa; y nos garantiza que todas ellas se pueden formar a partir de
polinomios con singularidades aisladas. Esta propiedad de clasificación es
uno de los principales resultados de la tesis.
El Teorema 2.25 es consecuencia inmediata de la Proposición 2.24 :
Sea I = 〈f1, · · · , fr〉 una icis. Entonces podemos modificar los generadores
para que los primeros r − 1 generadores formen una icis.
Una versión topológica, en el caso k = C, del Corolario 2.19 y de la
Proposición 2.24 se encuentran en [Looj] y [AGV, Teorema 5.4, página 157].
Las demostraciones se basan en propiedades topológicas del cuerpo C. Esta
version topológica se sigue inmediatamente de nuestros resultados.
viii

En relación a la homología cíclica, en el caso quasihomogéneo, expresamos
los k−espacios vectoriales de cohomología de los complejos Dj en función de
los módulos de cohomología de los complejos Lj. Para las singularidades
clasificadas en el Ejemplo 2.67 mencionadas líneas atrás hallamos todos los
k−espacios vectoriales de cohomología de los complejos Dj.
En general obtenemos que Hk (Dj) = Hk DR (R/I) para todo k ≤ m−r −2,
y Hj (Dj) = Ω j
A /d(Ωj A ). Los términos restantes se encuentran envueltos en
secuencias exactas, donde los elementos involucrados son conocidos.
Los complejos Ω≥p definidos en 1.78 proporcionan la homología cíclica
negativa (ver Proposición 1.80). Estos complejos tienen a lo más r+1 términos
de cohomología no nulos. En el caso de dos polinomios presentamos una
secuencia espectral que converge hacia la homología cíclica negativa de R/I
(Proposición 3.34).
A continuación presentamos los resultados principales del trabajo divididos
en capítulos :
En el Primer Capítulo presentamos la definición y principales propiedades
de la homología de Hochschild. Ponemos de manifiesto la estrecha relación
entre esta homología y los diferenciales de Kähler. Esta relación nos permite
describir la suavidad del álgebra R en función de sus diferenciales de Kähler.
Basados en el Corolario 2.2 de [HS] vemos que en un anillo regular local
(R, η) todo elemento f en η cumple que f ∈ Jf (ver Corolario 1.38).
Luego demostramos un resultado clave para el desarrollo del segundo
capítulo, el Corolario 1.41 :
Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y {f1, . . . , fr} ⊂ R, P un ideal primo con
JF ⊂ P. Supongamos que fj /∈ P para todo j = 1, . . . , r. Entonces en
T = Q( R
P ) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no
son algebraicamente independientes sobre k.
La principal información que tomamos del enunciado anterior es la existencia
de un polinomio p(x1, · · · , xr) no nulo para el cual se cumple que
p(f1, . . . , fr) = 0 en el anillo R/P . Esta relación algebraica entre los elementos
f1, . . . , fr resulta crucial para demostrar los principales resultados de la tesis.
Luego presentamos la definición y propiedades de la homología cíclica.
A modo de ejemplo calculamos la homología cíclica del álgebra graduada
k[x]/〈x m+1 〉.
ix

En la última sección del primer Capítulo presentamos un bosquejo de la
demostración de la descomposición de Hodge de la homología cíclica y de
Hochschild. Para ello desarrollamos la teoría de homología cíclica y Hochschild
para álgebra diferenciales graduadas. Entre los principales ejemplos de
estas álgebras se encuentran el complejo de Koszul K(a1, · · · , ar). Conocer su
homología es importante en el trabajo. Se sabe que si la secuencia a1, · · · , ar
es regular el complejo K(a1, · · · , ar) es exacto salvo en el útimo nivel.
Un hecho fundamental, que hacemos notar en el primer Capítulo y que
usamos en repetidas ocasiones, es el siguiente :
Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Para todo ideal I propio se cumple que la
altura del ideal I es igual que la proundidad de I. Para presentar el resultado
anterior introducimos la principales definiciones del álgebra conmutativa que
se emplean en esta sección. Un pilar importante introducido en este capítulo
se refiere a la definición de ideal jacobiano. Presentamos un interpretación
geométrica de esta definición en el ámbito de la geometría algebraica.
En el Segundo Capítulo con ayuda de las propiedades descritas anteriormente
probamos un resultado fundamental en el trabajo :
ht(JF ) = m − r + 1
para una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 . Esta propiedad, junto al hecho de que f ∈
Jf nos permiten demostrar el teorema de clasificación de singularidades
aisladas. Este resultado también se puede obtener usando directamente la
Proposición 2.24. El único requisito que se pide en esta segunda prueba es
que el cuerpo k sea infinito. Este teorema permite generalizar los métodos de
cálculos para un sólo polinomio, al caso de un ideal que sea una icis generado
por r polinomios. Otro item importante que presentamos es el Corolario 2.70:
Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces para todo
primo P tal que JF P el complejo L ′ j, localizado en P, (L ′ j)P , para todo
1 ≤ j < m satisface que H i (L ′ j) = 0 para todo i = j y exacto para todo
j ≥ m.
Este corolario nos dice que los módulos de cohomología de los complejos L ′ j
para j > 0 están soportados en los ideales primos que contienen al ideal
jacobiano JF . En la Sección 2.2 estudiamos el caso que el ideal este generado
por una secuencia regular de longitud dos. El resultado enunciado líneas
x

atra´s nos permiten establecer el cálculo de los módulos de cohomología de
los complejos Lj, que mencionamos anteriormente. También nos permiten
presentar la secuencia espectral (2.15).
Calculamos los módulos de cohomología de los complejos Lm+k en nivel m
y m−2, para el término en grado m−1 hallamos su dimensión. Expresamos los
módulos de cohomología del complejo Lm−1 como T orm−1−∗(Jf/Jf,g, R/I).
Mostramos que la cohomología de los complejos Lj para j < m−1 es exacta.
En la Sección 2.3 generalizamos los resultados de la sección anterior al caso
de r polinomios. Presentamos una secuencia espectral E∗,∗ que converge a la
cohomología de los complejos Lm+k y colapsa en E r . Demostramos también
que los complejos Lm+k sólo tienen r + 1 términos de cohomología no nulos.
El Tercer Capítulo esta reservado para presentar los cálculos de los
módulos de cohomología de los complejos Dj. Como sabemos, estos complejos
calculan la homología cíclica. El cálculo de estos módulos de cohomología
se basa en el hecho que los complejos Lj tienen homología nula en grados
menores a m − r; y más aún, cuando j < m − r − 1, el complejo Lj satisface
que H i (Lj) = 0 para todo i diferente de j. Otra información que usamos
es el conocimiento de la imagen del morfismo proyección π ∗ : H j−r (Dj) →
H j−r (Dj−1) (ver Lema 6 de [BACH]). En la sección 3.1 probamos el Teorema
3.1:
Para j ∈ N, se tiene que
H i ⎧
H
⎪⎨
(Dj) =
i DR (R/I) si i < min{m − r − 1, j}.
H m−r−1
DR (R/Ij−m+r+1 ) si i = m − r − 1, j > m − r − 1.
⎪⎩
Ω j
R/I
dΩ j−1
R/I
si i = j
Si j ≥ m − r, para m − r + 1 ≤ t ≤ m − 1 existe una secuencia exacta
0
H t (Lj)
t−1
HDR (R/Ij−t+1 )
Ht (Dj)
π ∗
t−1 H (Dj−1)
t HDR (R/Ij−t )
En la Sección 3.2 vemos el caso quasihomogéneo, donde expresamos los
módulos de cohomología de los complejos Dj en función de los módulos de
xi
0
(4)

cohomología de Lj. El Teorema 3.9 nos da la cohomología de los Dj en este
caso :
Sea j ∈ N entonces
⎧
0 si t ≤ min{j − 1, m − r − 1}
Ω j
A
H t ⎪⎨
(Dj) =
dΩ
⎪⎩
j−1
si i = j y j < m − r
A
Hm−r (Dm−r) = Ωm−r
A
dΩ m−r−1 si j = m − r; y t = m − r
A
Hm−r (Dj) = Hm−r (Lj) si j > m − r; y t = m − r.
Si m − r < t < m entonces existe una secuencia exacta
0
t−1 H (Dj−1)
Ht (Lj)
Ht (Dj)
con t ≤ j. Si j ≥ m entonces H m (Dj) = 0, y H m−1 (Dj) = H m (Lj) para todo
j ≥ m − 1.
Notemos que este caso abarca todas las curvas inmersas en dimensión tres
en el cuerpo C de la lista que se presenta en [Looj, 7.22].
En la última sección describimos la homología cíclica negativa que se
calcula a partir de los complejos Ω≥p para p > 0 (ver Definición 1.78). Para
poder emplear los resultados que se plantean en [LM] descomponemos el
complejo Ω≥m en dos complejos; el complejo Ω ≥m
f y Ω ≥m
f y. Ambos complejos
son isomorfos y dependen de f, df y dg. En particular se tiene la secuencia
exacta corta
0
Del subcomplejo Ω ≥m
f
Ωf
mología del complejo cociente Ω≥m
f
M(f,g)
≥m Ω
Ωf[−1]
0
0.
(5)
tomamos cierto subcomplejo M(f, g). La coho-
se calcula en el Lema 3.35. Finalmente
descomponemos M(f, g) en dos copias de un complejo Γ, obteniendo una
secuencia exacta
0
Γ
M(f, g)
Γ[−1]
Aquí las columnas de Γ son los complejos E ′ m+k
Hi (E ′ m+k
(Definición 2.60 ) satisfacen
) = 0 para todo i = m. Su cohomología se calcula en el Lema 3.34
xii
0.

Otra forma de abordar el estudio de la cohomología del complejo M(f, g)
es la siguiente : Tomamos un subcomplejo F de M(f, g) (ver Definición 3.42).
presentamos una filtración
En el complejo cociente M(f,g)
F
Ip ⊂ · · · ⊂ I1 =
M(f, g)
,
F
y calculamos el E 1 de esta filtración. Para el complejo F presentamos una
filtración
F1 ⊂ F2 ⊂ . . . ⊂ F.
Esta filtración proporciona una secuencia espectral que colapsa en E 1 , sin
embargo, en general no se sabe si converge.
El Apéndice se divide en cuatro partes. En la primera de ellas se presentan
las definiciones y propiedades básicas del álgebra conmutativa. En la
segunda sección presentamos la propiedades que usamos en el trabajo sobre
el complejo de Koszul. En la sección del ideal jacobiano se establece la
definición del ideal jacobiano para ideales en anillos r.l.e.t.f. Esta definición
también generaliza la definición de icis para polinomios. En la última sección
se presenta algunas propiedades básicas del anillo de polinomios k[x1, · · · , xr]
cuando el cuerpo k es infinito.
xiii

Capítulo 1
Homología de Hochschild y
Cíclica
El objetivo será presentar un bosquejo de la demostración de la descompoción
de Hodge de la homología Cíclica y de Hochschild para el caso de
intersecciones completas. Esto nos servirá de pretexto para proporcionar las
definiciones y propiedades a emplearse en el trabajo. Los anillos que aquí presentamos
son álgebras sobre un cuerpo k de característica cero
La homología de Hochschild y su conocida relación con los diferenciales
de Kähler nos sírve para exportar un pilar fundamental en el trabajo : Si
(R, η) es un anillo local de un punto racional regular, f es un elemento en
su ideal maximal y df ∈ J · Ω 1 R
, entonces f se encuentra en la clausura
algebraica de J (Proposición 1.36). Este resultado nos permite probar un
hecho importante: Sean (R, η), f como antes, entonces f pertenece a Jf,
el radical de su ideal jacobiano (ver Corolario 1.38). En el transcurso del
capítulo ponemos de manifiesto la estrecha relación entre el ideal jacobiano
JF de F = (f1, · · · , fr) y la dependencia algebraica de los fi (ver Corolario
1.41). Estos dos Corolarios son las principales propiedades que se usan en el
transcurso del trabajo.
En la segunda sección desarrollamos las principales propiedades de la
homología cíclica. Calculamos la homología cíclica del álgebra k[x]/〈x m+1 〉.
En la última sección presentamos los elementos necesarios para demostrar
el principal teorema de [CGG]. Este se refiere a la descomposición de la homología
cíclica y Hochschild para álgebras diferenciales graduadas homológicamente
regulares.
1

1.1. Homología de Hochschild
En esta parte presentamos las definiciones del complejo y homología de
Hochschild. La homología de Hochschild y los diferenciales de Kähler tienen
una estrecha y conocida relación. Este hecho nos faculta a desarrollar una
teoría con amplia base con respecto a las propiedades de los diferenciales
de Kähler. Presentamos las secuencias exactas cotangente y conormal. También
ponemos de manifiesto las relaciones que guardan los diferenciales de
Kähler y las propiedades de regularidad del anillo. Un ejemplo de ello es la
caracterización de un anillo regular local en función del primer módulo de
los diferenciales de Kähler (ver Teorema 1.28). Un resultado importante de
la teoría de diferenciales que presentamos se encuentra en el Corolario 1.41.
De esta relación depende la mayoría de los resultados de la tesis.
Definición 1.1. Sean A una k−álgebra y M un A−bimódulo. Definamos
los módulos Cn(A, M) = M ⊗ A ⊗n y b : Cn(A, M) −→ Cn−1(A, M) como
b(m ⊗ a0 ⊗ . . . an) =
(−1) i (m ⊗ a0 ⊗ . . . ⊗ aiai+1 ⊗ . . . ⊗ an)
i=n−1
i=0
Se verifica que b ◦ b = 0 y por lo tanto C(A, M) :
b
b
+ (−1) n (anm ⊗ . . . ⊗ an−1).
0
C0(A, M)
· · ·
Cn(A, M)
Cn+1(A, M) · · ·
es un complejo. Su Homología HH∗(A, M) := H(C(A, M)) es la homología
de Hochschild de A con coeficientes en M.
Cuando M = A denotaremos C(A, A) = C(A) y HHn(A, A) = HHn(A).
Ejemplo 1.2. Sea A = M = k,
Con ello vemos
0
C(k) : 0
k
· · ·
k
k
· · ·
HHn(k) =
1
b
0
k si n=0.
0 si n = 0.
2
1
b
(1.1)

Teorema 1.3. Si A es una k−álgebra unital, proyectiva como k−módulo,
entonces para todo A−bimódulo M se cumple
H(A, M) = T or Ae
n (M, A)
Prueba. [Lod, Proposición 1.1.13].
Ejemplo 1.4. Sea k un cuerpo de característica cero y A = k[x]
remos el complejo
C : 0 Ae
Ae
·u
·v . . .
〈x n+1 〉
. Conside-
con u = x⊗1−1⊗x y v = xn ⊗1+x n−1 ⊗x+. . . 1⊗x n . Bajo el isomorfismo
Ae k[x,y]
〈xn+1 ,yn+1 〉 tenemos que u = x−y, v = n i=0 xn−iyi . Es decir, el complejo
C se escribe
C : 0
k[x,y]
〈x n+1 ,y n+1 〉
k[x,y]
〈xn+1 ,yn+1
·u
·v . . .
〉
Es claro que u · v = v · u = 0. Ahora si p(x, y)u ∈ 〈x n+1 , y n+1 〉 , entonces
p(x, y)u = αx n+1 + βy n+1 = αx n+1 − αy n+1 + (β − α)y n+1 .
Como u divide a α(x n+1 −y n+1 ) y no a y n+1 entonces u divide β −α, es decir,
existe δ tal que u · δ = β − α y por lo tanto
p(x, y) = α · v + δ · y n+1 ∈ 〈v〉 + y n+1 .
Esto nos permite afirmar que p ∈ 〈v〉 en Ae y garantiza la exactitud de C
en grados impares. La exactitud de C en grados pares se verifica de manera
similar.
Con esto queda claro que C es una resolución de A como Ae módulo. Si
aplicamos el functor A⊗Ae, obtenemos
0
A
A
. . .
A
A
. . .
0
(n+1)x n
0
(n+1)x n
Un cálculo directo muestra que HHi(A) = T orAe i (A, A) = A
〈xn si i es impar y
〉
que HHi(A) = (0 : xn ) = Ker(·xn ) si i es par. En grado cero HH0(A) = A.
Se sigue que si n ≥ 1 entonces dimk(HHn(A)) = dimk(HHn+1).
3

Definición 1.5. Sean A una k-álgebra unital y A = A.
Definimos el complejo
k
C(A, M) : 0
M
b
M ⊗ A
b . . .
. . .
Proposición 1.6. Sea (D, b) el complejo
D : 0 D0
b
M ⊗ A ⊗n
M ⊗ A ⊗n+1
b
. . .
b
b
D1
b
Dn
b
Dn+1
. . .
b . . .
Donde Dn = {(m, a1, . . . , an) : ∃i con ai ∈ k} . Entonces (D, b) es acíclico.
Más aún Cn(A,M)
Dn
= Cn(A, M) y por lo tanto π : C(A, M) → C(A, M) es un
quasi-isomorfismo.
Prueba. [Lod, Proposición 1.1.15].
Definición 1.7. Una k−derivación de A en M es una aplicación k−lineal
D : A −→ M,
que cumple la regla de Leibniz D(ab) = aD(b) + D(a)b.
Ejemplo 1.8. Sea A = k[x1, . . . xm] entonces ∂
∂xi
i = 1, . . . , m.
es una derivación para todo
Definición 1.9. Sea A una k−álgebra unital y A = A/k. Definamos
Ω 1 A|k
:= A ⊗ A
N ,
donde N es el A−módulo generado por {a0a1 ⊗ a2 − a0 ⊗ a1a2 + a2a0 ⊗ a1} ,
con la estructura de A−módulo obvia y d : A −→ Ω1 , d(a) = [1 ⊗ a].
A|k
Lema 1.10. La derivación d : A → Ω1 es universal : para toda derivación
A|k
D : A → M existe un único morfismo f : Ω1 → M de A−módulos tal que
A|k
el diagrama
conmuta.
A
d
D
Ω1
∃!f
A
4
M

Prueba. Si definimos f([a ⊗ b]) = aD(b) se prueba que f esta bien definida,
f ◦ d(a) = D(a) y además que f es única.
Corolario 1.11. Si I = Ker(A ⊗ A −→ A) entonces I
I 2 Ω1 A .
Prueba.[Eis, Teorema 16.24].
Corolario 1.12. Si S ⊂ A es un subconjunto multiplicativamente cerrado
entonces Ω 1
S −1 A S−1 A ⊗A Ω 1 A
Prueba. [Eis, Proposición 16.9].
Entre las secuencias que emplearemos se encuentran las siguientes :
Proposición 1.13. Si A → B → C es una secuencia de anillos entonces
existe una secuencia exacta de B−módulos
C ⊗B Ω 1 B|A → Ω1 C|A → Ω1 C|B
→ 0
donde la aplicación del lado derecho envía dc a la clase de dc, y la aplicación
del lado izquierdo envia c ⊗ db a cdb.
Prueba. [Eis, Proposición 16.2].
Proposición 1.14. Si π : A → B es un epimorfismo de k−álgebras con
ker(π) = I, entonces existe una secuencia exacta de B−módulos
I
I 2
d
B ⊗A Ω1 A|k
π
Ω1 B|k
donde la aplicación del lado derecho es dado por b ⊗ da ↦→ bda y la del lado
izquierdo envía la clase de f a 1 ⊗ df.
Prueba. [Eis, Proposición 16.3].
Definición 1.15. Sea k un anillo conmutativo y A una k−álgebra. Un
A−módulo finito universal con derivada finita es un A-módulo finitamente
generado (f.g) ˜ Ω1 A|k y una k−derivada d : A → ˜ Ω1 , con la siguiente propiedad
A|k
universal : Si M es un A−módulo f.g y D : A → M es una k−derivada entonces
existe un único homomorfismo de A−módulos
tal que D = f ◦ d.
f : ˜ Ω 1 A|k
5
→ M
0,

Observación. Notemos que todas las álgebras con las que trabajamos tienen
derivada universal finita.
Notación. Sea (R, η) un dominio local con derivada universal finita, pongamos
(Ω 1 R) ∗ :=
˜Ω 1 R|k
T ( ˜ Ω 1 R|k ),
donde T ( ˜ Ω 1 R|k ) es el módulo torsión y definamos d∗ : A → (Ω 1 R )∗ por medio
de d ∗ = π ◦ d.
Observación. Usaremos las definiciones de dimensión de Krull, altura, secuencia
regular, profundida, anillo Cohen Macaulay, según se presentan en
[Eis] o [Mats] y se detallan a continuación.
Definición 1.16. Sea R un anillo. La dimensión de Krull o simplemente
la dimensión de un anillo R, denotada como dim(R), es el supremo de las
longitudes de las cadenas de ideales primos en R. Es decir, dim(R) = n si
existe una cadena de ideales primos
P0 P1 · · · Pn
y ninguna cadena es de longitud es mayor. Una Cadena de ideales de longitud
n se define como una secuencia
de ideales dos a dos disjuntos.
I0 I1 · · · In
Definición 1.17. Sea P un ideal primo de R. Definimos la altura ht(P )
como el supremo de la longitud de las cadenas de primos
P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn = P.
Si el ideal I no es primo definimos la altura del ideal I como el mínimo de
las alturas de los primos P que contienen a I.
Observación. Cabe resaltar que algunos autores (ej. [Eis]) a la altura del
ideal I la llaman codimensión.
Si el anillo (R, η) es local entonces
dim(R) = ht(η).
Teorema 1.18. Sea x1, . . . , xc ∈ R y P ideal primo minimal entre los primos
que contienen a x1, . . . , xc. Entonces ht(P ) ≤ c.
6

Prueba. [Eis, Teorema 10.2].
Definición 1.19. Sea (R, η) un anillo local. La sucesión x1, . . . , xn se denomina
una secuencia de parámetros si sólo si
η k ⊂ 〈x1, . . . , xn〉 ⊂ η,
y dim(R) = n. Si además 〈x1, . . . , xn〉 = η la secuencia se llama secuencia
regular de parámetros -Ver [ Eis., Corolario 10.7, pág 242]-.
Definición 1.20. Sea (R, η) un anillo local. Una sucesión {x1, . . . , xn} se denomina
secuencia regular (o secuencia R-regular) si sólo sí la aplicación
xi : R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 −→ R/ 〈x1, . . . , xi−1〉
definida por a ↦→ xi · a, es inyectiva para todo i = 1, . . . , n, y además
〈x1, . . . , xn〉 = R.
Definición 1.21. Sea (R, η) un anillo local, por definición la máxima longitud
de secuencias regulares del anillo (R, η) se denomina profundidad del
anillo R y se denota como depth(R).
Definición 1.22. Sea (R, η) un anillo, I un ideal. La máxima longitud de
secuencias regulares de R contenidas en I se define como profundidad(I).
Definición 1.23. Un anillo (R, η) local es llamado Cohen Macaulay si
sólo sí profundidad(R) = dim(R). Ver [Mats.,16.A., Pág 103].
Proposición 1.24. Sea (R, η) un anillo local Cohen Macaulay. Entonces
para todo ideal I tenemos
ht(I) + dim(R/I) = dim(R). (1.2)
Prueba. [Mats, Teorema 29, parte (i)].
Definición 1.25. Sea k un cuerpo de característica cero. Sea (R, η) un anillo
local de un punto cerrado suave y tal que R/η = k. Es decir
R = (k[x1, . . . , xn]/I)η 1 ⋍ k[x1, . . . , xn]η1/Iη1,
con η1 = (x1 − a1, . . . , xn − an). Este anillo es un ejemplo de un anillo regular
loca esencialmente de tipo finito. (r.l.e.t.f.) Nosotros lo llamaremos r.l.e.t.f.
7

Observación. En esta tesis trabajaremos exclusivamente con los anillos
r.l.e.t.f, y sus cocientes. Notemos la forma especial que exigimos sobre el
maximal η1. En el caso que k sea algebraicamente cerrado esta condición
se da automáticamente. Como sus elementos son imágenes de polinomios
entonces abusando del lenguaje también los llamaremos polinomios.
Ejemplo 1.26. El anillo (R, η) = (k[x1, · · · , xm](x1,...,xm), η) es r.l.e.t.f.
Observación. Una manera de caracterizar los anillos r.l.e.t.f. es la que presentamos
a continuación :
Teorema 1.27. Sea S = k[x1, . . . , xr] el anillo de polinomios sobre un cuerpo
k, sea I ⊂ S un ideal y R = S/I. Sea P un ideal primo de S que contiene a I
cuyo cuerpo residual k(P ) = K(S/P ) es separable sobre k y sea c = ht(IP ) ⊂
SP . RP es regular local si y sólo si Ω1 R/k es localmente libre en P de rango
r − c.
Prueba.[Eis, Corolario 16.21]
Nosotros requerimos la siguiente versión.
Teorema 1.28. Sea (R, η) un anillo local e.t.f. El anillo (R, η) es regular
local sií Ω1 R es libre de rango igual a la dimensión de Krull del anillo R.
Prueba. Se sigue del Teorema 1.27.
Observación. Como el módulo Ω 1 R es libre, usando una base de Ω1 R definiremos
en primer lugar la matriz jacobiana de F = (f1, . . . , fr) y luego su ideal
jacobiano. La independencia de la definición del ideal jacobiano de la base
elegida se demuestra en el Apéndice. La definición de ideal jacobiano que
presentamos en el anillo R depende de los representantes, y del número de
representantes del ideal I (ver Apéndice).
También demostramos que los elementos dx1, . . . , dxm generan una base
de Ω 1 R si x1, . . . , xm forman una secuencia regular de parámetros.
Definición 1.29. Sea R un anillo r.l.e.t.f. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉, F = (f1, . . . , fr)
con r > 0 y c = ht(I). Sea e1, . . . , em una base de Ω1 R donde m = dim(R).
Definamos la matriz jacobiana de F en la base e1, . . . , em como Jac(F ) =
8

(fi,j), donde dfj = Σ m i=1fi,jei. Por definición el ideal jacobiano JF es el ideal
generado por los menores c × c de Jac(F )
= (fi,j).
En particular, si F = f,
∂f
y R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm) entonces Jf =
.
∂xi
i=1,...,m
Observación. Notemos que de la definición del ideal jacobiano se tiene que
si f ∈ R y df = m
i=1 fiei entonces Jf = 〈f1, . . . , fm〉 . Más aún df ∈ Jf · Ω 1 R .
Observación. Una propiedad que usaremos más adelante es el hecho que
todo menor M de orden r × r de la matriz Jac(F ) esta contenido en el ideal
JF (ver Corolario 1.40). Para demostrar esta afirmación es suficiente notar
que c ≤ r (ver Teorema 1.18), y que los menores de orden r son combinación
lineal de los menores de orden c de (fi,j).
Observación En el caso particular que R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm), I =
(f1, . . . , ft) y la base elegida sea dx1, . . . , dxm tenemos que la matriz jacobiana
de I coincide con la matriz jacobiana que se define en [Hart.,Cap 1, & 5]. Más
aún, si definimos I(Y ) := {f ∈ k[x1, . . . , xn] : f(x) = 0 para todo x ∈ Y },
como el ideal de Y, donde Y = Z(a), entonces podemos definir :
Definición 1.30. Sea Y una variedad afín y {f1, . . . , ft} generadores de ideal
de Y . La variedad Y es no singular en P ∈ Y si el rango de la matriz ( ∂fi
∂xj )
en P es m − r, donde r es la dimensión de Y. (ver [Hart., & 5]).
Podemos asumir que P es el origen. La condición que la matriz ( ∂fi
∂xj )
tenga rango c := m − r equivale a que al menos un menor de orden c × c sea
unidad en k[x1, . . . , xm](x1,...,xm).
Por lo anterior el punto P = 0 es singular si JF ⊆ η = 〈x1, . . . , xm〉 . Es
decir todo menor de orden c × c de JF al ser evaluado en P = (0, . . . , 0) es
cero.
Ejemplo 1.31. Sea f = x 2 + y 3 + z y g = x 4 z + y en k[x, y, z](x,y,z), entonces
(k[x, y, z]/ 〈f, g〉)(x,y,z) es regular local.
Observación. Los ejemplos anteriores se pueden deducir de un hecho conocido
en geometría algebraica : Sea Y = Z(a) una variedad e I(Y ) el ideal
de esta. Se prueba que I(Y ) = √ a. Sea F = (f1, . . . , ft), donde I(Y ) =
9

〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano de F no se anula en un punto p de Y si sólo si el
anillo de gérmenes de funciones regulares de Y en p
Op,Y := {〈U, f〉 : U es un abierto en Y, f es una función regular}
es un anillo regular local. A continuación presentamos brevemente los elementos
que intervienen en esta afirmación. Por definición una aplicación
f : X → k es regular si para todo punto p ∈ Y existe un abierto U con
p ∈ U ⊂ Y, y polinomios g, h ∈ k[x1, . . . , xn] tal que h es no nulo en U y
f = g
h . Aquí interpretamos los polinomios como funciones de kn a k. Diremos
que f es regular en Y si es regular en todo punto de Y . El elemento 〈U, f〉 es
una clase de equivalencia, donde dos pares (U, f) y (V, g) son equivalentes si
sólo si f = g en U ∩ V. Gracias a [Hart, Teorema I.3.2] se puede identificar
Op,Y con (k[x1, . . . , xn]/I(Y ))P . Por otro lado se prueba que en el anillo
(k[x1, . . . , xn])P se cumple que c = ht(I(Y )), donde dim(Op,Y ) = n − c.
Finalmente presentamos formalmente la afirmación que realizamos al inicio
de la observación :
Teorema 1.32. Sea Y ⊂ k n una variedad afín. Sea p ∈ Y un punto de Y.
Entonces Y es no singular en p si sólo sí el anillo local Op,Y es un anillo
regular local.
Prueba. [Hart, Teorema 5.1].
Ejemplo 1.33. Usaremos el teorema para verificar que el punto (0, 0) es
singular para f(x, y) = x 2 + y 3 en el anillo (k[x, y](x,y), η). El polinomio f
es irreducible. A partir de aquí se prueba que 〈f〉 = 〈f〉 . Por lo tanto si
tomamos Y = Z(f) entonces I(Y ) = I(Z(f)) = 〈f〉 = 〈f〉 .
La dimensión del anillo (k[x, y]/ 〈f〉)(x,y) es uno. Si evaluamos la matriz
jacobiana de f en el punto (0, 0) obtenemos que el rango de esta es cero.
Por lo tanto usando el Teorema 1.32 obtenemos que (k[x, y]/ 〈f〉)(x,y) no es
regular local.
Ejemplo 1.34. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f. Entonces R es un dominio -ver
Lema A.6 o Corolario 10.14 de [Eis.]- y Ω1 R es un R-módulo libre finitamente
generado por el Teorema 1.28. Entonces Ω1 es un R-módulo finito universal
R|k
con derivada finita, es decir
˜Ω 1 R|k = Ω1 R|k .
10

Como Ω1 R es libre, si x ∈ T (Ω1R ) (el módulo torsión de Ω1R ) entonces
x = (x1, . . . , xm) donde x1, . . . , xm ∈ R, y existe un λ ∈ R no nulo tal que
λ · x = 0.
Esta última igualdad equivale a tener λ·xi = 0 para todo i = 1, . . . , m. Como
R es un dominio y λ es no nulo entonces xi = 0 para todo i = 1, . . . , m y
entonces
(Ω 1 R) ∗ = Ω 1 R,
y d ∗ = d. Notemos también que d cumple la propiedad universal para todo
módulo, en particular la cumple para los módulos finitamente generados.
Observación. A continuación presentaremos una relación entre la clausura
integral de un ideal I, denotada por I, y la derivada universal finita.
Definición 1.35. Un elemento x esta en la clausura integral de un ideal
I si satisface una ecuación x n + a1x n−1 + . . . + an = 0 con al ∈ I l para
l = 1, . . . , n (ver [H-S, & 2.]).
Es obvio de la definición de clausura integral de un ideal que I ⊂ √ I. En
particular J f ⊂ Jf.
Proposición 1.36. Sea (R, η) y k como antes y J ⊂ R un ideal propio de
R. Si r ∈ η verifica que dr ∈ J · Ω1 R , entonces r ∈ J.
Prueba. [HS, Corolario 2.2].
Corolario 1.37. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, r ∈ η. Si d(r) es un elemento
en J · Ω1 R entonces r ∈ J.
Prueba. En efecto, del Ejemplo 1.34 obtenemos que (Ω 1 R )∗ = Ω 1 , y d ∗ = d.
La Proposición anterior nos da r ∈ J.
Corolario 1.38. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y f ∈ η. Entonces f ∈ Jf.
Prueba. Notemos que
df ∈ Jf · Ω 1 R :=
finita
λ · ω : ω ∈ Ω 1 R; λ ∈ Jf
11
.

En efecto, como df = Σi=1,...,mfidxi en la base dxi con i = 1, . . . , m y el ideal
jacobiano Jf es generado por fi, entonces df ∈ Jf · Ω 1 R .
Del Corolario 1.37 obtenemos que f ∈ Jf ⊂ Jf.
Proposición 1.39. Sean K ⊂ L cuerpos de característica cero y {xλ} λ∈Λ ⊂
L una colección de elementos. Entonces {dxλ} λ∈Λ es una base de Ω 1 L|K como
un espacio vectorial sobre L si sólo si {xλ} λ∈Λ es una base de transcendencia
de L sobre K.
Prueba. [Eis, Proposición 16.14].
Una aplicación de la Proposición anterior se manifiesta en el siguiente
Corolario.
Corolario 1.40. Sea (R, η) = (k [x1, . . . , xm] (x1,...,xm) , η), y {f1, . . . , fr} ⊂ R,
P un ideal primo con JF ⊂ P. Supongamos que fi /∈ P para todo i. Entonces
en T = Q( R
P ) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no
son algebraicamente independientes sobre k.
Prueba. El grado de transcendencia de R es m. Si r > m entonces los
elementos {f1, . . . , fr} en Q(R) no son algebraicamente independientes sobre
k. Por lo tanto los elementos f1, . . . , fr en Q( R)
tampoco son algebraicamente
P
independientes sobre k.
Supongamos que r ≤ m. Sea W = T m y L : W → Ω1 T definido por
L(ej) = dxj. Si ponemos
vj = (∂fj/∂x1, . . . , ∂fj/∂xm)
entonces L(vj) = dfj. También notemos que los vj para j = 1, . . . , r no son
l.i, pues el jacobiano de la matriz de los vectores vj en la base canónica es
siempre cero ya que todo menor M de orden r × r de la matriz (∂fj/∂xi) (de
orden m × r) es un elemento de JF y JF ⊂ P. Es decir M = 0 en R/P ⊂ T.
Por lo tanto existen λj ∈ T tal que λjvj = 0. Si aplicamos L tenemos que
j λjdfj = 0.
Por la Proposición 1.39 ello significa que los {f1, . . . , fr} no son algebraicamente
independientes sobre k.
Observación. Una generalización del Corolario anterior para álgebras r.l.e.t.f.
se presenta a continuación :
12

Corolario 1.41. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y {f1, . . . , fr} ⊂ R, P un ideal
primo con JF ⊂ P. Supongamos que fj /∈ P para todo j = 1, . . . , r. Entonces
en T = Q( R
P ) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no
son algebraicamente independientes sobre k.
Prueba. Sea dx1, . . . , dxm una base con la que se definió el ideal jacobiano
y
m
dfj =
i=1
fi,jdxi
la representación de dfj en esta base. Si ponemos vj = (f1,j, . . . , fm,j) y
definimos L : W → Ω 1 T como L(ej) = dxj la demostración del Corolario 1.40
permanece válida.
A continuación mostraremos un ejemplo donde la situación planteada
anteriormente sucede.
Ejemplo 1.42. Sea (R, η) = (k [x, y] (x,y) , η, ) y f = x 2 + y 2 , g = x 2 − y 2 .
Entonces Jf,g = 〈xy〉 ⊂ P = 〈x〉 y el ideal primo P no contiene a f ni a g.
Más aún si tomamos el polinomio Q(w, z) = w + z entonces Q(f, g) = 0 en
T = Q(R/P ) el cuerpo de fracciones de R/P.
Observación. Bajo las hipótesis del Corolario 1.41 hemos obtenido un polinomio
no nulo Q(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] tal que Q(f1, . . . , fr) = 0 en el
cuerpo T. Como Q(f1, . . . , fr) ∈ R/P de la inclusión natural R/P ↩→ T es
claro que P (f1, . . . , fr) = 0 en el anillo R/P. Esta relación, P (f1, . . . , fr) = 0
en el anillo R/P, será una de las más importantes en la que se basará la
mayoría de los resultados que presentaremos en los demás capítulos.
Entre otras estructuras que se le proporcionan al complejo de Hochschild
se encuentra el producto barajado que definimos a continuación.
Definición 1.43. Sea Sn el grupo simétrico. Una (p, q) baraja es σ ∈ Sp+q
tal que σ(1) < . . . < σ(p); σ(p + 1) < . . . < σ(p + q)
Definición 1.44. Definamos el producto barajado
∗ = shp,q : Cp(A) ⊗ Cq(A) → Cp+q(A)
(a0, a1, . . . , ap) ∗ (a ′ 0, ap+1, . . . , ap+q) =
13

σ
|σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , ap, ap+1, . . . , ap+q) :=
σ
|σ|(a0a ′ 0, a σ −1 (0), . . . , a σ −1 (p), a σ −1 (p+1), . . . , a σ −1 (p+q)),
donde σ recorre sobre las (p, q) barajas, y |σ| es el signo de la permutación,
ver [Lod, Definición 4.2.1].
Definición 1.45. Una k−álgebra se denomina no negativamente graduada si
A = ⊕ ∞ i=0Ai y x·y ∈ Ai+j para x ∈ Ai e y ∈ Aj. Si además x·y = (−1) |x||y| y·x
entonces A se denomina conmutativa graduada.
Proposición 1.46. El borde de Hochschild cumple
b(X ∗ Y ) = b(X) ∗ Y + (−1) |X| X ∗ b(Y )
Prueba. [Lod, Proposición 4.2.2].
Definición 1.47. Una k−álgebra diferencial graduada (A.D.G) se define
como un álgebra graduada con un morfismo ∂ : An → An−1 que cumple la
regla de Leibniz
∂(ab) = ∂(a)b + (−1) |a| a∂(b)
y es un diferencial, es decir ∂ ◦ ∂ = 0.
De la definición anterior tenemos la siguiente proposición
Proposición 1.48. Si A es una álgebra conmutativa entonces (C(A), ∗, b)
es un ADG y HH(A) es un álgebra conmutativa en el sentido graduado, es
decir xy = (−1) |x||y| yx
Prueba. [Wei, Proposición 9.4.2].
Corolario 1.49. Existe un morfismo de anillos graduados
ψ : Λ ∗ Ω 1 −→ HH∗(A),
dado por ψ(r0dr1 ∧ . . . ∧ dr) = [(r0 ⊗ r1) ∗ . . . ∗ (1 ⊗ rn)]. Si Q ⊂ k entonces
la aplicación es inyectiva.
14

Prueba. [Wei, Corolario 9.4.4].
La siguiente definición nos indica bajo que condiciones el morfismo ψ es
un isomorfismo.
Definición 1.50. Diremos que un álgebra conmutativa unital A es suave si
el ideal I = Ker(µ : A ⊗ A → A) es generado por una secuencia regular en
el anillo local (A ⊗ A) (µ) −1 (η), para todo ideal maximal η en A.
Observación. Como el álgebra A es proyectiva como k−módulo tenemos
(A, A). Si además el álgebra es suave entonces I
que HHn(A) = T orA⊗Aop n
es generado localmente por una secuencia regular. El complejo de Koszul de
esta secuencia es una resolución de A como A ⊗ Aop−módulo. Si usamos esto
dos hechos obtenemos que HH∗(A) = Ω∗ A .
La formalización del comentario anterior se refleja en siguiente teorema.
Teorema 1.51. (Teorema de Hochschild-Konstant-Rosenberg.) Sea
A una álgebra conmutativa e.t.f. sobre un cuerpo k. Si A es suave entonces
ψ : Ω ∗ A → HH∗(A)
es un isomorfismo de álgebras graduadas.
Prueba. Ver [HKR].
Proposición 1.52. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f entonces R es suave
Prueba. Ver [Apéndice, Proposición A.58].
Corolario 1.53. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. entonces
HH∗(R) = Ω ∗ R.
Prueba. Se sigue del Teorema 1.51 y Proposición 1.52
Proposición 1.54. Sea R un anillo local noetheriano conteniendo un cuerpo
k. Si R es suave sobre k entonces R es un anillo regular local.
Prueba. Ver [Wei, Teorema 9.3.11].
15

1.2. Homología Cíclica.
Presentamos la definición así como las propiedades básicas de la homología
cíclica. Un hecho que queremos destacar es el cálculo de la homología
cíclica del álgebra graduada k[x]/〈x m+1 〉. En los dos libros básicos [Lod] y
[Wei] que citamos así como en [Vi] se encuentra planteado solamente.
Existen diferentes maneras de definir la homología Cíclica, nosotros partiremos
de un complejo simplificado.
Definición 1.55. Sea A una k álgebra unital. Definimos
B : A ⊗ A ⊗n −→ A ⊗ A ⊗n+1
por medio de B(a0, . . . , an) = (−1) in (1 ⊗ ai ⊗ . . . ⊗ an ⊗ a0 ⊗ . . . ⊗ ai−1) −
(−1) (i−1)n (ai−1 ⊗ 1 ⊗ ai ⊗ . . . ⊗ an ⊗ a0 ⊗ a1 ⊗ . . . ⊗ ai−2).
Se verifica que B ◦ B = 0 y B ◦ b + b ◦ B = 0.
Definición 1.56. Sea el bicomplejo B(A)
.
A ⊗ A⊗2
.
B
A ⊗ A
.
b
b
A ⊗ A
B
A
.
b
A
Definimos la homología Cíclica de A como HCn(A) = Hn(T ot(B(A), B + b)).
Observación. Es claro que la homología de las columnas de B(A) calculan
la homología de Hochschild de A. Si reemplazamos las columnas del complejo
B(A) por el complejo de Hochschild reducido obtenemos que la homología
16
A

cíclica es isomorfa a la homología del bicomplejo B(A)
B(A) : .
b
A ⊗ A 2
b
A ⊗ A
A
B
B
.
b
A ⊗ A
donde A = A/k y B(a0, . . . , an) = (−1) in (1 ⊗ ai ⊗ . . . an ⊗ a0 ⊗ . . . ai−1).
De manera más precisa tenemos el siguiente Teorema.
Teorema 1.57. Sea A una k−álgebra unital entonces
b
A,
HCn(A) = Hn(T ot(B(A))).
Prueba. Como el morfismo de álgebras π : A → A se extiende a un morfismo
de bicomplejos π : B(A) → B(A) y las columnas de B(A) y B(A) son
quasi isomorfas entonces las homologías de los complejos B(A) y B(A) son
isomorfas.
Ejemplo 1.58. Si A = k obtenemos HCn(k) es k en grado par y cero en
grado impar. De manera general tenemos
Proposición 1.59. Para toda k−álgebra conmutativa con unidad se cumple
HC1(A) Ω1 A
dA
Prueba. [Lod, Proposición 2.1.14].
Teorema 1.60. Dado una k−álgebra A existe una secuencia exacta larga
. . .
HCn−1(A)
HHn(A)
I
HCn(A)
17
.
b
A
S
HCn−2(A)
B
. . .

Prueba. Es suficiente tomar la secuencia exacta larga en homología de
0
(C∗(A), b)
(CC∗(A), b + B)
(CC∗−2(A), b + B)
Observación. Es claro que si f : A → A ′ es un morfismo de k−álgebras entonces
este induce un morfismo de complejos CCn(f) : CCn(A) → CCn(A ′ ).
A continuación veremos la homología cíclica en el caso suave
Lema 1.61. Sea A una k−álgebra conmutativa con unidad. Entonces el diagrama
ψ
HHn(A)
Ω n A/k
d
Ω n+1
A|k
ψ
B
HHn+1(A),
donde ψ(r0dr1 ∧ . . . ∧ dr) = [(r0 ⊗ r1) ∗ . . . ∗ (1 ⊗ rn)], es conmutativo.
Prueba. [Wei, Lema 9.8.10].
Observación. La aplicación (1/n!)π de Loday Quillen induce un morfismo
de bicomplejos.
.
A ⊗ A 2
b
A ⊗ A
b
A
B
B
.
A ⊗ A
B
b
A
.
A
(1/n!)π
−→
.
Ω2
0
Ω1
0
Ω0
d
d
.
Ω1
Ω0 d
.
Ω0
0
(1.3)
En el caso suave usando el hecho de que ψ en cada columna induce un
isomorfismo Ω n A HHn(A) (ver Teorema 1.51) tenemos :
Teorema 1.62. Si A es un álgebra e.t.f suave sobre k entonces
HCn(A) = Ωn A
dΩ n−1
A
18
⊕ H n−2
DR (A) ⊕ . . .

Prueba. Basta tomar las homologías de los complejos totales en 1.3.
Observación. Para ver algunos ejemplos más analizaremos la definición de
la homología cíclica en el caso graduado.
De la definición vemos que C(A) y CC(A) se descomponen en C(A) =
i C(A)i y CC(A) =
i CC(A)i, donde
(A ⊗ A n )i =
ij=i
Ai0 ⊗ Ai1 ⊗ . . . ⊗ Ain.
Lo que si es menos obvio es el Teorema que enunciamos a continuación.
Teorema 1.63. Sea A un álgebra graduada unital sobre k ⊃ Q. Entonces la
secuencia SBI se descompone en
∀i ≥ 1.
0
HCn−1(A)i
HHn(A)i
I
HCn(A)i S
0,
Prueba. [Wei, Teorema 9.9.1].
Continuemos con nuestro ejemplo.
Ejemplo 1.64. Sea A = k[x]
〈xm+1 , entonces por definición tenemos
〉
Ω 1 A =
Ω 1 k[x]
d(x m+1 ) + x m+1 · Ω 1 k[x]
Como d(x m+1 ) = (m + 1)x m dx, usando el isomorfismo Ω 1 k[x]
dad anterior es equivalente a
Ω 1 A =
k [x]
〈x m 〉 ,
.
k [x] , la igual-
y la aplicación d : A → Ω1 A quedaria definida como xk ↦→ kxk−1 . Para todo xk en Ω1 A con k < m podemos tomar (1/(k+1))xk+1 ∈ A no nulo, y tenemos que
d((1/(k +1))xk+1 ) = xk . Entonces d(A) = Ω1 A . Por lo tanto de la Proposición
1.59 obtenemos
HC1(A) = Ω1 A
dA
19
= 0.

Definamos los módulos HHn(A) ˜ := HHn(A)
secuencias exactas
0
0
HC0(A) ˜
HH1(A) ˜
HC1(A) ˜
como HC1(A) = 0 se sigue que
HHn(A0)
y HCn(A) ˜ := HCn(A)
. De las
HCn(A0)
HC1(A) ˜
HH2(A) ˜
HC2(A) ˜
HC0(A) ˜ ˜ HC2(A) ˜ HH2(A) ˜ HH1(A).
Debido que A0 = k entonces HHn(A0) = 0 para todo n > 0. Esto significa
que ˜ HHn(A) = HHn(A) para todo n > 0. Por lo tanto
HC0(A) ˜ ˜ HC2(A)k HH2(A) HH1(A).
El isomorfismo ˜
HC0(A) HH1(A) prueba que HC0(A) = HC(A0)⊕HH1(A).
Debido a que HC0(A0) ⊕ HH1(A) y A = HH0(A) son espacios vectoriales
de igual dimensión entonces HC0(A) HH0(A).
De la secuencia
0
HC2(A) ˜
HH3(A)
0
HC3(A)k
˜
como dimk( ˜ HC2(A)) = dimk(HH2(A)) = dimk(HHn(A)) para todo n > 0
entonces ˜ HC3(A) = 0.
Admitamos como hipótesis inductiva que ˜ HCn(A) HHn(A) para n par
y ˜ HCn+1 = 0. De la secuencia exacta
0
HCn+1(A) ˜
0
HHn+2(A)
HCn+2(A) ˜
como ˜
HCn+1(A) = 0, por hipótesis inductiva, entonces HCn+2(A) HHn+2(A).
Finalmente de la secuencia
0
HCn+2(A) ˜
HHn+3(A)
0
HCn+3(A) ˜
como dimk( ˜ HCn+2(A)) = dimk(HHn+2(A)) = dimk(HHn+3) entonces ˜ HCn+3(A) =
0. Esto finaliza la prueba de inducción. Como HC0(A) = HH0(A) de la
ecuación
HCn(A) = HCn(A0) ⊕ ˜ HCn(A)
20
0
0
0,
0
0

para n ≥ 1 y el hecho que A0 = k se prueba que
⎧
⎪⎨ HH0(A) si n=0
HCn(A) = HHn(A) ⊕ k si n es par
⎪⎩
0 si n es impar
Definición 1.65. Dada la k−álgebra A, definamos el complejo periódico
CP (A) : . . . . . .
. . .
A ⊗ A 2
. . .
A ⊗ A
. . . B
b+d
A ⊗ A
B
A
A ⊗ A
b
A
y la homología cíclica periódica HPn(A) = Hn(CP (A)).
B
b
A
B
. . .
A
(1.4)
Definición 1.66. Definamos el complejo periódico negativo, al cual denotaremos
como CN(A), de la siguiente forma
CN(A) : . . . . . .
. . .
. . .
A ⊗ A 2
B
B A ⊗ A
. . .
A ⊗ A
b
A
B
b
A ⊗ A
y la homología cíclica negativa como HNn(A) = Hn(CN(A)).
B
21
b
A
B
b
A

Observación. De las definiciones anteriores tenemos las secuencias exactas
cortas
0
0
CN∗(A)
CN∗+2(A)
CP∗(A)
CN∗(A)
CC∗−2(A)
(C(A), b)
las cuales proporcionan una secuencia exacta larga que relacionas sus homologías.
1.3. Método de Cálculo
Desarrollamos la teoría de la homología de Hochschild y cíclica para álgebras
diferenciales graduadas. Este estudio nos lleva a conocer la homología
cíclica y Hochschild para álgebras de la forma R/I, donde R es un anillo
r.l.e.t.f. e I es un ideal de tipo interseción completa. Presentamos la definición
de un álgebra diferencial graduada, y calculamos el primer módulo de diferenciales
de Kähler graduado para álgebras de la forma ∧V, y R ⊗ ∧V donde
V es un espacio vectorial graduado. Finalmente desarrollamos las herramientas
necesarias para poder demostrar una versión graduada del Teorema de
Hochschild Kostant Rosenberg, presentamos un bosquejo de la demostración
de la descomposición de Hodge de la homología de Hochschild y cíclica. Esta
decomposición se realiza de la siguiente manera : El complejo cíclico de R/I
se reemplaza por el complejo cíclico de R ⊗ ∧(V ), que es el complejo cíclico
de (T (R ⊗ ∧(V )), ∂, b, B). Este es quasiisomorfo a un complejo de la forma
(ξ, δ, 0, β). El complejo cíclico y de Hochschild de este se descomponen en
ciertos complejos ξ j
j+k y ξj que son quasiisomorfos a Lj y Dj. De aquí se
sigue que estos complejos calculan la homología cíclica y de hochschild del
álgebra R/I.
Observación. Recordemos que una k−álgebra diferencial graduada (A.D.G)
se define como un álgebra graduada con un morfismo ∂ : An → An−1 que
cumple la regla de Leibniz
∂(ab) = ∂(a)b + (−1) |a| a∂(b)
y es un diferencial, es decir ∂ ◦ ∂ = 0. Entre los ejemplos que nos interesa se
encuentra el siguiente
22
0,
0,

Ejemplo 1.67. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal. Definamos
N = ⊕ r i=1R · ei y el complejo
K(f1, . . . , fr) = ∧N =
r
∧ p N,
donde d(ei1 ∧ . . . ∧ eik ) = r j=1 (−1)j−1d(eij )ei1 ∧ . . . ∧ eij ∧ . . . ∧ eik , con
d(eij ) = fj. El producto en K(f1, . . . , fr) se define como ω·η := ω∧η. También
se prueba que el diferencial d cumple d(ω ∧ η) = d(ω) ∧ η + (−1) |ω| ω ∧ d(η).
Observación. Notemos que si V = ⊕ r i=1k · ei entonces N = R ⊗ V y K ∼ =
R ⊗ ∧V como álgebras graduadas. Más aún K(f1, . . . , fr) = ⊗ r i=1K(fi). A
continuación presentaremos un teorema que será pieza fundamental en las
propiedades que presentamos en el segundo Capítulo. Este Teorema se llama
criterio de exactitud y es enunciado a continuación
Teorema 1.68. Sea A un anillo noetheriano. Un complejo de longitud finita
de módulos libres (de tipo finito)
M : 0 M0
p=0
M1
Mn
. . . 0
es exacto excepto posiblemente en el nivel 0 si al localizar en cada primo P
de profundidad(P ) ≤ n − 1, MP es exacto salvo el nivel cero.
Prueba. Corolario 1.4.14 de [BH].
Corolario 1.69. Sea
M : 0
0 M
1 M
. . .
m M
. . .
un complejos de módulos libres f.g. y H i (MP ) = 0 para todo P con ht(P ) <
m, entonces H i (M) = 0 para todo i < m
Prueba. Se sigue del teorema anterior.
Para ilustrar su uso presentamos la demostración del siguiente lema.
Lema 1.70. Sea (R; η) es un anillo r.l.e.t.f. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 donde
{f1, . . . , fr} es una secuencia regular entonces H i (K(f1, . . . , fr), d) = 0 para
todo i = m y H r (K(f1, . . . , fr)) = R/〈f1, . . . , fr〉.
23

Prueba. La demostración se basa en el Criterio de Exactitud.
Como K(f1, . . . , fr) es un complejo de módulos libres f.g de longitud r
aplicamos el Teorema 1.68 cuando n = r.
Sea P un primo tal que profundidad(P ) ≤ r−1. Como profundidad(I) =
r, entonces P I. Es decir algún fi no esta en Pi. Sin perdida de generalidad
podemos asumir que el elemento fr es unidad en el anillo RP .
Como K(f1, . . . , fr) = r i=1 K(fi) entonces podemos escribir el complejo
K(f1, . . . , fr) de la siguiente manera
· · ·
(K(f1, . . . , fr−1))2
(K(f1, . . . , fr−1))1
(K(f1, . . . , fr−1))0
fr
fr
fr
· · ·
(K(f1, . . . , fr−1))2
(K(f1, . . . , fr−1))1
(K(f1, . . . , fr−1))0.
Debido a que el elemento fr es unidad, al calcular los módulos de homología
de las filas del complejo anterior obtenemos cero en todo nivel. Es decir el
complejo K(f1, . . . , fr)P es exacto en RP . Por lo tanto, usando el criterio de
exactitud obtenemos que el complejo H i (K(f1, . . . , fr)) = 0 para todo i = r.
A continuación definimos la homología de Hochschild y la cíclica para
álgebras diferenciales graduadas.
Definición 1.71. Sea (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada. Definamos
en
Cp,q(A) = (A ⊗ A ⊗p )q = ⊕Ai0 ⊗ Ai1 ⊗ . . . ⊗ Aip,
donde la suma recorre las (p + 1)−tuplas (i0, . . . , ip) tal que i0 + . . . + ip = q,
los morfismos
n
∂(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aip) = (−1) i0+...+ij−1ai0 ⊗ . . . ⊗ ∂(aij ) ⊗ . . . ⊗ aip,
b(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aip) =
j=0
p
j=0
(−1) j ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aijaij+1 ⊗ . . . ⊗ aip+
24

(−1) ip(i0+...+ip−1)+p aipai0 ⊗ . . . ⊗ aip−1.
Observación. Se verifica que ∂ ◦ ∂ = 0, b ◦ b = 0, ∂ ◦ b − b ◦ ∂.
Definición 1.72. Definamos el complejo de Hochschild del A.D.G (A, ∂)
como el complejo total de
T (A) : C20
.
.
C21
C22
· · ·
∂
∂
b
b
b
C10
C11
C12
−∂ −∂
b
b
b
C00
C01
C02.
∂
∂
.
· · ·
· · ·
Acá Cpq := Cp,q(A). La homología de Hochschild del A.D.G (A, ∂) se define
como HHn(A, ∂) := Hn(T ot(T (A))).
Definición 1.73. Definamos B : Cp,q(A) → Cp+1,q(A) como
p
B(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aip) = (−1) e(j) 1 ⊗ aij ⊗ . . . aip ⊗ ai0 ⊗ . . . ⊗ aij−1 ,
j=0
donde e(j) = jp + p
ih(
ik).
h=j
k=h
Observación. Se verifica que b ◦ B + B ◦ b = B ◦ ∂ − ∂ ◦ B = 0; y B ◦ B = 0.
Definición 1.74. Definamos el complejo cíclico del A.D.G (A, ∂) como
.
T ot(T (A))2
b+d
T ot(T (A))1
b+d
T ot(T (A))0.
B
.
T ot(T (A))1
T ot(T (A))0
25
B
.
T ot(T (A))0

La homología cíclica del A.D.G (A, ∂) es por definición
HCn(A, ∂) := Hn(T ot(T ot(T (A), b + ∂), B)).
Observación. Generalizar la estructura anterior nos lleva a la siguiente
definición.
Definición 1.75. Dado el bicomplejo (Mp,q; b, d)
M : .
M10
d
.
M11
b
b
M00
M01
M02
d
Definimos HHn(M) = Hn(T ot(M), b + d).
.
M12
· · ·
· · ·
Definición 1.76. Sean (Mp,q, b, d) y B : Mp,q → Mp+1,q, con B ◦ B =
B ◦ d + d ◦ B = B ◦ b + b ◦ B = 0. Definamos el bicomplejo D
.
M2
b+d
B
M1
b+d
M0
.
M1
M0
B
.
M0
donde Mn =
p+q=n Mp,q, B : Mn → Mn+1 y HCn(M) = Hn(T ot(D)).
Observación. Veamos lo que sucede si b = 0. Para dimensiones bajas, el
complejo D se expresa como
26

.
M30 ⊕ M21 ⊕ M12 ⊕ M03
d
M20 ⊕ M11 ⊕ M02
d
M10 ⊕ M01
d
M00
B
.
M20 ⊕ M11 ⊕ M02
M10 ⊕ M01
d
M00
.
. .
.
M00
Analizando los morfismos vemos que D se descompone en los complejos E 0 ∗,
E 1 ∗ y E 2 ∗, . . . los cuales son
.
M02
d
M01
d
M00
.
M12
M11
M10
B
.
d
M02
d
M01
d
M00
.
.
M22
M12
M02
d
M21 M11 M01
d
M20
B
M10 M00
.
. . .
respectivamente. De aquí obtenemos que HC0(D) es la homología en nivel
cero del primer complejo, HC1(D) resulta la suma de la homología de grado
uno del primer complejo y cero del segundo complejo. Finalmente HC2(D)
resulta la suma de la homología en grado dos del primer complejo, en grado
uno del segundo y cero del tercer complejo. En general tenemos:
T ot(D)n =
i≥0 Mn−2i =
i≥0
, y como
n−2i Mp,q
Mn : Mn,0 ⊕ Mn−1,1 ⊕ Mn−2,2 ⊕ . . . ⊕ M2,n−2 ⊕ M1,n−1 ⊕ M0.n
Mn−2 : 0 ⊕ Mn−2,0 ⊕ Mn−3,1 ⊕ . . . ⊕ M1,n−3 ⊕ M0,n−2 ⊕ 0
Mn−4 : 0 ⊕ 0 ⊕ Mn−4,0 ⊕ . . . ⊕ M0,n−4 ⊕ 0 ⊕ 0
27

entonces T ot(D)n =
p+q=n i≥0 Mp−i,q−i
. Por lo tanto, si definimos
Ep q :=
i≥0 Mp−i,q−i tenemos que (Ep ∗, B + b) es un bicomplejo. En efec-
to si (ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ E p
q+1 entonces
(B + d)(ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) =
(dap,q+1+Bap−1,q, dap−1,q+Bap−2,q, . . . , dan−k−i,k+1−i+Ban−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ E p q .
Mas aún T ot(D)n =
p+q=n Ep q y HCn(M) = n p=0 Hn−p(Ep ∗).
La afirmación anterior se refleja en el siguiente diagrama
T otn+1 = E0 n+1⊕ E1 n⊕
⊕ . . . ⊕
T otn = E0 n⊕
E1 n−1⊕
E 2 n−1
E2 n−2
⊕ . . . ⊕
T otn−1 = E0 n−1⊕ E1 n−2 E2 n−3 ⊕ . . . ⊕ 0
el cual en cada sumando se escribe como
E n−k
k+1
: Mn−k,k+1
Mn−k,k
Mn−k−1,k
Mn−k−1,k−1
Mn−k−2,k−1
Mn−k−2,k−2.
E n+1
0
Con ello vemos en la definición anterior que si b = 0, la homología cíclica
se descompone en suma de la homología de ciertos complejos (E p ∗, d + B). La
homología de Hochschild tiene una descomposición similar.
Definición 1.77. Dado (Mp,q, b, d) y B : Mp,q → Mp+1,q, donde B ◦ B =
B ◦ d + d ◦ B = B ◦ b + b ◦ B = 0. Definamos el bicomplejo negativo CN
28
0

. . . .
. . .
M3
M2
B B
. . .
M1
d+b
M0
B
B
d+b
M2
B
d+b
M0
.
d+b
M0
y la homología como HN∗(M) := H∗(T ot(CN)) como la homología cíclica
negativa.
Definición 1.78. Dado el bicomplejo (Mp,q, b, d) y B como en la Definición
1.76 definamos los complejos Lj de la siguiente manera
Mj,0
d
Mj,1
d
d
Mj,2
d
Mj,∗
y el bicomplejo (Mp,q, d, B) como
. . . B
dd
M2,1
. . . d
· · ·
.
B
.
d
M1,1
.
d
M0,1
d
d
d
B
B
M1,0
B
M0,0.
. . . M2,0
Finalmente definamos el complejo M ≥p como
. . . B
d
Mp+2,1
.
B
.
B
d
Mp+1,1
.
d
Mp,1
d
d
d
B
B
Mp+1,0
B
Mp,0.
. . . Mp+2,0
29
B

Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y B : Mp,q −→ Mp+1,q como en la Definición
1.76. Si b = 0 entonces
y
HHn(M) =
HCn(M) =
n
p=0
n
p=0
Hn−p(Lp),
Hn−p(E p ∗).
Prueba. Se sigue del análisis anterior.
Proposición 1.80. Sea (Mp,q, b, d) y B : Mp,q −→ Mp+1,q como en la Definición
1.76. Si b = 0 entonces
HNk(M) =
Hk−2p(M p )
p∈Z
Prueba. Similar a la prueba anterior.
Para grados bajos basta analizar la descomposición de la homología del
siguiente complejo
.
· · ·
.
· · ·
M30 ⊕ M21 ⊕ M12 ⊕ M03
d
· · ·
M20 ⊕ M11 ⊕ M02
· · ·
M10 ⊕ M01
· · ·
M00
.
B
.
M30 ⊕ M21 ⊕ M12 ⊕ M03
30
d
M20 ⊕ M11 ⊕ M02
d
M10 ⊕ M01
d
M00
B
.
M20 ⊕ M11 ⊕ M02
M10 ⊕ M01
d
M00

La definición de la homología cíclica nos permite apreciar de manera
inmediata la siguiente proposición
Proposición 1.81. Dada (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada entonces
existe una secuencia exacta larga
. . .
HHn(A, ∂)
I
HCn(A, ∂)
S
HCn−2(A, ∂) B
. . .
Prueba. Es suficiente tomar homología en la secuencia exacta corta
0
T ot(T (A))∗
T ot(T ot(T (A)), B)∗
T ot(T ot(T (A)), B)∗−2
Observación. En el teorema que viene a continuación usamos la siguiente
propiedad : si f es un morfismo de bicomplejos el cual restricto a cada columna
o fila es un quasiisomorfismo entonces f induce un quasiisomorfismo de
bicomplejos.
Teorema 1.82. Sea f : (A, ∂) → (B, ∂) un quasiisomorfismo y k un cuerpo
entonces f induce un isomorfismo en la homología de Hochschild y por lo
tanto en la Cíclica.
Prueba. En los complejos de Hochschild T (A), T (B) las filas resultan ser
(A; ∂) ⊗ , (B; ∂) ⊗ , y f : (A, ∂) → (B, ∂) es un quasi isomorfismo. Entonces las
fórmulas de Künneth indican que f : T (A) → T (B) establece un quasiisomorfismo
a nivel de cada fila de los complejos T (A) y T (B). Esto significa
que tenemos un quasiisomorfismo entre los bicomplejos T (A) y T (B) - de
acuerdo a la observación anterior-. De aquí, del mismo modo, se prueba también
que f establece un quasiisomorfismo entre la homología cíclica de A y
B.
A continuación desarrollaremos los conceptos necesarios para presentar
una generalización del Teorema de H.K.R (Teorema 1.51) para el caso graduado.
Definición 1.83. Sea (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada. Definamos
el (A, ∂)−módulo graduado
Ω 1 (A,∂) :=
A ⊗ A[−1]
,
N
31
.
0

donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a| a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a〉, a, b homogéneos, A[−1] =
⊕nA[−1]n y A[−1]n = An−1.
Definición 1.84. Sea (A, ∂) una k−A.D.G y M un (A, ∂)−módulo graduado.
Diremos que una aplicación k−lineal
es una derivación graduada si
D : (A, ∂) → M
D(a · b) = (−1) |a| a · D(b) + (−1) |a||b| b · D(a).
Ejemplo 1.85. Sea (A, ∂) una k−A.D.G. La aplicación
d : (A, ∂) → Ω 1 (A,∂)
definida como d(a) = 1 ⊗ a cumple la definición anterior. La relación que
guarda ∂ y d es la siguiente : Si en A ⊗ A[−1] definimos el diferencial
∂A⊗A(a ⊗ b) = ∂(a) ⊗ b − (−1) |a| a ⊗ ∂(b),
y denotamos por δ la aplicación ∂ en el Ω(A,∂). Entonces
d ◦ ∂(a) + δ ◦ d(a) = 1 ⊗ ∂(a) + δ(1 ⊗ a) = 1 ⊗ ∂(a) − 1 ⊗ ∂(a) = 0.
Nota. Existen diferentes maneras de definir un derivada para el caso graduado;
una que se encuentra en [Vi] y otra la de [Lod]. En esta parte se analiza
la relación entre ellas; la que presentamos a continuación.
Definición 1.86. Definamos la aplicación µ : A ⊗ A −→ A como µ(a ⊗ b) =
a · b, e I = Ker(µ).
Lema 1.87. Con la estructura de álgebra (a ⊗ b) · (x ⊗ y) = (−1) |b||x| ax ⊗ by,
definida en A ⊗ A el ideal I es generado por a ⊗ 1 − 1 ⊗ a.
Prueba. En efecto si µ(
i ai ⊗ bi) =
i ai · bi = 0, entonces
(ai ⊗ bi − aibi ⊗ 1) =
(ai ⊗ 1) · (1 ⊗ bi − bi ⊗ 1)
i
i
A ⊗ A
Lema 1.88. Sea A un A.D.G., entonces
N ′
I
, donde N se define de
I2 la siguiente manera N := 〈1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a〉.
32

Prueba. Sea α : A ⊗ A −→ I
definida como α(a ⊗ b) = a ⊗ b − ab ⊗ 1, de
I2 las igualdades
y
α(c · (a ⊗ b)) = α(ca ⊗ b) = ca ⊗ b − cab ⊗ 1 = c · α(a ⊗ b)
α(1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a) =
1 ⊗ ab − ab ⊗ 1 − (a ⊗ b − ab ⊗ 1) − (−1) |a||b| (b ⊗ a − ba ⊗ 1) =
1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a + ab ⊗ 1 = (1 ⊗ a − a ⊗ 1)(1 ⊗ b − b ⊗ 1),
A ⊗ A
tenemos que α induce una aplicación α :
N ′
I
−→ a la cual también
I2 A ⊗ A
denominaremos α. Ahora tomemos β : A ⊗ A −→
N ′ definida como
β(a ⊗ b) = a ⊗ b. Del hecho
−a ⊗ 1 = 1 ⊗ a · 1 − a ⊗ 1 − (−1) |a||1| 1 ⊗ a
tenemos que β(1 ⊗ a − a ⊗ 1) = 1 ⊗ a. Por otro lado notemos que todo
elemento x ∈ I2 se escribe como
x =
ri(1⊗ai−ai⊗1)r ′ i(1⊗bi−bi⊗1) =
(−1) tirir ′ i(1⊗ai−ai⊗1)(1⊗bi−bi⊗1),
i
(ver Lema 1.87), pues
y como
(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1)r ′ i(1 ⊗ bi − bi ⊗ 1) =
(−1) |ai||r ′ i | r ′ i ⊗ aibi − (−1) |ai|(|r ′ i |+|bi|) r ′ ibi ⊗ ai − air ′ i ⊗ bi + air ′ ibi ⊗ 1 =
(−1) |ai||r ′ i | r ′ i(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1)(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1),
β((1⊗a−a⊗1)(1⊗b−b⊗1)) = 1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a + ab ⊗ 1 ∈ N ′
y β es A lineal. Entonces hemos definido una aplicación β : I A ⊗ A
−→
I2 N ′ .
Ahora como
β ◦ α(a ⊗ b) = β(a ⊗ b − ab ⊗ 1) = a ⊗ b,
y
α ◦ β(1 ⊗ a − a ⊗ 1) = α(1 ⊗ a) = 1 ⊗ a − a ⊗ 1
33
i

concluimos la prueba del lema.
Una de las propiedades que se preservan del caso no graduado es la siguiente
Lema 1.89. El A−módulo Ω1 A tiene la propiedad universal : Dado cualquier
derivación D : A → M existe un único f : Ω1 A → M morfismo de A módulos
que hace que el diagrama
conmute.
A
d
D
Ω1
∃!f
A
Prueba. Es suficiente definir f(a ⊗ b) = aD(b)
Observación. notemos que el morfismo d1 : A → A⊗A
N ′ definido como d1(a) =
1 ⊗ a verifica la siguiente igualdad
Definamos la aplicación
De la definición tenemos que
M
d1(ab) = ad1(b) + (−1) |a||b| bd1(a).
d ′ (a) = (−1) |a| d1(a).
d ′ (ab) = (−1) |a|+|b| d1(ab) = (−1) |a|+|b| (ad1(b) + (−1) |a||b| bd1(a)) =
(−1) |a| a(−1) b d1(b) + (−1) |b|+|a||b| b(−1) |a| d1(a) =
es decir d ′ es una derivación.
(−1) |a| ad ′ (b) + (−1) |b|+|a||b| bd ′ (a)
= (−1) |a| ad ′ (b) + (−1) |a||b| bd ′ (a),
Lema 1.90. La derivada d ′ : A → A⊗A
N ′ cumple la propiedad universal : Para
toda derivación graduada
D : A → M
34

existe un único morfismo f : A⊗A
N ′
conmute.
A
d ′
→ M, tal que el diagrama
D
A⊗A
N ′
∃!f
Prueba. Definamos la aplicación f1 : A ⊗ A → M como f1(a ⊗ b) =
(−1) b aD(b). Sea 1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a un generador de N ′ , entonces
M
f1(1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a)
= (−1) |a|+|b| D(ab) − (−1) |b| aD(b) − (−1) |a||b|+|a| bD(a) =
(−1) |a|+|b| ((−1) |a| aD(b)+(−1) (|a|+1)|b| bD(a))−(−1) |b| aD(b)−(−1) |a||b|+|a| bD(a)
= (−1) |b| aD(b) + (−1) |a||b|+|a| bD(a) − (−1) |b| aD(b) − (−1) |a||b|+|a| bD(a) = 0.
Por lo tanto f1 induce una aplicación en el cociente
f :
A ⊗ A
N ′
→ M,
más aún notemos que f ◦ d ′ (a) = D(a). Además es claro que f es única.
Corolario 1.91. El módulo Ω 1 (A,∂)
es isomorfo al módulo graduado A⊗A
N ′ .
Prueba. Se sigue directamente de la propiedad universal.
Ejemplo 1.92. Sea V un espacio vectorial graduado y ∧V el álgebra simétrica
libre en el sentido graduado, entonces Ω1 ∧V = ∧V ⊗ V [−1]. En efecto,
definamos la aplicación
como
d(v1 · · · vn) =
d : ∧V −→ ∧V ⊗ V [−1]
n
(−1) |v1|+···+|vi−1|+|vi|(|vi+1|+···+|vn)|)
v1 · · · vi · · · vn ⊗ vi.
i=1
35

Sean x, y elementos en ∧V. Sin perdida de generalidad los podemos suponer
que son de la forma x = v1 · · · vn y y = w1 · · · wn. Entonces
n
(−1) a v1 · · · vi · · · vn · y ⊗ vi +
i=1
d(v1 · · · vn · w1 · · · wn) =
m
(−1) b x · w1 · · · wj · · · wm ⊗ wi,
donde a = |v1| + · · · + |vi−1| + |vi|(|vi+1| + · · · + |vn| + |y|) y b = |x| + |w1| +
· · · + |wi−1| + |wi|(|wi+1| + · · · + |wm|). Como
j=1
v1 · · · vi · · · vn · y = (−1) |w|(|v|−|vi|) y · v1 · · · vi · · · vn,
entonces la igualdad anterior se escribe
(−1) |y||x| y · d(x) + (−1) |x| x · d(y).
Esto indica que la aplicación d es una derivada.
Por otro lado, para toda derivada D : A → M y x = v1 · · · vn elemento
en ∧V se cumple que
D(x) =
n
(−1) |v1|+···+|vi−1|+|vi|(|vi+1|+···+|vn)|)
v1 · · · vi · · · vn · D(vi);
i=1
por lo tanto si definimos
f : ∧V ⊗ V [−1] → M
como f(x ⊗ v) = xD(v) obtenemos que f ◦ d = D. Esto significa que
Ω 1 ∧V = ∧V ⊗ V [−1].
Entre los ejemplos que nos interesa se encuentra el ADG (A ⊗ ∧V, ∂),
en un caso particular, cuando A es un anillo r.l.e.t.f. En general tenemos el
siguiente Lema.
Lema 1.93. Sea A0 ⊗ ∧V un A.D.G., entonces
d : A0 ⊗ ∧V −→ Ω 1 A := Ω 1 A0 ⊗ ∧V ⊕ A0 ⊗ Ω 1 ∧V
dado por d(a ⊗ v) := da ⊗ v + a ⊗ dv es la derivada universal.
36

Prueba. Notemos que Ω 1 A tiene una estructura de A módulo, pues Ω1 A0 y
Ω 1 ∧V tienen estructura de A0 y ∧V módulos respectivamente, donde Ω 1 A0
tiene grado uno. Ahora definamos la siguiente aplicación d : A −→ Ω 1 A como
d(a ⊗ v) = da ⊗ v + a ⊗ dv.Veamos que d sea una derivación. En efecto, de
las igualdades
d(a ⊗ v · b ⊗ w) = dDR(ab) ⊗ vw + ab ⊗ dDR(vw) =
d(a)b ⊗ vw + ad(b) ⊗ vw + ab ⊗ d(v)w + (−1) |v| ab ⊗ vd(w) =
d(a)⊗v·b⊗w+a⊗d(v)·b⊗w+(−1) |v| a⊗v·d(b)⊗w+(−1) |v| a⊗v·b⊗d(w) =
d(a ⊗ v) · b ⊗ w + (−1) |v| a ⊗ v · d(b ⊗ w);
tenemos que d es una derivación según se define en [Vi]. A continuación
veremos que d cumple la propiedad universal. En el diagrama
A0
D
A
id⊗1
d
d
Ω1
∃!f
1
A0 Ω
id⊗1 A
claramente A0 ↩→ A y Ω1 A0 ↩→ Ω1A (pues k es un cuerpo). Es decir D induce
una derivación d1 = D ◦ (id ⊗ 1) sobre A0 y por la propiedad universal
existe una única aplicación f1 : Ω1 −→ M. El mismo análisis para ∧V nos
A0
proporciona f2 : Ω1 ∧V −→ M. Definamos f : Ω1A −→ M como f(adb ⊗ v) =
f1(bda)v, f(a ⊗ dv) = af2(v), y como f(d(a) ⊗ v + a ⊗ d(v)) = f1d(a)v +
af2d(v) = D(a ⊗ 1)v + aD(1 ⊗ v) = D(a ⊗ v), el diagrama
A
d
D
Ω1
∃!f
A
conmuta. La unicidad se sigue del hecho que f restricto a cada uno de los
sumandos es único por la propiedad universal de ΩA0 y Ω 1 ∧V respectivamente.
M
Lema 1.94. En ∧V ⊗ ∧V ⊗ ∧V existe un diferencial
M
δ : ∧V ⊗ ∧ p V ⊗ ∧V −→ ∧V ⊗ ∧ p−1 V ⊗ ∧V,
37

con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el complejo
· · · ∧ V ⊗ ∧pV ⊗ ∧V δ
p−1 ∧V ⊗ ∧ V ⊗ ∧V
· · ·
∧V ⊗ ∧V
donde m(x ⊗ y) = xy, es exacto salvo posiblemente en el último nivel.
Prueba. Sea (∧V, 0) y (∧V ⊗ ∧V, D) donde D(v) = v y D 2 = 0. Veamos
que este último complejo es exacto. Si V = 0 no hay nada que probar. Por
lo tanto podemos asumir que V = 0 y tomar una base (B, ≺) totalmente
ordenada de V ; entonces en elementos de ∧(k · w1) ⊗ ∧(k · w1) definimos :
Si |w| es impar h(w p ⊗ w) = w p+1 /(p + 1), y h(w p ) = 0. Si |w| es par
h(w ⊗ w p ) = 0 y h(w p ) = w ⊗ w p−1 . De la definición anterior tenemos : Si
|w| es impar,
(hD + Dh)(w p ⊗ w) = Dh(w p ⊗ w) = D(w p+1 /(p + 1)) = w p ⊗ w
pues hD(w p ⊗ w) = w p ⊗ w 2 = 0 (pues w 2 = 0) y
(hD + Dh)(w p ) = hD(w p ) = h(pw p−1 ⊗ w) = w p .
En el caso cuando |w| es par el análisis es similar. Si definimos
A(w1, · · · , wr) = ∧(k · w1) ⊗ ∧(k · w1) ⊗ · · · ⊗ ∧(k · wr) ⊗ ∧(k · wr),
para una secuencia estrictamente creciente w1 < · · · < wr, h se extiende a
una aplicación
h : ∧ ∗ V ⊗ ∧V −→ ∧ ∗+1 V ⊗ ∧V,
definida como h(x1, · · · , xr) = (−1) |x1|+···+|xr|
x1 ⊗ · · · ⊗ xr−1 ⊗ h(xr), pues
∧ ∗ V ⊗ ∧V =
A(w1, · · · , wr)
De aquí obtenemos
r≥1
w1

(−1) αr−1
r
(−1) αi−1x1⊗· · ·⊗D(xi)⊗· · ·⊗h(xr) = x1⊗· · ·⊗xi⊗· · ·⊗hD(xr)+
i=1
x1 ⊗ · · · ⊗ xi ⊗ · · · ⊗ Dh(xr) = x1 ⊗ · · · ⊗ xi ⊗ · · · ⊗ xr;
es decir el complejo (∧V ⊗ ∧V, D) es exacto. Ahora tomando el producto
tensorial con (∧V, 0) obtenemos que (∧V ⊗ ∧V ⊗ ∧V, D) es una resolución
de ∧V como ∧V ⊗ ∧V módulo; aquí denotamos el diferencial del producto
tensorial como D.
[ Definamos la aplicación (1⊗h)(x⊗y) = (−1) |x| x⊗h(y). De la definición
obtenemos :
(D(1⊗h)+(1⊗h)D) = D((−1) |x| x⊗h(y))+(1⊗h)((−1) |x| x⊗D(y)) = x⊗y]
Definamos f : ∧V ⊗∧V ⊗∧V → ∧V ⊗∧V ⊗∧V por f(1⊗v⊗1) = 1⊗v⊗1,
f(1⊗1⊗v) = v ⊗1⊗1−1⊗1⊗v, y f(v ⊗1⊗1) = v ⊗1⊗1; como f ◦f = Id
entonces f establece un isomorfismo. Esto indica que δ = f −1 ◦ D ◦ f es una
derivada. Esta derivada cumple
δ(1 ⊗ v ⊗ 1) = f −1 ◦ D(f(1 ⊗ v ⊗ 1)) = f −1 ◦ D(1 ⊗ v ⊗ 1) =
f −1 (1 ⊗ 1 ⊗ v) = v ⊗ 1 ⊗ 1 − 1 ⊗ 1 ⊗ v
y δ(v ⊗ 1 ⊗ 1) = δ(1 ⊗ 1 ⊗ v) = 0
[ notemos también que todo elemento x ⊗ y ⊗ z = (x ⊗ 1 ⊗ 1)(1 ⊗ y ⊗
1)(1 ⊗ 1 ⊗ z)]
Usando este último resultado podemos demostrar una versión graduada
del teorema H.K.R para el álgebra ∧V. Para la definición del bicomplejo
(ξ(∧V ), δ, β) nos remitimos al Ejemplo 2 de [BV].
Teorema 1.95. Sea (∧V, ∂) una k−álgebra diferencial graduada y k un cuerpo
de característica cero entonces
definida como
θp,q : Tp,q −→ ξp,q
θp,q(a0 ⊗ · · · ⊗ ap) = (−1)i1+i3+···
a0β(a1) · · · β(ap),
p!
donde ξp,q = (∧V ⊗ ∧ p V )p+q verifica :
1)θ ◦ b = 0, θ ◦ ∂ = δ ◦ θ, y θ ◦ B = β ◦ θ.
2)H(θ) : H∗(T ot(Tp,q), b + ∂) −→ H∗(T ot(ξ(A)), δ) es un isomorfismos.
3)H(θ) : H∗(T ot(Tp,q), b + ∂, β) −→ H∗(T ot(ξ(A)), δ, β) es un isomorfismo.
39

Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
p−1
θ(
i=0
θ ◦ b(a0 ⊗ a1 · · · ⊗ ap) =
(−1) i (a0 ⊗ · · · ⊗ aiai+1 ⊗ · · · ⊗ ap) + (−1) p+αp apa0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ap−1) =
1
p! (
p−1
(−1) i+i1+i3+···
a0 ⊗ β(a1) ⊗ · · · ⊗ β(aiai+1) ⊗ · · · ⊗ β(ap)+
i=0
(−1) p+αp apa0 ⊗ β(a1) ⊗ · · · ⊗ β(ap−1))
donde αp = ip(i0 + · · · + ip−1). Sin perdida de generalidad podemos suponer
que i es par, entonces
((−1) (i−1)+i1+i3+···+ii−1+ii+ii+2+··· a0⊗β(a1)⊗· · ·⊗(β(ai−1)ai+(−1) ii−1 ai−1β(ai))⊗· · ·⊗β(ap))+
((−1) i+i1+i3+···+ii−1+ii+2+··· a0⊗β(a1)⊗· · ·⊗(β(ai)ai+1+(−1) ii aiβ(ai+1))⊗· · ·⊗β(ap))
De aquí se sigue que el primer término de la primera igualdad con el último
término se cancelan consecutivamente. Analizando el caso i = p − 1 e i = p,
obtenemos : Si p es par
· · · + (−1) (p−1)+i1+i3+···+ip−1+ip a0β(a1) · · · (β(ap−1)ap + ap−1β(ap))+
(−1) p+αp+i1+i3+···+ip−1 apa0β(a1) · · · β(ap−1) = 0,
la razón de esta afirmación es que al permutar ap para tener apa0β(a1) · · · β(ap−1)
en el primer sumando generamos el signo αp + ip(p − 1) el cual permite eliminar
el signo de ip (pues p − 1 es impar) y tener un signo opuesto al del último
sumando. El caso cuando p es impar es similar.
Para θ ◦ ∂ = δ ◦ θ obtenemos
θ ◦ ∂(a0 ⊗ · · · ⊗ ap) = θ(
(−1) i0+···+ik−1a0 ⊗ · · · ⊗ ∂(ak) ⊗ · · · ⊗ ap) =
k
aquí analizaremos dos casos (obviando el término 1/p!) : Si k es par obtenemos
la expresión :
(−1) i0+···+ik−1 (−1) i1+i3+··· a0β(a1) · · · β(∂(ak)) · · · β(ap)
40

como k − 1 es impar y β(∂(ak)) = −∂(β(ak)), la última expresión se puede
escribir
(−1) i0+(i1+1)+···+(ik−1+1) (−1) i1+i3+··· a0β(a1) · · · ∂(β(ak)) · · · β(ap).
Si k es impar obtenemos
(−1) i0+···+ik−1 (−1) i1+i3+···+(ik−1)+··· a0β(a1) · · · β(∂(ak)) · · · β(ap)
como β(∂(ak)) = −∂(β(ak)) y k − 1 es par
(−1) i0+(i1+1)+···+(ik−1+1) (−1) i1+i3+···+(ik−1)+···+1 a0β(a1) · · · ∂(β(ak)) · · · β(ap).
Del análisis anterior es claro que θ◦∂ = ∂◦β. La última igualdad se demuestra
de manera similar.
A continuación abordamos la segunda parte de la demostración. Establecemos
un quasiisomorfismo entre los bicomplejos (Tp,q, b+∂) y (ξ(A)p,q, 0+δ).
Para ello será suficiente demostrar que θ establece un quasiisomorfismo entre
(Tp,q, b) y (ξ(A)p,q, 0). Aquí nuevamente estamos usando el mismo argumento
que se usó en el Teorema 1.82. Tomando homología en estos últimos complejos
obtenemos el morfismo
como ξ1 = ∧V ⊗ V definamos
como θ ′ 1(x ⊗ v) = x ⊗ v. Notemos que
θ1 : H1(Tp,q, b) −→ ξ1,
θ ′ 1 : ∧V ⊗ V → H1(Tp,q, b)
θ1 ◦ θ ′ 1(x ⊗ v) = θ1(x ⊗ v) = (−1) |v| x ⊗ v
de lo que se concluye que θ es inyectiva. Para sobreyectividad es suficiente
observar el cociente
H1(Tp,q, b) =
∧V ⊗ ∧V
ab ⊗ c − a ⊗ bc + (−1) |c|(|a|+|b|) ca ⊗ b ,
él nos indica que todo elemento x ⊗ y = x ⊗ v1 · · · vl se puede escribir como
(−1) li xi ⊗ vi,
41

indicando con ello que θ ′ 1 es sobreyectiva. Del hecho que ∧V ⊗ ∧V es un
álgebra graduada libre generada por ∧V ⊗ V , tenemos que θ ′ 1 se extiende a
θ ′ k : ∧V ⊗ ∧ k V → Hk(T ot(Tp,q), b)
Como θ ′ 1 es un isomorfismo si probamos que Hk(T ot(Tp,q), b) es una álgebra
libre generada por H1(T ot(Tp,q), b) tendríamos que θ ′ k es un isomorfismo. Para
probar esta última afirmación nos basamos en el cálculo de la homología
del álgebra graduada ∧V como T or∧V ⊗∧V (∧V, ∧V ), (Proposición 2.5 [V.B].)
Tomando la resolución
(∧V ⊗ ∧V ⊗ ∧V, D)
y efectuando el producto tensorial como ∧V ⊗ ∧V módulos, obtenemos que
(Hk(T ot(Tp,q), b)) = (∧V ⊗ ∧ k V ),
que prueba la afirmación.
Observación. La generalización del teorema anterior para ciertas álgebras
de la forma A0 ⊗ ∧V donde V := ⊕i≥1Vi, es un espacio vectorial graduado,
se presenta a continuación.
Definición 1.96. Una k−álgebra A es llamada homológicamente regular si
y sólo si la aplicación ε : (A ⊗ A ∗ , b) −→ (Ω∗ R , 0) definida en [LQ] es un
es flat.
isomorfismo y Ω 1 A
Ejemplo 1.97. Del Teorema 1.28 y Corolario 1.52 tenemos que si el anillo
(R, η) es r.l.e.t.f. entonces Ω∗ R es flat y HH∗(R) Ω∗ R respectivamente. Es
decir (R, η) es un álgebra homológicamente regular.
Definición 1.98. Una k−álgebra diferencial graduada (A, d) se llama homológicamente
regular si A = A0⊗∧V donde A0 es homológicamente regular
y V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · es un espacio vectorial graduado.
Ejemplo 1.99. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Del Ejemplo 1.67 tenemos que
el complejo de Koszul K(f1, . . . , fr), de una secuencia de elementos f1, . . . , fr
en el anillo R, es un A.D.G de la forma R ⊗ ∧V, donde V = V1 = ⊕ r i=1k · ei.
Por otro lado del ejemplo anterior tenemos que el anillo R es un álgebra
homológicamente regular. Por lo tanto el álgebra K(f1, . . . , fr) (descrita en
el Ejemplo 1.67) es una k−A.D.G. homológicamente regular.
42

Definición 1.100. (Ver definición 2.3 y Definición 2.4 de [CGG].) Sea el
complejo Koszul (A0 ⊗ ∧V, d). Definamos el bicomplejo (como se indica en
la Definición 1.76)
ξ = (ξp,q, δ d p,q, 0, βp,q)
donde ξp,q = ⊕ p
i=0 Ωi A0 ⊗ (∧V ∧ V p−i )p+q−i si p ≥ 0 y q ≥ 0, y cero en otro
caso. Ponemos δp,q(w ⊗ x) = (−1) iw ⊗ δ(x), δ|A = d, β como la derivada que
definimos en el Lema 1.93 y sujeta a la condición δ ◦ β + β ◦ δ = 0.
Observación. En algunas ocasiones (ver Sección 3.3) usaremos la siguiente
notación
Ωp,q = ξp,q.
Con esta definición tenemos :
Teorema 1.101. La homología cíclica, (respectivamente la homología de
Hochschild), del A.D.G. A0 ⊗ ∧V es la homología cíclica, (respectivamente
de Hochschild), del bicomplejo ξ.
Prueba. [CGG, Teorema 2.6].
Notemos que aquí estamos haciendo referencia a la Definición 1.72 y
Definición 1.74 que se dio para A.D.G. Recordemos también que en caso
que b = 0, como este, las homologías antes mencionadas tienen cierta descomposición.
Esto se manifiesta en el siguiente Corolario.
Corolario 1.102. La homología cíclica y Hochschild de (A ⊗ ∧V, b) se descompone
en la suma de las homologías de los complejos (ξj , δ, β) y (ξ j
j+k , δ)k≥0
ξ j
j+2
δ
ξ j
j+1
β
β
ξ j−1
j+1
ξ j−1
j
. . . ξ1
3
. . . ξ1
2
β
ξ 0 2
δ
ξ0 1
δ
δ
ξ j
j ξ j−1
. . .
β j−1
ξ1
1 ξ0
β 0
donde ξ j−h
m−2h = j−h
i=0 Ωi A0 ⊗ (∧V ⊗ ∧V j−h−i )m−2h−i.
43
β

Prueba. [CGG, Corolario 2.7].
Notemos que
ξp,q = ξ p
p+q.
Observación. A continuación justificaremos, sin demostración, por que la
necesidad de calcular HH(A0 ⊗ ∧V, ∂) y HC(A0 ⊗ ∧V, ∂). Primero debemos
de recordar que el álgebra (A0 ⊗ ∧V, ∂), si V = V1 = ⊕r i=1ei, es el complejo
de Koszul (ver Ejemplo 1.67). Cuando ∂(ei) = fi con i = 1, . . . , r forman
una secuencia regular se prueba que el álgebra (A0 ⊗∧V, ∂) es una resolución
de A0/I, donde I = 〈fi : i = 1, . . . , r〉 (ver Lema 1.70.) De la definición del
bicomplejo T (A0 ⊗ ∧V ) se observa que las filas de este complejo son dadas
por el producto tensorial del complejo (A0 ⊗ ∧V, ∂), sobre el cuerpo k. Por
lo tanto usando las fórmulas de Kunnet se prueba que la filas (A0 ⊗ ∧V, ∂) ⊗∗
son quasisomorfas a (A0/I) ⊗∗ y que por lo tanto el bicomplejo T (A0 ⊗∧V ) es
quasisomorfo al complejo de Hochschild (C(A0/I), b). Siguiendo los mismos
lineamientos se demuestra que la homología cíclica del álgebra (A0 ⊗ ∧V, ∂)
proporciona la homología cíclica del álgebra A0/I. A continuacion describimos
los complejos ξj ∗ y proporcionamos de manera informal cierto quasiisomorfismo
entre el complejo ξ j
k y cierto complejo Lj que luego formalizamos.
En efecto, sea
ξ j δ
δ
· · · ξ j
δ
δ . . .
ξj ∗ : 0 ξ j
j
donde ξ j
k = j
i=0 Ωi A0 ⊗ (∧V ⊗ ∧V j−i )k−i. Usando el isomorfismo
ξ j
k
j
i=0
j+1
si definimos t := 2j − i se prueba que
ξ j
k
j+∗
(Ω i A0 ⊗ V j−i ) ⊗A0 (A0 ⊗ ∧V )k+i−2j,
2j
(Ω 2j−t ⊗ V t−j ) ⊗A0 (A0 ⊗ ∧V )k−t.
t=j
Definición 1.103. Definamos el complejo (L ′ j, δ) como
(L ′ j, δ) : Ωj ⊗ ∧V 0
δ
Ωj−1 ⊗ ∧V 1
δ
· · ·
0.
44
Ω 0 ⊗ ∧V j
δ

Lema 1.104. Sea j en los naturales entonces ξ j ∗ (L ′ j, δ) ⊗A0 K(f1, . . . , fr)
con I = 〈f1, . . . , fr〉 .
Prueba. Basta formalizar el análisis anterior.
Como lo indicamos líneas atrás bajo de la hipótesis que el ideal I sea
R.
Notemos que aquí es-
intersección completa tenemos que ξj ∗ (L ′ j, δ) ⊗A0 I
tamos proporcionando el quasiisomorfismo entre ξj ∗ y cierto complejo Lj. Este
quasiisomorfismo será fundamental en la prueba de la descomposición de la
homología de Hochschild y cíclica. Para continuar daremos algunas definiciones.
Definición 1.105. Sea A0⊗∧V el complejo de Koszul con ∂(V1) = (f1, . . . , fr)
una secuencia regular, definamos los complejos
y
Lj : 0
Dj : 0
IjΩo R
Ij+1Ωo R
Ω0R Ij+1Ω0 R
dDR dDR
I j−1 Ω 1 R
I j Ω 1 R
dDR dDR Ω
1 R
IjΩ1 R
dDR
. . .
dDR
. . .
dDR
dDR
IΩ
j−1
R
I 2 Ω j−1
R
Ω
j−1
R
I 2 Ω j−1
R
Ω j
dDR R
IΩ j
R
Ω j
dDR R
IΩ j
R
Teorema 1.106. Sea (A0 ⊗ ∧V, ∂) el complejo de Koszul e I = 〈f1, . . . , fr〉
una intersección completa local. Entonces los complejos (ξ j , δ, β) y (ξ j
j+k
son quasisomorfos a L 2j−∗
j
y D 2j−∗
j
, δ)k≥0.
Prueba. Formalicemos el quasi isomorfismo que dimos anteriormente de la
siguiente manera : Definamos
como
ϕ j m(w·x·v1 · · · vj−h−i) =
ϕ j m−j
m :
h=0
ξ j−h
m−2h −→
Ω2j−m
I m−j+1 Ω 2j−m
0 si grado(x) ≥ 1
(−1) j−h−i w · x · ∂(v1) . . . ∂(vj−h−i) en otro caso
(1.5)
45

y
ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω 2j−m
I m−j+1 Ω 2j−m
como la restricción. Notemos que esta última aplicación es en esencia el
quasiisomorfismo L ′ j ⊗A0 K(f1, . . . , fr) Lj, que dimos anteriormente. En
nuestro caso grado(vi) = 1. Veamos que ϕ j m es un morfismo de complejos. Es
decir, veamos que el diagrama
ξ j m
δ
ξ j
m−1
conmute. Para ello evaluemos
ϕ j m
I m−j Ω 2j−m
I m−j+1 Ω 2j−m
ϕ j
m−1
Im−1−jΩ2j−(m−1) Im−1−j+1Ω2j−(m−1) ϕ j
m−1(δ(w · v1 · · · vj−i)) = (−1) i ϕ j
m−1(w ·
como δ(vk) = −dflk y w ∈ Ωi tenemos
k=1
d
j−i
δ(vk)v1 · · · vk · · · vj−i) =
k=1
(−1) i
j−i
ϕ j
m−1((−1) i+1 dflk ∧ w · v1 · · · vk · · · vj−i) =
j−i
(−1) 1+j−i−1 fl1 . . . flk . . . flj−idflk ∧ w = d(ϕjm(w · v1 · · · vj−i)).
k=1
Una de las razones de la ultima igualdad se debe a que dDR(w)fl1 . . . flj−i = 0
en el módulo Im−1−j Ω 2j−(m−1)
y
Im−1−j+1 , pues j − i = m − j.
Ω2j−(m−1) Si en w · x · v1 · · · vj−h−i grado(x) ≥ 1 entonces
ϕ j
m−1(δ(w · x · v1 · · · vj−h−i)) = d(ϕ j
m−1(w · x · v1 · · · vj−h−i)) = 0
δ(ϕ j
m−1(w · x · v1 · · · vj−h−i)) = δ(0) = 0,
46

por lo tanto
ϕ j
m−1 ◦ δ = δ ◦ ϕ j
m−1
El caso T ot(ξ j , δ, β) es similar. Del diagrama
0
0
(ξi j+k , δ)k≥0
ϕ j ∗
2j−∗
Lj
j T ot(ξ , δ, β)
ϕ j ∗
2j−∗
Dj
j T ot(ξ , δ, β)
ϕ j−1
∗
2j−∗
Dj−1 al tomar homología y ver que ϕj m es un isomorfismo entre las homologías de
los complejos (ξi j+k , δ)k≥0 y L 2j−∗
j (ver Teorema 3.3 [CGG]) tenemos que ϕj m
es un isomorfismo entre las homología de los complejos T ot(ξj , δ, β) y D 2j−∗
j .
El argumento es el mismo que demuestra que un isomorfismo en homología
de Hochschild produce un isomorfismo en cíclica. La demostración que ϕ j m
es un quasi isomorfismo se presenta en el Teorema 3.3 de [CGG].
Corolario 1.107. Bajo las hipótesis del Teorema anterior, tenemos
[n/2]
1) HCn(A0/I) = Hn−2i (D∗ n−i)
2) HHn(A0/I) =
i=0
[n/2]
H
i=0
n−2i (L∗ n−i)
donde [s] representa el máximo entero de s y la secuencia exacta larga de
Gysin-Connes es la suma de las secuencias exactas largas de homología asociadas
con la secuencia exacta corta
0
L∗ j
D∗ j
D∗ j−1
Prueba. [CGG, Corolario 3.4].
Observación. A continuación describiremos la aplicación θ : T (A) → ξ de
[CGG, Teorema 2.6]. Esta nos permitirá apreciar mejor la descomposición de
la secuencia S.B.I. Que es el motivo por el cual presentamos esta observación.
El primer hecho a tener en cuenta es que θ : Tp,q → ξ p
p+q. En efecto un
elemento z ∈ Tp,q es de la forma z = a0x0 ⊗ a1x1 ⊗ . . . ⊗ apxp; donde ai ∈ A0,
xi ∈ ∧V, y p
i=1 |xi| = q. Entonces se prueba usando la definición de β que
θ(z) esta formado por sumas de elementos de la forma
0.
a0aj1 . . . ajp−sβ(ai1) . . . β(ais) · xi1 . . . xisxj1 . . . xjp−s,
47
0.
0

donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj∗| + 1. De esta descripción se prueba que
θ(z) ∈ Ω is
A0 ⊗(∧V ⊗ ∧V p−s )p+q−s ⊂ ξ p
p+q. Entonces tenemos que θ a demás de
establecer un quasi isomorfismo entre el bicomplejo T (A) y (ξ, δ, 0) (Teorema
1.101) preserva el orden, en el sentido que θ : Tp,q(A) → ξ p
p+q. De la Defini-
ción 1.100 se prueba que ξ p
p+q = ξp,q. Esta descripción nos permite definir
el complejo (ξp,q, δ, 0) y ( ˜ ξ, δ + β) según se presentan en la Definición 1.75 y
Definición 1.76.
Por otro lado de la observación anterior tenemos un quasi isomorfismo π
entre T (A) y (A0/I, b). Entonces tenemos el siguiente diagrama conmutativo
0
0
0
(C(A0/I))∗
π
(T (A))∗
θ
(ξ, δ, 0)
(CC(A0/I))∗
π
(T ot(T (A), b + ∂, B)))∗
θ
( ξ, ˜ δ + β)
CC(A0/I)∗−2
π
(T ot(T (A), b + ∂, B))∗−2
θ
( ξ, ˜ δ + β)∗−2
donde los morfismos verticales son el quasi isomorfismo θ del Teorema 1.101
y el quasi isomorfismo π : (A0⊗∧V, ∂) → A0/I. Para probar que π es un quasi
isomorfismo se usa el mismo argumento que prueba que un quasi isomorfismo
en homología de Hochschild produce un quasi isomorfismo en Cíclica.
Del diagrama anterior observamos que el bicomplejo ( ˜ ξ, δ, β) proporciona
la homología cíclica del álgebra A0/I. De la Definición 1.76 y el análisis que
se hace de su homología tenemos que la homología cíclica se descompone en
la cohomología de los complejos ( ˜ ξ j , δ + β) :
. . .
δ
ξj,2
δ
ξj,1
β
β
. . .
δ
ξj−1,2
ξj−1,1
. . . . . .
. . . ξ1
1,2
. . .
ξ1,1
δ
β
. . .
δ
ξ0,2
δ
ξ0,1
δ
δ
ξj,0
ξj−1,0
. . .
ξ1,0
ξ0,0
β
β
Un hecho importante a tener en cuenta, de la descripción anterior, es que
48
β
0
0
0,

las columnas de complejo cíclico ( ˜ ξ, δ + β) (es decir el complejo (ξ, δ, 0))
se descomponen en las primeras columnas de los complejos ( ˜ ξ j , δ + β), (ver
Definición 1.76) y el cociente ( ˜ ξ j , δ +β)/(ξ j , δ) = (( ˜ ξ j−1 , δ +β)) descomponen
al complejo ( ˜ ξ j , δ+β)[−2]. Por lo tanto del diagrama conmutativo establecido
anteriormente se prueba que la secuencia S.B.I se parte en las cohomologías
de los complejos
0
(ξj,∗, δ, 0)
( ξ˜ j , δ + β)
( ξ˜ j−1 , δ + β)
Usando el hecho que ξ p
p+q = ξp,q tenemos que la secuencia S.B.I se descompone
en las secuencias exactas de cohomología de los complejos
0
j
(ξj+∗ , δ, 0)
j (ξ , δ + β)
j−1 (ξ , δ + β)
Finalmente, de la prueba Teorema 1.106 se tiene el diagrama conmutativo
0
0
(ξi j+k , δ)k≥0
2j−∗
Lj
j T ot(ξ , δ, β)
2j−∗
Dj
j−1 T ot(ξ , δ, β)
2j−∗
Dj−1 donde los morfismos verticales son quasisomorfismos. De aquí tenemos que la
secuencia S.B.I se descompone en las sumas de las secuencias exactas largas
H ∗−1 (Lj)
H ∗ (Lj)
I
∗−1 H (Dj)
H∗ (Dj)
S
∗−1 H (Dj−1) B
H∗ (Dj−1)
Recordemos que si el álgebra A = A0/I es graduada del Teorema 1.63 tenemos
que la aplicación S = 0. La situación más relevante, en nuestro caso,
se presenta cuando el ideal I es generado por polinomios f1, . . . , fr quasihomogéneos.
Esta conclusión se enuncia en el siguiente Corolario :
Corolario 1.108. Sea (R, η) = (k[x1, . . . , xn](x1,...,xn), η), I = 〈f1, . . . , fr〉
un ideal generado por polinomios quasihomogéneos. Entonces la aplicación
π ∗ : H ∗ (Dj) → H ∗ (Dj−1) es nula.
Prueba. Como los generadores del ideal I son qusihomogéneos de grado d
entonces por definición podemos proporcionar pesos a las variables x1, . . . , xn
49
0.
0.
0.
0,

para convertir a los polinomios f1, . . . , fr en homogéneos de grado d. También
esta graduación convierte al anillo R en graduado. Por lo tanto el álgebra
R/I es un álgebra graduada. Una aplicación del Teorema 1.63 demuestra el
Corolario.
50

Capítulo 2
Homología de Hochschild para
icis
El punto neurálgico en la primera sección es el cálculo de la altura del ideal
jacobiano de un ideal I de intersección completa con una singularidad aislada.
El Corolario 2.19 nos permite develar los módulos de cohomología de los
complejos Lj, presentados en la Definición 1.105. Otra resultado importante
del trabajo es el Teorema de Clasificación de Singularidades Aisladas de
Interseción Completa. En la segunda sección revisamos el caso en que el
ideal I este generado por un sólo polinomio y tenga una singularidad aislada.
En este caso demostramos que H∗ (Lj) = T orm−∗(R/Jf, R/I), este resultado
fue demostrado por Michler en [Mich]. Cuando el ideal esté generado por
dos polinomios damos un ejemplo (ver Ejemplo 2.34) que muestra que la
afirmación anterior no se puede generalizar. Cuando el ideal I es generado
por dos polinomios, para cada j ≥ m, presentamos una secuencia espectral
Ep,q que converge a la cohomología de los complejos Lj y colapsa en E2 .
Cuando j = m − 1 demostramos que H∗ (Lj) = T orm−1−∗(R/I, Jf
) y que en
Jf,g
los demás casos los Lj satisfacen que Hi (Lj) = 0 para todo i = j. En el caso
particular que Jf ⊃ Jg demostramos que E1 = E∞ . Las curvas complejas
inmersas en dimensión tres de la Tabla 2.1 cumplen con esta condición. Este
cálculo de estos grupos de cohomología fue una de las motivaciones originales
de este trabajo.
En la última sección se generaliza los resultados para r polinomios. Presentamos
una secuencia espectral Ep,q que colapsa en Er (Teorema 2.76).
Finalmente demostramos que los complejos Lj para j ≥ m sólo tienen r+1
51

términos de cohomología no nulos. Para cada m − r < j < m el complejo
Lj sólo tiene j − m − r + 1 términos en cohomología no nulos. En los demás
casos los complejos Lj son exactos salvo en el último nivel. Estas dos últimas
afirmaciones son el punto de partida del Capítulo tres.
2.1. Singularidades Aisladas.
Nuestro objetivo será presentar propiedades técnicas de las singularidades
aisladas. Específicamente calculamos la altura del ideal jacobiano de los generadores
de un ideal I de intersección completa con una singularidad aislada.
Definición 2.1. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., e I = 〈f1, . . . , fr〉 y F =
(f1, . . . , fr). Diremos que el ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 ⊂ η tiene una singularidad
aislada en η si
donde F = (f1, . . . , fr).
ht(〈I, JF 〉) = m = dim( η
),
η2 Observación. La definición anterior nace de la siguiente situación : Sea
R = k[x1, . . . , xm]η, e I un ideal propio de R. La condición impuesta en la
definición anterior significa que la única componente irreducible que pasa
por el punto P -que representa el maximal η- de los ceros del ideal 〈Jf + I〉,
Z(JF + I), es el punto P. Si p ∈ C ⊂ Z(Jf + I) y C es una componente
irreducible, entonces C = P. En lenguaje algebraico la afirmación anterior
se escribe de la siguiente manera: Sean η y PC un ideal maximal y primo
respectivamente (que representa el punto P y la componente irreducible C).
Si η ⊃ PC ⊃ 〈JF , I〉 entonces PC = η.
Observemos que la singularidad de I es aislada si 〈I, JF 〉 = η.
Lema 2.2. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Entonces I = 〈f1, . . . , fr〉 ⊂ η es un
ideal con una singularidad aislada en η si y sólo sí η i ⊂ 〈I, JF 〉 para algún i.
Prueba. Se sigue de la definición.
Lema 2.3. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. El ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es una icis
si sólo si para todo primo P diferente del maximal el anillo (R/I)P es el un
anillo regular local.
52

Prueba. Será suficiente demostrar que en el anillo RP la secuencia f1, . . . , fr
es parte de una secuencia regular de parámetros. Esto último es claro pues
los elementos df1, . . . , dfr tienen como ideal jacobiano la unidad.
Observación. Cuando el anillo R es r.l.e.t.f. se tiene una propiedad importante
: Para todo ideal propio I de R se cumple ht(I) = profundidad(I) (ver
Teorema A.20 del Apéndice). Esta propiedad se debe al hecho que un anillo
r.l.e.t.f. es Cohen Macaulay (ver Proposición A.19). Por ello en adelante no
distinguiremos las dos definiciones altura y profundidad de un ideal; teniendo
en cuenta -claro está- que el anillo donde se hace esta identificación sea
Cohen Macaulay.
Cuando el ideal I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada y es generado por
un sólo polinomio tenemos la siguiente caracterización (en el caso particular
que k sea el cuerpo de los números complejos obtenemos la Proposición 1.2
de [Looj]).
Proposición 2.4. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f e I = 〈f〉 ⊂ η un ideal.
Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes
1. 〈f, Jf〉 ⊃ ηj para algún j.
2. Jf ⊃ ηj para algún j.
3. dimk( R ) < ∞.
Jf
4. dimk( R
〈Jf ,f〉
) < ∞.
Observación. Las dimensiones de R/Jf y R/ 〈Jf, f〉 -en las equivalencias 3
y 4- se llaman Número de Milnor y Tjurina respectivamente
Prueba. La equivalencia de 1 y 2 se debe a que f ∈ Jf ( Corolario 1.38.)
Para demostrar que 2 implica 3, si usamos el epimorfismo
R/η j −→ R/Jf,
(que proviene de la hipótesis Jf ⊃ η j ), será suficiente notar que R/η j es un
espacio vectorial de dimensión finita.
Sea R/Jf es un espacio vectorial de dimensión finita. Del epimorfismo
R/Jf −→ R/ 〈Jf, f〉
se sigue que R/ 〈Jf, f〉 es un espacio vectorial de dimensión finita. Es decir,
3 implica 4.
Finalmente para demostrar que 4 implica 1 usaremos el hecho que si M
es un R−módulo de k−dimensión finita, entonces existe j en los naturales
53

tal que η j · M = 0. En el caso que M = R/ 〈Jf, f〉 esto significa que existe
algún j tal que η j ⊂ 〈Jf, f〉 .
.
Corolario 2.5. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. El ideal I = 〈f〉 tiene una
singularidad aislada en η si sólo si ht(Jf) = ht(〈Jf, f〉) = m = dim(R).
Prueba. Del Lema 2.2, las equivalencias 1 y 2 de la Proposición anterior
y la aplicación directa de la definición de altura de un ideal obtenemos que
I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada en η si sólo si ht(Jf) = ht(〈Jf, f〉) =
m = dim(R).
Corolario 2.6. Si I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada entonces el complejo
de Koszul K(fx1, . . . , fxm) cumple H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo
i < m, y H m (K(fx1, . . . , fxm)) = 0.
Prueba. Del Corolario anterior se tiene que profundidad(Jf) = m. Esto
significa que Jf contiene a alguna secuencia regular de longitud m. Como
Jf = 〈fx1, . . . , fxm〉 donde df = m
i=1 fxi ei, la Proposición A.38 nos dice que
los elementos fx1, . . . , fxr forman una secuencia regular.
La propiedad del corolario anterior sólo se cumple en el caso local (ver
Ejemplo 2.7). Esta propiedad se usa en [Mich], cuando R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm),
para calcular de manera eficiente la homología de Hochschild para álgebras
de la forma R/ 〈f〉 .
Veamos el siguiente ejemplo de Michler :
Ejemplo 2.7. El polinomio f = (c+x)2y2 cx2 x3 + + 2 2 3 en (k [x, y] (x,y) , η), donde
c es un elemento no nulo del cuerpo, tiene una singularidad aislada en el
origen. Sus derivadas parciales { ∂f ∂f
, ∂x ∂x } = {(c + x)(x + y2 ), (c + x) 2y}, no
forman una secuencia regular en k [x, y] , [Mich, Ejemplo 2]. Sin embargo, en
el anillo local (k [x, y] (x,y) , η) si es una secuencia regular.
Interesados en el caso cuando el ideal I este generado por una secuencia
regular, daremos la siguiente definición.
Definición 2.8. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si f1, . . . , fr forman una secuencia
regular entonces diremos que el ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es intersección
completa.
54

Definición 2.9. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si el ideal I es una intersección
completa y tiene una singularidad aislada en η, diremos que I tiene una
singularidad aislada de intersección completa (icis, por sus siglas en inglés).
Observación. Cuando el ideal I es generado por una secuencia regular
f1, . . . , fr se cumple ht(I) = r. Entonces el ideal jacobiano JF está generado
por los menores M de orden r × r de la matriz jacobiana Jac(F ) = (fi,j),
donde F = (f1, . . . , fr). En adelante trataremos solamente con icis, y cuando
escribamos I = 〈f1, · · · , fr〉 suponemos que ht(I) = r y que por lo tanto de
la Proposición A.38 f1, · · · , fr es una secuencia regular.
Ejemplo 2.10. Sea (R, η) = (k [x, y] (x,y) , η) e I = 〈x 2 , y 3 〉 . Como el ideal
〈Jf,g, f, g〉 contiene una potencia de η entonces I tiene una singularidad aislada
en η. Más aún, como {x 2 , y 3 } es una secuencia regular, entonces I es
una icis.
Observación. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si I = 〈f〉 tiene una singularidad
aislada en η se cumple que ht(Jf) = m por Corolario 2.5. Esta propiedad
permite expresar los módulos de cohomología de los complejos Lj de manera
simple (ver Corolario 2.32.) Esta es la razón de nuestro interés en esta sección
de calcular la altura del ideal JF cuando F tiene una singularidad aislada de
intersección completa. En el siguiente ejemplo mostramos que la propiedad
ht(JF ) = m, que se cumple para un polinomio (F = f) ya no se satisface
para el caso en que el ideal I este generado por más de un polinomio.
Ejemplo 2.11. Es claro que f = x 2 + y 2 ∈ (k [x, y] (x,y) , η) presenta una
singularidad aislada en η. Ahora sea f ′ (x, y, z) = f(x, y), y g = z entonces
JF = 〈x, y〉 en (k [x, y, z] (x,y,z) , η). El ideal I = 〈f ′ , g〉 tiene una singularidad
aislada en η pero ht(JF ) < m = 3. En general siempre se puede agregar una
variable z a una icis y se obtiene ht(JF ) < m. Lo mismo sucede si en el ideal
I uno de los generadores es parte de una secuencia regular de parámetros.
Observación. En adelante sólo trataremos con icis I = 〈f1, . . . , fr〉 donde
ninguno de sus generadores es regular.
En el siguiente ejemplo también tenemos que ht(JF ) < m, y no se puede
eliminar ninguno de los generadores pues no son regulares.
55

Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3 〉 , entonces el ideal jacobiano JF = 〈xy 2 〉
cumple ht(JF ) = 1 < 2. El ideal I tiene una singularidad aislada en η.
Más aún tenemos que I = 〈f − g, f + g〉 . Estos nuevos generadores de I,
cada uno de ellos, tiene una singularidad aislada en η = 〈x, y〉 ; sin embargo
ht(JF ′) = ht(JF ) < 2 donde F ′ = (f − g, f + g).
Observación. Cuando el ideal I es generado por más de un polinomio tenemos
ht(JF ) < m. Esta es la principal obstrucción para seguir el camino
trazado en el caso de un polinomio. Para superar esta dificultad calculamos
ht(JF ) (Corolario 2.19). A continuación demostramos tres lemas básicos que
nos ayudarán en la demostración del Lema 2.16.
Lema 2.13. Sean (R, η) un anillo local, z ∈ R, e I un ideal con 〈I, z〉 = R.
Si existe polinomio P ∈ k[x] no nulo tal que P (z) ∈ I entonces z ∈ √ I.
Prueba. Sea P (z) = anz n + . . . + a1z + a0 ∈ I. Afirmamos que a0 = 0. En
efecto si a0 = 0, se prueba que 1 ∈ 〈I, z〉 = R, una contradicción con la
hipótesis. Por lo tanto
P (z) = z k (ak + . . . + anz n−k ) ∈ I,
y ak = 0. Como ak + . . . + anz n−k es unidad en R, se tiene z k ∈ I. Esto
significa que z ∈ √ I.
Lema 2.14. Sean J, 〈J, f1, . . . , fr〉 ideales propios de (R, η) un anillo r.l.e.t.f.
Sea P ideal primo con J ⊂ P, y Q(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] un polinomio
no nulo tal que Q(f1, . . . , fr) ∈ J. Entonces existen dos posibilidades
1) f1 se encuentra en el ideal 〈P, f2, . . . , fr〉 , o
2) Existe Q1(x2, . . . , xr) ∈ k[x2, . . . , xr] polinomio no nulo, tal que Q1(f2, . . . , fr) ∈
〈P, f1〉 .
Prueba. Sea Q(x1, . . . , xr) = s
j=1 Tj el polinomio no nulo de la hipótesis,
donde Tj son las formas homogéneas de grado j. Para la prueba del Lema
analizaremos dos casos.
Primer caso : Existe algún j tal que x1 no divide a Tj. Entonces el polinomio
Q(x1, . . . , xr) se puede escribir como
Q(x1, . . . , xr) = Q1(x2, . . . , xr) + x1 · α(x1, . . . , xr), (2.1)
56

donde Q1(x2, . . . , xr) =
j:x1∤Tj
Tj es un polinomio no nulo. De la ecuación (2.1)
y el hecho que Q(f1, . . . , fr) ∈ J podemos concluir que
Q1(f2, . . . , fr) ∈ 〈J, f1) ⊂ (P, f1〉 .
El segundo caso sucede si x1 divide Tj para todo j. Entonces
Q(x1, . . . , xr) = x k 1Q(x1, . . . , xr),
donde Q(x1, . . . , xr) = T j, y existe algún T j tal que x1 ∤ T j. Esta última
condición significa que
Q(x1, . . . , xr) = Q1(x2, . . . , xr) + x1 · α(x1, . . . , xr).
Es decir Q(f1, . . . , fr) = f k 1 · Q(f1, . . . , fr), y
Q(f1, . . . , fr) = Q1(f2, . . . , fr) + f1 · α(f1, . . . , fr). (2.2)
Sea P el ideal primo de la hipótesis. Como J ⊂ P entonces
f k 1 · Q(f1, . . . , fr) ∈ P.
Si f k 1 ∈ P entonces f1 ∈ P, por lo tanto f1 ∈ 〈P, f2, . . . , fr〉 .
Si f k 1 /∈ P entonces Q(f1, . . . , fr) ∈ P. De la ecuación (2.2) tenemos que
Q(f1, . . . , fr) = Q1(f2, . . . , fr) + f1 · α(f1, . . . , fr) ∈ P
donde Q1(x2, . . . , xr) es un polinomio no nulo. Por lo tanto
Q1(f2, . . . , fr) ∈ 〈P, f1〉 .
Lema 2.15. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal propio,
r ≥ 1. Sea P ideal primo tal que ht(〈P, I〉) = m = dim(R). Si existe un
polinomio Q(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] no nulo tal que Q(f1, . . . , fr) ∈ P
entonces ht(P ) ≥ m − r + 1.
Prueba. La prueba será por indución sobre r ≥ 1.
Si r = 1 del Lema 2.13 tenemos que f1 ∈ √ P = P. Por lo tanto 〈P, f1〉 ⊂
P. Esto significa que ht(P ) = ht( √ P ) = ht(〈P, f1〉) = m. Es decir ht(P ) ≥
m.
57

Supongamos que el Lema se cumple para r = s. Veamos que se satisface
para r = s + 1.
Sea r = s + 1. Sea P un ideal primo propio, I = 〈f1, . . . , fs, fs+1〉 un ideal
propio tal que ht(P, I) = m. Sea Q(x1, . . . , xs, xs+1) polinomio no nulo tal
que Q(f1, . . . , fs, fs+1) ∈ P. Del Lema 2.14 con J = P, r = s + 1 tenemos dos
posibilidades :
f1 ∈ 〈P, f2, . . . , fs, fs+1〉 , o existe Q1(x2, . . . , xs, xs+1) polinomio no nulo
tal que Q1(f2, . . . , fs, fs+1) ∈ 〈P, f1〉 .
En el primer caso tenemos que 〈P, I〉 ⊂ 〈P, f2, . . . , fs, fs+1〉 . De la hipótesis
ht(〈P, I〉) = m tenemos que ht(〈P, f2, . . . , fs, fs+1〉) = m. De la fórmula
ht(I, a) ≤ ht(I) + 1 se tiene que ht(P ) + s ≥ ht(P, f2, . . . , fs+1) = m. Entonces
ht(P ) ≥ m − (s + 1) + 1.
En el segundo caso existe un polinomio Q1(x2, . . . , xs, xs+1) no nulo tal
que Q1(f2, . . . , fs, fs+1) ∈ 〈P, f1〉 . Sea P1 ideal primo tal que P1 ⊃ 〈P, f1〉 , y
ht(P1) = ht(〈P, f1〉). Notemos que Q1(f2, . . . , fs, fs+1) ∈ P1, y ht(〈P1, I1〉) =
m, donde I1 = 〈f2, . . . , fs, fs+1〉 . Aplicamos el lema para r = s, I = I1, P =
P1, Q = Q1 y obtenemos ht(P1) ≥ m − s + 1. Como ht(P1) = ht(〈P, f1〉) ≤
ht(P ) + 1 entonces
ht(P ) ≥ m − (s + 1) + 1.
Esto finaliza la prueba por inducción y demuestra el Lema.
Lema 2.16. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal con una
icis en η. Entonces ht(JF ) ≥ m − r + 1.
Prueba. Sea P ⊇ JF un ideal primo.
Si fi ∈ P, para algún i = 1, . . . , r, sin pérdida de generalidad podemos
asumir que f1 ∈ P. Sea Q(x1, . . . , xr) = x1 polinomio no nulo entonces
Q(f1, . . . , fr) = f1 ∈ P. Como ht(P, I) = m = dim(R), del Lema 2.15 se
tiene que
ht(P ) ≥ m − r + 1.
Si fi /∈ P para todo i = 1, . . . , r debemos probar que ht(P ) ≥ m − r + 1.
Del Corolario 1.41 tenemos que en K = Q(D), el cuerpo de fracciones de
D = R/P, los elementos f1, . . . , fr no forman un conjunto algebraicamente
independiente sobre k -el cuerpo base- (fi denota también a la clase fi en
R/P ). Es decir, existe un polinomio S(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] no nulo tal
que S(f1, . . . , fr) = 0 en el cuerpo K. Como D es un dominio y D ↩→ K
entonces S(f1, . . . , fr) = 0 en el anillo (D, η). Esta última condición significa
58

que S(f1, . . . , fr) ∈ P. Finalmente, como ht(〈I, JF 〉) = m y P ⊃ JF se tiene
que ht(〈P, I〉) = m. Del Lema 2.15 se sigue que ht(P ) ≥ m − r + 1.
Ejemplo 2.17. En este ejemplo mostramos que sin la hipótesis de singularidad
aislada el lema anterior no se satisface. Sean f = x2 y2 z3 + + , y
2 2 3
g = x2 y2 z2 + + 2 2 2 polinomios en el anillo (k[x, y, z](x,y,z), η). Como 〈f, g, x〉
es un ideal que contiene una potencia del maximal entonces 〈f, g〉 forman
una secuencia regular (ver Proposición A.38 del Apéndice). Más aún, cada
ideal 〈f〉 y 〈g〉 tiene una singularidad aislada en η. Sin embargo debido
a que Jf,g ⊂ 〈z〉 entonces ht(Jf,g) ≤ 1. Como ht(Jf,g) ≥ 1 obtenemos
ht(Jf,g) = 1 < m − r + 1 = 3 − 2 + 1 = 2. Por lo tanto I = 〈f, g〉 no
puede tener una icis, pues de lo contrario se contradice al lema.
Observación. La desigualdad contraria se presenta en el siguiente Teorema
el cual se llama La generalización del P.I.T de Macaulay. Aquí usaremos
la notación It(A) (según se presenta en [Eis1]) para indicar el ideal generado
por los menores t × t de una matriz A de orden p × q.
Teorema 2.18. Si A es una p×q matriz con elementos en un anillo noetheriano
R e It(A) = R entonces
ht(It(A)) (p − t + 1)(q − t + 1)
Prueba. [Eis1, Teorema A.2.54].
Corolario 2.19. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis.
Entonces
ht(JF ) = m − r + 1.
Prueba. Del Lema 2.16 tenemos la siguiente desigualdad
Por otro lado notemos que
ht(JF ) m − r + 1.
JF = Ir(Jac(F ))
(según la notación establecida líneas atrás), donde Jac(F ) es una matriz de
orden m × r. De la generalización del P.I.T de Macaulay tenemos que
ht(JF ) ≤ (m − r + 1)(r − r + 1) = m − r + 1.
59

De aquí se tiene que ht(JF ) = m − r + 1.
Observación. El siguiente Lema será uno de los pilares de la demostración
del Corolario 2.23, que es un caso particular del Teorema 2.25 de clasificación
de singularidades aisladas.
Lema 2.20. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, I = 〈f, g〉 una icis. Definamos
hα := f + α · g y Jα := Jhα para α ∈ k. Si ht(Jα) = m − 1, entonces existe
un primo pi que pertenece a la descomposición primaria del ideal Jf,g tal que
Jα ⊂ pi y ht(pi) = ht(Jα) = m − 1. Más aún, si existe un primo p tal que
〈Jα, Jβ〉 ⊂ p, con α = β entonces ht(p) = dim(R) = m.
Prueba. Notemos que para α = β tenemos
Sea
Jf,g = Jhα,hβ ⊂ Jα. (2.3)
i=t
Jf,g = (
i=1
qi) j=t
(
′
la descomposición primaria del ideal jacobiano, con √ qi = pi, q ′ j = p′ j, y
ht(pi) = m − 1, ht(p ′ i) = m. Notemos que aquí hemos usado el hecho que
ht(Jf,g) = m − 2 + 1 según el Corolario 2.19.
Sea p un ideal primo tal que p ⊃ Jα y ht(p) = ht(Jα) = m − 1. Como
Jα ⊃ Jf,g (ver ecuación (2.3)) entonces
i=1
j=1
j=1
q ′ j)
i=t
p ⊃ Jf,g = ( qi) j=t
(
′
q ′ j).
Por lo tanto existe algún i tal que qi ⊆ p, lo cual significa que pi ⊂ p. Como
ht(pi) = ht(p) entonces p = pi. Por lo tanto Jα ⊂ pi.
Finalmente sean α = β ∈ k y p primo tal que 〈Jα, Jβ〉 ⊂ p. Como
hα ∈ √ Jα y hβ ∈ Jβ (Corolario 1.38) entonces
p ⊃
hα, hβ, Jhβ,hα .
Como 〈hα, hβ〉 = 〈f, g〉 y Jhα,hβ = Jf,g, se tiene que
p ⊃ 〈f, g, Jf,g〉 .
60

Por hipótesis ht(〈f, g, Jf,g〉) = m entonces se tiene que
ht(p) = m.
Corolario 2.21. Conservamos la notación del Lema anterior. Sea
i=t
Jf,g = (
i=1
qi) j=t
(
′
la descomposición primaria del ideal jacobiano, con √ qi = pi, q ′ j = p′ j, y
ht(pi) = m − 1, ht(p ′ i) = m. Entonces el número de elementos del conjunto
es menor o igual a t.
j=1
q ′ j)
W := {λ ∈ k : ht(Jλ) < m.}
Prueba. De la definición del determinante tenemos que Jf,g = Jhλ,g. De la
inclusión Jhλ,g ⊂ Jλ tenemos que Jf,g ⊂ Jλ. Esta última conclusión implica
la desigualdad ht(Jf,g) ≤ ht(Jλ). Como ht(Jf,g) ≥ m − 1 (ver Lema 2.16)
entonces ht(Jλ) ≥ m − 1. Por lo tanto suponer que ht(Jλ) < m equivale
asumir que ht(Jλ) = m − 1. Esto significa que
W = {λ : ht(Jλ) = m − 1} .
Del Lema anterior se desprende que cada Jλ con λ ∈ W está contenido en el
primo pi para algún i = 1, . . . , t.
Como cada pi contiene a lo más un Jλ (por que sino ht(pi) = m por el
Lema 2.20), el número de elementos de W es menor igual a t.
Proposición 2.22. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, I = 〈f, g〉 una icis. Entonces
existe h ∈ I tal que ht(Jh) = m
Prueba. Como el conjunto W tiene a lo más t elementos y k es un cuerpo
infinito entonces basta tomar h = hα con α /∈ W.
Nota. Del Corolario 2.21 se desprende que la mayoría (salvo tal vez un
número finito) de representantes de la forma f + λg cumple la tesis anterior.
Más aún, la Proposición 2.22 se puede optimizar de la siguiente manera:
Corolario 2.23. Sea (R, η) anillo r.l.e.t.f., I = 〈f, g〉 ideal de intersección
completa con una singularidad aislada en η. Entonces existe hα, hβ ∈ I tal
que ht(Jhα) = ht(Jhβ ) = m e I = 〈hα, hβ〉 .
61

Prueba. Nuevamente como W tiene a lo más t elementos y k es infinito
entonces basta tomar hα y hβ con α y β diferentes en k \ W. La igualdad
〈hα, hβ〉 = 〈f, g〉 finaliza la prueba.
Observación. El Corolario 2.23 también se puede interpretar como un Teorema
de Clasificación de las singularidades aisladas de intersección
completa para dos polinomios. Nos indica que las icis son sólo aquellas que
se pueden formar con las hipersuperficies que tengan una singularidad aislada
de modo que sus respectivos generadores formen una secuencia regular y
una singularidad aislada.
Notemos también que la única hipótesis que se usa respecto al cuerpo
k es que este sea de característica cero.
Este resultado se extiende para icis que estén generadas por r elementos
en el Teorema 2.25.
A continuación veremos que podemos modificar el ideal de intersección
completa generado por r elementos para tener que los primeros r −1 generan
una icis.
Proposición 2.24. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f e I = 〈fi, i = 1, . . . , r〉 una
icis entonces podemos modificar los generadores f1, . . . , fr de I para tener
que los primeros r − 1 sean una icis.
Prueba. Sea JF = (∩t i=1qi) ∩ (∩t′ j=1q ′ j), la descomposición primaria del ideal
jacobiano con √ qi = pi, q ′ j = p′ j, donde los pi no contienen a ningún fk
para todo k = 1, . . . , r, y los p ′ j contienen al menos un fk. Sea pi un ideal
primo en la descomposición primaria de JF . Entonces existe Pi polinomio
no nulo en k [x1, · · · , xr] , tal que Pi(f1, · · · , fr) = 0 en R
(ver Corolario
1.41). Sea P = t
i=1 Pi entonces
en R
pi
P (f1, · · · , fr) = 0 (2.4)
para todo i = 1, . . . , t. Por otro lado sabemos que para P (x1, · · · , xr)
existen λi ∈ k para i = 1, . . . , r − 1 todos diferentes de cero, tal que
P (λ1xr, · · · , λr−1xr, xr) = 0 (ver Corolario A.62). A partir de las constantes
λ1, · · · , λr−1 definamos gi = fi − λifr, y JG como el jacobiano de los gi para
i = 1, . . . , r − 1.
Los ideales JG y JF guardan la siguiente relación de inclusión : JG ⊇
JF . En efecto es claro que Jg1,··· ,gr−1,fr = JF . Por lo tanto la definición del
determinante y del ideal jacobiano prueban la afirmación.
62
pi

Sea p un ideal primo tal que p ⊇ 〈JG, gi, i = 1, . . . , r − 1〉 y ht(p) =
ht(〈JG, gi, i = 1, . . . , r − 1〉). De la relación JG ⊇ JF tenemos que
p ⊇ JG ⊇ JF = (∩ t i=1qi) ∩ (∩ t′
j=1q ′ j), (2.5)
entonces p ⊇ q ′ i o p ⊇ qj.
Primer caso: Si p ⊇ q ′ i, entonces al menos un fk ∈ p pues p ⊇ q ′ i = p′ i. Si
fr ∈ p, como para todo i = 1, . . . , r−1 se cumple que fi = gi +λi ·fr entonces
fi ∈ p para todo i. Si k = r como fr = (fk − gk)/λk tenemos que fr ∈ p y
por lo tanto fj ∈ p para todo j = 1, . . . , r. Recapitulando, por hipótesis
p ⊃ 〈JG, gi, i = 1, . . . , r − 1〉 ,
sabemos que JG ⊃ JF y hemos probado p ⊃ 〈f1, . . . , fr〉 . Entonces p ⊃
〈JF , f1, . . . , fr〉 . De la hipótesis ht(〈JF , f1, . . . , fr〉) = m se sigue que ht(p) =
m.
Segundo caso : Si p ⊇ ql, tomemos P (x1, · · · , xr), el polinomio que definimos
anteriormente. Notemos que en el anillo R/p tenemos fi = λifr y
P (f1, · · · , fr) = 0 (ver Ecuación (2.4)). Entonces P (λ1fr, · · · , λr−1fr, fr) =
0 en el anillo R
p (fi denota la clase de fi en R/p.) Es decir, si definimos
Q(fr) := P (λ1fr, · · · , λr−1fr, fr) tenemos que Q(fr) ∈ p, y el polinomio
Q(xr) = P (λ1xr, · · · , λr−1xr, xr) es no nulo. Por lo tanto del Lema 2.13
tenemos que fr ∈ √ p = p. Como fi = λifr = 0 en el anillo R/p y las
constantes λi son diferentes de cero para todo i = 1, . . . , r − 1 entonces
p ⊇ 〈f1, · · · , fr〉 . Como por hipótesis p ⊃ JF entonces
p ⊇ 〈JF , f1, · · · , fr〉 .
Por lo tanto ht(p) = m.
Si t = 0 no necesitamos definir el polinomio P. Simplemente tomamos
elementos no nulos λi para i = 1, · · · , r−1 en el cuerpo k. Con ellos formamos
los elementos gi = fi − λi · fr y estamos en el primer caso.
En ambos casos obtenemos ht(〈JG, g1, . . . , gr−1〉) = m. Para demostrar
que 〈g1, . . . , gr−1〉 tiene una icis, sólo resta probar que los elementos gi
para i = 1, . . . , r −1 forman una secuencia regular. Para demostrar esta
afirmación será suficiente probar que
profundidad(〈g1, . . . , gr−1〉) = ht(〈g1, . . . , gr−1〉) = r − 1
63

(ver Proposición A.38 del Apéndice). En efecto, como
〈g1, . . . , gr−1, fr〉 = 〈f1, . . . , fr〉
y ht(〈f1, . . . , fr〉) = r, entonces ht(〈g1, . . . , gr−1, fr〉) = r. Por lo tanto de la
desigualdad
ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1; fr〉) ≤ ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1〉) + 1
tenemos que ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1〉) ≥ r − 1. Por otro lado, el P.I.T (Teorema
1.18 del Apéndice) nos indica que ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1〉) ≤ r − 1.
Observación. A continuación generalizamos el Corolario 2.23. Mostramos
la siguiente propiedad : Si I = 〈fi; i = 1, . . . , r〉 es una icis, podemos elegir
generadores {gi; i = 1, . . . , r} de I de tal forma que cada 〈gi〉 tiene una
singularidad aislada.
Teorema 2.25. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis. Entonces
existen generadores g1, · · · , gr tal que I = 〈g1, · · · , gr〉 y cada gi tiene
una singularidad aislada en η.
Prueba. El proceso se desarrollará de manera inductiva sobre r ≥ 2 el
número de polinomios. Para dos polinomios es claro que se pueden elegir
representantes con estas características usando el Corolario 2.23.
Supongamos que el teorema se cumple para toda Ir = 〈fi; i = 1, . . . , r〉
icis. Sea Ir+1 = 〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 una icis. De la Proposición 2.3 podemos
fijar fr+1 y hallar elementos gi con i = 1, . . . , r, generadores de Ir+1 =
〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 de tal forma que Ir+1 = 〈gi, fr+1, i = 1, . . . , r〉 y el ideal
Ir = 〈gi : i = 1, . . . , r〉 sea una icis. De la hipótesis inductiva podemos asumir
que cada gi; i = 1, . . . , r tiene una singularidad aislada. Nuevamente para no
cargar la notación denotemos los gi por fi. Este análisis previo nos permite
afirmar que para Ir+1 = 〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 , al menos un generador
tiene una singularidad aislada en η; que sin perdida de generalidad podemos
suponer que es fr+1. Si fijamos este último y usamos la Proposición 2.24
podemos hallar nuevos generadores g1, . . . , gr tales que I ′ r = 〈gi; i = 1, . . . , r〉 ,
sea una icis e Ir+1 = 〈I ′ r, fr+1〉. De la hipótesis inductiva los generadores
de I ′ r = 〈gi; i = 1, . . . , r〉 , se pueden cambiar, sin cambiar el ideal, por
64

generadores g ′ i para i = 1, . . . , r tales que cada uno tenga una singularidad
aislada en η; a estos los denotaremos nuevamente por {fi; i = 1, . . . , r} .
Con ellos tenemos que Ir+1 tiene generadores {fi; i = 1, . . . , r + 1} , para
los cuales cada 〈fi〉 tiene una singularidad aislada en η. Más aún, como
los nuevos fi hallados cumplen que Ir+1 = 〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 entonces
r + 1 = ht(〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉) = profundidad(〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉) lo que
nos permite afirmar (del Corolario 17.7 de Eisembud) que los nuevos elementos
{fi; i = 1, . . . , r + 1} forman una secuencia regular.
Observación. A continuación mostramos un ejemplo de como aplicar la
Proposición 2.24 de manera algorítmica en un ideal I que sea una icis.
Ejemplo 2.26. Los polinomios f = x 2 y g = y 2 en el anillo (R, η) =
(k[x, y](x,y), η) generan una icis. El ideal jacobiano Jf,g = 〈xy〉 tiene la siguiente
descomposición primaria
Jf,g = P1 ∩ P2
donde P1 = 〈x〉 y P2 = 〈y〉. Como f ∈ P1 y g ∈ P2 de la Proposición 2.24 es
suficiente tomar λ no nulo en el cuerpo base k,
g1 = f − λ · g = x 2 − λy 2 ,
y tener que g1 tiene una singularidad aislada en η. Es claro que f := y 2 , g :=
x 2 − λy 2 generan el ideal I, y g tiene una singularidad aislada.
Si aplicamos nuevamente el proceso a los nuevos generadores f, g, (ver
Proposición 2.24) obtenemos que Jf,g = 〈xy〉. La descomposición primaria
de este ideal nuevamente es
Jf,g = P1 ∩ P2,
donde P1 = 〈x〉 y P2 = 〈y〉. Notemos que en este caso ni f ni g se encuentran
en el primo P1. En el cuerpo K := Q(R/P1) los elementos f, g no son k
algebraicamente independientes. En efecto, para Q(z1, z2) = λ · z1 + z2 ∈
k[z1, z2] tenemos que
Sea z1 = t · z2 entonces
Q(f, g) = λ · y 2 − λ · y 2 = 0.
Q1(t, z2) = Q(t · z2, z2) = (λ · t + 1)z2 ∈ k[t, z2]
65

es un polinomio no nulo (ver Lema A.60). Sea t = β ∈ k − {0} tal que
Q1(β, z2) es no nulo. Es decir, sea β no nulo tal que β = −1/λ. Entonces de
la Proposición 2.24
g1 := f − β · g = y 2 − β(x 2 − λ · y 2 ) = −βx 2 + (1 + βλ)y 2
tiene una singularidad aislada en η. Notemos que en el caso que β = −1/λ
entonces g1 := −βx 2 no tiene una singularidad aislada.
Por lo tanto, g1 = −βx 2 + (1 + βλ)y 2 y g2 = x 2 − λy 2 generan al ideal I
y cada una de ellas tiene una singularidad aislada. La constante λ es no nula
y β es no nula y diferente de −1/λ.
Observación. Hemos demostrado que un elemento f tiene una singularidad
aislada en η sí sólo si ht(Jf) = m. Es decir si ht(Jf) < m, el lugar singular
de f tiene dimensión mayor que cero (más complicada). En el ámbito de
la geometría el lugar singular de f representa el conjunto Z(〈f, Jf〉). En el
álgebra representan los ideales primos P que contienen a 〈f, Jf〉 . Sea I =
〈f1, · · · , fr〉 una icis donde ninguno de sus generadores sea regular. Es decir
ht(Jfi ) ≤ m y puede suceder que ht(Jfi ) < m para todo i. Esta última
condición significa que para cada fi el lugar singular es de dimensión mayor
o igual a cero. En el Teorema 2.25 hemos demostrado que podemos hallar
generadores g1, . . . , gr donde cada uno de ellos tiene una singularidad aislada.
Este resultado se puede interpretar como una reducción de la singularidad
de los representantes f1, . . . , fr. Es decir, los generadores fi tienen un lugar
singular de dimension mayor que un punto (ht(Jfi ) < m), ahora para los
generadores g1, · · · , gr sus respectivos lugares singulares son solo puntos.
Es lícito pensar que podemos hallar generadores h1, · · · , hr donde al
menos uno de ellos sea regular. Es decir proporcionar una reducción total
de la singularidad de por lo menos un generador. En el siguiente ejemplo veremos
que esto no es posible. La hipótesis que el ideal I no tenga generadores
regulares nos indica que I ⊂ η2 . Esto significa que no podemos hallar en el
ideal I un elemento regular.
Ejemplo 2.27. Sea (R, η) = (k [x, y] (x,y) , η), el anillo regular local y f =
x 2 +y 2 , g = xy+y 2 entonces JF = 〈x(2y + x) − y 2 〉 . Se prueba que I = 〈f, g〉
es una icis. Se cumple que I ⊂ η 2 . Si I = 〈f ′ .g ′ 〉 donde al menos f ′ es
regular entonces del Lema A.57 se desprende que Jf ′ = R. Esto significa que
f ′ = P + ax + by, donde P ∈ η2 y a o b es diferente de cero. Esto significa
que f ′ /∈ η2 y por lo tanto I η2 , una contradicción.
66

2.2. Homología de Hochschild para I = 〈f, g〉
Describiremos los complejos Lj de tal manera que nos permita develar
su cohomología. En un primer momento abordamos el caso I = 〈f〉 . Calculamos
la cohomología de los complejos Lj para todo j > m. Finalmente en
el caso I = 〈f, g〉 presentamos un ejemplo que nos demuestra que no podemos
seguir el camino que se planteó para el caso en que I = 〈f〉 , donde
H ∗ (Lj) = T orm−∗(R/ 〈f〉 , R/Jf) (ver [BKH]). En nuestro caso esto sólo
sucede cuando j < m donde se pueden emplear las mismas técnicas. Para
j m mostramos que los complejos Lj sólo tienen tres términos de cohomología
no nulos. En este caso proporcionamos una secuencia espectral E ∗
que converge a la cohomología de Lj y colapsa en el segundo término. Calculamos
de manera conveniente el término E 1 ∗,∗. En el caso particular en que
Jg ⊂ Jf demostramos que E ∞ = E 1 . La mayoría de ejemplos que conocemos
cumplen esta condición, por ejemplo las curvas sobre C inmersas en dimensión
3 clasificadas por ejemplo en [Looj]. En estos ejemplos podemos calcular
entonces los módulos de cohomología de los complejos Lj para j ≥ m.
En el caso general demostramos que los complejos Lj para j < m − 1
cumplen que H t (Lj) = 0 para todo t < j, y H j (Lj) = 0. En general, para
los complejos Lj con j > m − 1 calculamos los módulo de cohomología en los
grados m − 2 y m. El término en grado m − 1 se encuentra en una secuencia
exacta larga donde los términos son conocidos.
2.2.1. El Complejo Lj.
Describimos de manera conveniente el complejo Lj. Bajo la hipótesis de
singularidad aislada calculamos la cohomología de los complejos Lj para j ≥
m en el caso I = 〈f〉 . Mostramos que en el caso I = 〈f1 . . . , fr〉 no se puede
generalizar los calculos que presentamos cuando I = 〈f〉 .
Sea I un ideal generado por una secuencia regular. Del Corolario 1.107 se
desprende que la homología de Hochschild del álgebras R/I se descompone
en los módulos de cohomolgía de los complejos
Lj : 0
IjΩ0 R
Ij+1Ω0 R
si j ≤ m := dim(R) y
dDR
Ij−1Ω1 R
IjΩ1 R
dDR
. . .
67
dDR
IΩ
j−1
R
I 2 Ω j−1
R
Ω j
dDR R
IΩ j
R
,

Lj : 0
IjΩ0 R
Ij+1Ω0 R
dDR
Ij−1Ω1 R
IjΩ1 R
dDR
. . .
dDR
I
j−m+1Ω m−1
R
I j−m+2 Ω m−1
R
dDR
Ij−mΩm R
Ij−m+1Ωm R
si j > m. Vamos a describir a estos complejos Lj de una manera conveniente
en la Proposición 2.28. Cuando el anillo R es r.l.e.t.f. se tiene que
IsΩj−s Is+1 Is
Ωj−s Is+1 ⊗R Ω j−s
pues Ωs es libre (Teorema 1.28).
Debido a que el ideal I es de intersección completa, el R/I−módulo
graduado I
s≥0
s
R
es isomorfo al anillo de polinomios
Is+1 I [y1, . . . , yr] (ver
Proposición A.29) donde ht(I) = r. Denotemos al espacio vectorial de los
polinomios homogéneos de k [y1, . . . , yr] de grado s por ⊕|a|=sy a1
1 · · · y ar
r , donde
a = (a1, . . . , ar) y |a| = a1 + . . . + ar. Con esta notación se prueba que
Is
y
Is+1 |a|=s
a1
1 · · · y ar
r ⊗k
Usando estos isomorfismos veremos que el morfismo borde resulta ser casi la
multiplicación por los dfi. En efecto definamos Ω := Ω ⊗ R/I, el siguiente
diagrama conmutativo define δ
f a1
1 · · · f ar
que
|a|=s
IsΩ j−s
R
Is+1Ω j−s
R
y a1
1 · · · yar r ⊗k Ω j−s
R
I s+1 Ω j−s
R
d
δ ′
|a|=s−1
R
I .
Is−1Ω j−s+1
R
IsΩ j−s+1
R
y a1
1 · · · y ar
r ⊗k Ω j−s+1
R
donde z = y a1
1 · · · yar r ⊗ ω ∈
|a|=s ya1 1 · · · yar r ⊗k Ω j−s
R corresponde a x =
r ω en el módulo IsΩ j−s
R . De la definición del morfismo d se sigue
d(x) =
r
f a1
i=1
1 · · · f ai−1
i
· · · f ar
r · ai · dfi ∧ ω + f a1
1 · · · f ar
r d(ω) =
68
,

f a1
i=1
1 · · · f ai−1
i
· · · f ar
r · ai · dfi ∧ ω.
Por lo tanto d(x) corresponde al elemento r i=1 ya1
en el módulo
|a|=s−1 ya1 1 · · · yar r ⊗k Ω j−s+1
R
δ ′ (z) =
r
y a1
i=1
1 · · · y ai−1
i
1 · · · y ai−1
i
· · · y ar
r ⊗ai·dfi ∧ ω
. Entonces podemos escribir
· · · y ar
r ⊗ ai · dfi ∧ ω
Notemos que ai puede ser cero.
Como k ⊃ Q podemos reemplazar las potencias f j
j
(j) fi i por f i = j! entonces
el morfismo se define sólo con la multiplicación por dfi, para i = 1, . . . , r. Es
decir el siguiente diagrama
|a|=s
y (a1)
1
I s Ω j−s
R
I s+1 Ω j−s+1
R
· · · y (ar)
r
es conmutativo, donde
⊗k Ω j−s
R
δ(y (a1)
1 . . . y (ar)
r ⊗ ω) =
Por convención y (b)
i
r
i=1
d
δ
|a|=s−1
y (a1)
1
Is−1Ω j−s+1
R
y (a1)
1
I s Ω j−s+1
R
· · · y (ar)
r
⊗k Ω j−s+1
R .
. . . y (ai−1)
i . . . y (ar)
r ⊗ dfi ∧ ω.
= 0 si b < 0, para todo i = 1, . . . , r.
Proposición 2.28. El complejo Lj es isomorfo a
0
|a|=j
y (a1)
1 · · · y (ar)
r ⊗k Ω 0
R
. . .
|a|=1
y (a1)
1 · · · y (ar)
r ⊗k Ω j−1
R
δ
|a|=j−1
y (a1)
1 · · · y (ar)
r ⊗k Ω 1
R δ
. . .
69
y
|a|=0
(a1)
1 · · · y (ar)
r ⊗k Ω j
R,

donde
δ(y (a1)
1 . . . y (ar)
r
y Ω ∗
R = Ω ∗ R ⊗R R/I.
⊗ ω) = y (a1)
1
· · · y (ai−1)
i · · · y (ar)
r ⊗ dfi ∧ ω,
Prueba. Se sigue del análisis anterior.
Observación. Veamos rápidamente el caso en el cual I = 〈f〉 para valores
de j ≥ m = dim(R). En este caso se prueba que el complejo Lj es isomorfo
a
Ω 0
R
df
1
ΩR df
. . . df
m
ΩR (usar Proposición 2.28 y notar que k[x]s ⊗k Ω i Ω i .) Esto se puede escribir
como
(Ω 0 R
df
1 ΩR df
. . .
df
Ωm R ) ⊗R R/ 〈f〉 .
Es decir Lj = K(fx1, . . . , fxm) ⊗R R
I , donde df = Σm i=1fxi dxi para cierta base
dx1, . . . , dxm del módulo Ω 1 R .
Observación. Basados en la descripción anterior podemos demostrar, en el
caso particular que I = 〈f〉 , lo siguiente : Sea el anillo R = k[x1, . . . , xn](x1,...,xn).
Si f es regular (es decir Jf = R, ver Lema A.57) entonces HH∗(R/I) = Ω ∗ R/I .
La demostración de esta afirmación se esboza en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.29. Sea A = ((k[x1, · · · , xm]/ 〈f〉)(x1,··· ,xm), η) un anillo donde f
es un polinomio regular en el punto (0, · · · , 0). Esto significa que la matriz
Jac(f) evaluada en el punto (0, · · · , 0) tiene rango uno. Es claro observar
que esto equivale a tener que el ideal jacobiano Jf es unidad en el anillo
k[x1, · · · , xm](x1,··· ,xm). Entonces algún fxi se encuentra fuera del maximal η.
Por lo tanto se prueba que
T : Ω 1
R −→ Ω 1
R
definido por T (dxj) = dxj para j = i; y T (dxi) = df es un isomorfismo. Este
isomorfismo prueba que el diagrama
∧ ∗ T
Ω ∗ df
∗+1
Ω
Ω ∗
dxi
∗+1
Ω .
70
∧ ∗+1 T −1

es conmutativo. Esto significa que el complejo
Ω 0
R
df
1
ΩR es quasi isomorfo al complejo exacto
Ω 0
R
dx1
1
ΩR Del Corolario 1.107 se desprende que
df
. . .
df
m
ΩR dx1 dx1
. . .
m
ΩR
0,
0.
HHn(R/ 〈f〉) = H n (Ln) = Ω n /(dx1 ∧ Ω n−1 ) Ω n R/〈f〉,
si n < m. Esto nos indica que HHn(A) = Ωn A , para todo valor de n < m y
cero para valores mayores o iguales a m, donde A = R/ 〈f〉 .
Observación. El Propósito del ejemplo anterior es ilustrar la técnica que en
él se emplea. Una manera directa de calcular HH∗(A) cuando A = R/ 〈f〉 y
f es regular, es usar el Teorema 1.51 (ver Lema A.57).
Observación. Si a la hipótesis de intersección completa impuesta al ideal I
(recordemos que esta hipótesis es la que nos permite usar el Corolario 1.107)
le agregamos la hipótesis de singularidad aislada, es decir
tenemos la siguiente Proposición.
ht(〈Jf, f〉) = dim(R) = m
Proposición 2.30. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f〉 un ideal con una
singularidad aislada. La cohomología de los complejos Lj para j ≥ m cumple
para todo s ≤ m.
Prueba. En efecto, sea
Lj : (Ω 0 R
df
1 ΩR df
H s (Lj) = T orm−s( R
. . .
Jf
, R
I )
df
m ΩR ) ⊗R R
I = K(fx1, . . . , fxm) ⊗R R/I,
donde df = m
i=1 dfxi dxi. Como I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada en η
entonces {fx1, . . . , fxm} forman una secuencia regular. Por lo tanto el complejo
Koszul K(fx1, . . . , fxm) de fx1, . . . , fx1 es una resolución de R/Jf Ω m /df,
71

donde df denota la imagen de df ∧ − : Ω m−1 −→ Ω m (ver Lema 1.70). Es
decir H ∗ (Lj) = T orm−∗( R
I
, R
Jf
).
Ejemplo 2.31. Sea f = x 2 + y 2 + z 2 en (k[x, y, z](x,y,z), η), entonces Jf = η.
Como H ∗ (Lj) = T orm−∗( R
I
de R/I tenemos que
Por lo tanto
, R
Jf
), si usamos la resolución
K(f) : R f
R
K(f) ⊗R R/η : k 0
k.
H ∗ ⎧
⎪⎨ k si *=m
(Lj) = k
⎪⎩
0
si *=m-1
en otro caso.
(2.6)
Para el caso de un polinomio el cálculo de los módulos de cohomología
de los complejos Lj fueron realizados por Michler. Presentamos una leve
generalización de su resultado.
Corolario 2.32. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, I = 〈f〉 un ideal con una
singularidad aislada en η entonces
H ∗ ⎧
(Jf ⎨ :f)
si *=m-1
Jf
(Lj) = R
(2.7)
⎩ si *=m
para j ≥ m = dimR.
〈f,Jf〉
Prueba. Será suficiente hallar una resolución de R/ 〈f〉 (ver Proposición
2.30). Como R es un dominio, el complejo
K(f) : R f
es una resolución de R/ 〈f〉 . Por lo tanto el complejo K(f) ⊗ R/Jf se escribe
como
f
K(f) ⊗ R/ 〈Jf〉 : 0
R/ 〈Jf〉
R/ 〈Jf〉 .
72
R

De aquí se sigue que H m−1 (Lj) = (Jf :f)
Jf
, y H m (Lj) = R/ 〈f, Jf〉 .
Observación. Notemos que la dimensión de H m (Lj) (para j ≥ m) es el
número de Tjurina de la singularidad (ver Observación en la Proposición
2.4)
De ahora en adelante, hasta finalizar la sección, veremos solamente el
caso en el que I = 〈f, g〉 sea intersección completa y tenga una singularidad
aislada. Es decir trabajaremos bajo la hipótesis que el ideal I sea intersección
completa y cumpla la siguiente propiedad :
ht(〈f, g, Jf,g〉) = m.
Nuestro estudio se centrará en la cohomología de los complejos Lj para valores
j ≥ dim(R). En adelante para no cargar la notación escribiremos ya i por
y (a)
i . La Proposición 2.28 prueba que los complejos Lm+k se expresan de la
siguiente manera
Lm+p :
|a|=m+p
y a1
1 y a2
2 Ω 0 δ
|a|=m+p−1
y a1
1 y a2
2 Ω 1
. . . δ
|a|=p+1
y a1
1 y a2
2 Ω m−1
δ
δ
|a|=p
y a1
1 y a2
2 Ω m ,
donde Ω s = Ω s ⊗R R/I. A partir de aquí usaremos la siguiente notación
Ω m−i
i,l,m+p =
|α|=i+p;a2=l
y a1
1 y a2
2 Ω m−i ,
especialmente cuando escribamos L ′ m+p como un bicomplejo. Cuando no halla
lugar a duda en que complejo Lj estemos trabajando sólo pondremos Ω m−i
i,l .
Notemos que y j
1y i 2Ω s y j
1y i−1
2 Ω s Ω s .
Definición 2.33. Definamos los complejos L ′ m+p de la siguiente manera :
L ′ m+p : m+p
Ω
l=0
0 m,l
δ
m+p−1
Ω
l=0
1 p
δ
. . . δ
m−1,l
Ω
l=0
m 0,l
y el morfismo borde se define como δ(y a 1y b 2ω) = y a−1
1
donde y a 1 = y a 2 = 0 si a < 0.
73
0,
yb 2df ∧ ω + ya 1y b−1
2 dg ∧ ω,

Observación. Notemos que Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I y que δ2 = 0. Una idea
natural para generalizar la Proposición 2.30 en el caso de más un polinomio
es intentar probar que H∗ (Lm) = T orm−∗( R
I , R/ 〈Jf, Jg〉) donde L ′ m es una
resolución de R/ 〈Jf, Jg〉 = Hm (L ′ m). El siguiente ejemplo muestra que esto
no es posible :
Ejemplo 2.34. Sea f = x 2 +y 2 +z 2 y g = xy+z 2 en (R, η) = (k[x, y, z](x,y,z), η).
Se prueba que f, g forman una secuencia regular. Un cálculo muestra que
Jf,g = 〈x 2 − y 2 , z(2x − y), z(2y − x)〉 , ht(〈Jf,g, f, g〉) = 3. Es decir el ideal
I = 〈f, g〉 tiene una singularidad aislada de intersección completa en η.
Más aún como Jf = Jg = η entonces ht(Jf) = ht(Jg) = 3 = dimKrull(R).
Del Corolario 2.5 la última conclusión significa que f y g tienen una singularidad
aislada en η. Esto a su vez equivale a tener que los complejos
K(fx1, . . . , fxm) y K(gx1, . . . , gxm), tienen cohomología cero para todo i = m,
donde df = m i=1 fxidxi y dg = m gxi i=1 dxi.
Debido a que el complejo Lm se puede escribir como
Lm : . . .
Ω m−1
1,1
tenemos la secuencia exacta corta
0
dg
. . .
Ω m−2
2,1
dg
. . .
Ω m−3
3,1
. . .
df
df
df
Ω m
0,0 Ω m−1
Ω m−2
. . . ,
dg
1,0
K(fx1, . . . , fxm) ⊗R R/I
dg
Lm
2,0
Lm−1
donde, en Lm, identificamos la primera columna de la izquierda con el complejo
K(fx1, . . . , fxm) ⊗R R/I, y el cociente con Lm−1 (notemos que x j y i Ω s
x j y i−1 Ω s ). Como f tiene una singularidad aislada entonces
H ∗ (K(fx1, . . . , fxm) ⊗ R/I) = T orm−∗( R R
, ).
I Jf,g
Por lo tanto si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología tenemos
74
0,

T or1( R R , I Jf )
T or0( R R , I Jf )
· · ·
m−1 H (Lm)
Ω m
df+dg .
m−2 H (Lm−1)
Ω m−1
df+dg
δ1
δ0
Sin dificultad se prueba que δ0 = 0 pues Jg ⊂ Jf y entonces δ0([ω]) =
[dg ∧ ω] = 0 ∈ H m (K(fx1, . . . , fxm)⊗R/I) = R/Jf = R/Jg. Veamos qué sucede
con δ1. Sea [(w0, w1)] un elemento en el módulo H m−2 (Lm−1). Entonces para
representantes (w0, w1) en la clase (w0, w1) de (Lm−1)m−2 se cumple
df ∧ w1 + dg ∧ w0 = f · η1 + g · η2.
Si efectuamos el producto dg∧ en la igualdad anterior tenemos
dg ∧ (df ∧ w1 + dg ∧ w0) = dg ∧ (f · η1 + g · η2) (2.8)
Como Jf = Jg se tiene dg ∧ η1, dg ∧ η2 ∈ dg ∧ Ω m−1
R
Entonces existen η ′ 1, η ′ 2 ∈ Ω m−1
R
Por lo tanto podemos escribir
Jg = Jf df ∧ Ω m−1
R
.
tal que dg ∧ η1 = df ∧ η ′ 1 y dg ∧ η2 = df ∧ η ′ 2.
(f · dg ∧ η1 + g · dg ∧ η2) = (f · df ∧ η ′ 1 + g · df ∧ η ′ 2).
De aquí se sigue que la ecuación 2.8 se escribe como
Si factorizamos df∧ obtenemos
dg ∧ df ∧ w1 − (f · df ∧ η ′ 1 + g · df ∧ η ′ 2) = 0.
df ∧ (dg ∧ w1 + f · η ′ 1 + g · η ′ 2) = 0.
Como df∧ es el diferencial del complejo K(fx1, . . . , fxm) que tiene cohomología
cero en todos los grados salvo en nivel m (pues ht(Jf) = m), tenemos
que dg∧w1+(f ·η ′ 1+g·η ′ 2) = df ∧η2, para algún η2. Es decir dg ∧ ω1 = df ∧ η2
en Ω m−1 y
δ1([(w1, w2)]) = [dg ∧ w1] = [df ∧ η2] = 0
75

en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por lo tanto tenemos la secuencia exacta corta
0
T or1( R R , I Jf )
m−1 H (Lm)
A continuación calculamos el módulo T or1( R
I
Ωm−1
df + dg
0. (2.9)
R , ). Si Usamos la hipótesis
Jf
que el ideal I = 〈f, g〉 es intersección completa tenemos que el complejo
es una resolución de R
I
el complejo anterior obtenemos
0
0
(f,g) (−g,f)
R
R R
R
. Si efectuamos el producto tensorial ⊗R R
Jf = ⊗Rk en
k
0
0
k k
k
Esto significa que T or1( R R , ) = k ⊕ k. Antes de continuar un lema que nos
I Jf
permitirá demostrar que Ωm−1
df+dg
es un módulo no nulo.
Lema 2.35. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, y 〈f〉 un ideal con una singularidad
aislada. La aplicación
df :
0
0
Ωm−1 df ∧ Ωm−2 m JfΩ Jf
→
+ dg ∧ Ωm−2 Jf,gΩm Jf,g
definida por w ↦→ df ∧ w es un isomorfismo.
Prueba. Sólo la inyectividad no es clara. Si df ∧ w = 0 entonces df ∧ w =
df ∧dg∧w1, por lo tanto df ∧(w−dg∧w1) = 0. Como H i (K(fx1, · · · , fxm)) = 0
para todo i = m entonces existe w2 ∈ Ω m−2 tal que w = dg ∧ w1 + df ∧ w2,
es decir w = 0.
Notemos que, Ωm−1
df+dg
Jf
Jf,g
⊗R R
I = 0 por que si no M = Jf
Jf,g cumpliría
que M
IM = 0 y por el Lema de Nakayama se tendría M = 0. Pero Jf = η y
Jf,g ⊂ η 2 nos dice que M = 0. Por (2.9), dim(H m−1 (Lm)) > 2 y no puede
ser isomorfo a
Esto finaliza el Ejemplo 2.34.
T or1(R/I, R/ 〈Jf, Jg〉) = T or1(R/I, R/Jf).
76

Corolario 2.36. El complejo L ′ m no es exacto en general.
Prueba. Si no L ′ m sería una resolución de R/ 〈Jf, Jg〉 y
H m−1 (Lm) = T or1(R/I, R/ 〈Jf, Jg〉).
Observación. Con respecto a la cohomología de los complejos Lj podemos
decir es que esta corresponde al Hipertor de L ′ j y R/I; tal como enunciamos
a continuación.
Definición 2.37. Una resolución de Cartan-Eilenberg P∗∗ de un complejo
(C∗, d) es un complejo doble en el semiplano superior de módulos proyectivos
(Ppq = 0 si q < 0), con una aplicación
ɛ : P∗0 → A∗
tal que para todo p se cumple :
Si Cp = 0 la columna Pp∗ es cero. La aplicaciones
y
B(ɛ) : Bp(P, d h ) → Bp(C)
H(ɛ) : Hp(P, d h ) → Hp(C)
son resoluciones proyectivas. El módulo Bp(P, d h ) es el borde horizontal.
Observación. Toda cadena compleja (C, d) tiene una resolución de Cartan-
Eilenberg P∗∗ (ver [Wei, Lema 5.7.2]).
Definición 2.38. Sean (C∗, d) una cadena, B un módulo, y P → (C∗, d) una
resolución de Cartan-Eilenberg. Definimos el Hipertor ( TOR ) de (C∗, d) y
B como
T ORi(C∗, B) = Hi(T ot(P ⊗ B)).
Observación. En el caso que C sea un módulo A concentrado en grado cero
obtenemos la definición de T ori(A, B).
Si el complejo (C, d) es finito entonces
T ORi(C∗, B) = Hi(C∗ ⊗ B)
77

para todo i (ver [Wei, Aplicación 5.7.8]). Como Lj = L ′ j ⊗ R/I entonces
H i (Lj) = T ORm−∗(L ′ j, R/I).
Observación. A continuación veremos cuantos módulos de cohomología nulos
existen en los complejos Lj para todo j ≥ 1 donde I = 〈f1, . . . , fr〉 es una
icis.
Lema 2.39. Sean (R, η) un anillo r.l.e.t.f., e I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces
para todo primo P en al anillo R/I se tiene Hi ((Lj)P ) = 0 es exacto
para todo j > m − r + 1 e i ≥ 0.
H i ⎧
⎪⎨ 0 para todo i si j > m − r
((Lj)P ) = 0
⎪⎩
∧
si j ≤ m − r e i = j
jN si i = j ≤ m − r,
(2.10)
donde N = ⊕ m−r+1
i=1 RP · ei
Prueba. Sea P un ideal primo diferente que el maximal en el anillo A := R/I.
Del Lema 2.3 se sigue que el anillo AP es regular local. Esto significa que
R es suave. Por lo tanto, del Teorema de Hochschild Konstant Rosenberg
tenemos que
HHn(AP ) = Ω n AP = Hn (Ln).
Por otro lado sabemos que
[n/2]
HHn(AP ) =
i=0
H n−2i ((Ln−i)P ),
para todo n ≤ m − r + 1. De aquí se sigue que H n ((Ln)P ) = ΩAP y
H i ((Ln−i)P ) = 0 para todo i > 0, y n ≤ m−r +1. Como HHn(AP ) = 0 para
todo n > m − r + 1 obtenemos que H i ((Lj)P ) = 0 para todo j > m − r + 1.
Corolario 2.40. Sean (R, η) un a.r.l.e.t.f e I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces
H i ((Lj)) = 0
para todo i < m − r e i > m si j > m − r; y si j ≤ m − r e i = j.
78

Prueba. Notemos que el anillo A = R/I tiene dimensión m−r. Los complejos
Lj son complejos de A−módulos libres. Sea j > m − r entonces del lema
anterior tenemos que H i ((Lj)P ) = 0 para todo i. Del Corolario 1.69 se sigue
que H i (Lj) = 0 para todo i < m − r − 1. La longitud del complejo Lj es a lo
más igual a m. Por lo tanto H i (Lj) = 0 para todo i > m.
Sea j ≤ m − r, del lema anterior se tiene que H i ((Lj)P ) = 0 para todo
i < j y para todo primo P de altura menor que m−r. El criterio de exactitud
nos indica que H i (Lj) = 0 para todo i < j.
Observación. Interesados en conocer la cohomología de los complejos Lm+p
presentaremos el cálculo de la cohomología de ciertos complejos Lj(x1, . . . , xr)
isomorfos a Lj en cierta localización RP . Ellos se pueden asumir como una
generalización del complejo de Koszul. Por esta razón presentamos la siguiente
subsección :
2.2.2. Una Generalización del Complejo de Koszul
En este item trabajaremos en A una k−álgebra local e.t.f. Entre los principales
ejemplos de estas álgebras se encuentran los anillos (R, η) r.l.e.t.f., sus
localizaciones y los anillos R/I, donde I es un ideal de intersección completa
con una singularidad aislada.
En base a los complejos Lj para j > 0 daremos la siguiente definición :
Definición 2.41. Sea (A, η) un anillo local con una estructura de k−álgebra,
N = ⊕ m i=1A · dxi un A−módulo libre. Denotemos N i := ∧ i N, y N 0 = A. Definamos
los complejos Lj(dx1, . . . , dxr, N) con r ≤ m de la siguiente manera
|a|=j
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N 0
si j < m, y
δ
. . . δ
|a|=j
|a|=j−1
|a|=1
x a1
1 · · · xar r ⊗k A δ
x a1
1 · · · xar r ⊗k N δ
. . .
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N j−1
|a|=j−1
79
δ
|a|=0
x a1
1 · · · xar r ⊗k N δ
. . .
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N j ,

. . .
δ
|a|=j−m+1
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N m−1
δ
si j ≥ m. Donde δ(x a1
1 · · · x ar
r ω) = r
i=1 xa1
|a|=j−m
1 · · · x ai−1
i
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N m ,
si b < 0. Donde a = (a1, . . . , ar), y |a| = a1 + . . . + ar = j − s.
· · · x ar
r dxi ∧ ω, y x b i = 0,
Observación. Cuando no haya lugar a confusión escribiremos L(x1, . . . , xr)
por Lj(dx1, . . . , dxr, N). Cuando df1, · · · , dfr es parte de una base en Ω 1 RP es
obvio que L(df1, · · · , dfr, Ω 1 RP ) es isomorfo a L(x1, . . . , xr) sobre un RP −módulo
libre de rango m.
Lema 2.42. El complejo Lj(x1, . . . , xr) esta bien definido
Prueba. Será suficiente demostrar que δ 2 = 0. Sea x = x a1
1 · · · x ar
r ω entonces
y
δ(δ(x)) =
r
(
i=1
δ(x) =
r
x a1
j=1
r
x a1
i=1
1 · · · x aj−1
j
1 · · · x ai−1
i
· · · x ar
1 dxi ∧ ω,
· · · x ai−1
i · · · x ar
r dxj ∧ dxi ∧ ω). (2.11)
Sea l < s ∈ {1, . . . , r} dos indices arbitrarios. Sin perdida de generalidad
podemos asumir que al, as > 0. En efecto si al = 0 o as = 0 entonces el
término x a1
1 · · · xas−1 s · · · x al−1
l · · · xar r dxj ∧ dxi ∧ ω = 0.
Si en la ecuación 2.11 ponemos i = l y j = s obtenemos
z = x a1
1 · · · x as−1
s
Si ponemos i = s y j = l obtenemos
z ′ = x a1
1 · · · x al−1
l
· · · x al−1
l · · · x ar
r dxs ∧ dxl ∧ ω.
· · · x as−1
s · · · x ar
r dxl ∧ dxs ∧ ω.
Como z + z ′ = 0 entonces δ ◦ δ = 0.
Proposición 2.43. Sea j ∈ N, entonces existe una secuencia exacta corta
de complejos
0
Lj(x1, . . . , xr−1)
Lj(x1, . . . , xr)
80
ϕ
Lj−1(x1, . . . , xr)
0.

Prueba. Supongamos que j ≥ m, es decir j = m+p. Definamos la aplicación
ϕt :
|α|=m+p−t
x a1
1 · · · x ar
r N t R −→
|α|=m+p−t−1
de la siguiente manera : Sea x = x a1
1 · · · x ar
r · ω ∈
Por linealidad ϕ se extiende a todo el módulo
x a1
1 · · · x ar
r N j
|α|=m+p−t
x a1
1 · · · x ar
r N t R ,
ϕt(x) = x a1
1 · · · x ar−1
r · ω. (2.12)
|α|=m+p−t
x a1
1 · · · x ar
r N t . Notemos
que ϕt define una aplicación ϕ : Lm+p(x1, . . . , xr) −→ Lm+p−1(x1, . . . , xr) de
módulos graduados. Veamos que el siguiente diagrama
|α|=m+p−t+1
x a1
1 · · · xar r N t−1 ϕj−1
|α|=m+p−t
x a1
1 · · · x ar
r N t−1
δ
x
δ
|α|=m+p−t
a1
1 · · · xar r N t
ϕt
x
|α|=m+p−t−1
a1
1 · · · xar r N t .
conmute. Como ya sabemos que ϕ : Lm+p(x1, . . . , xr) −→ Lm+p−1(x1, . . . , xr).
Sea x un elemento de
|α|=m+p−t+1 xa1 1 · · · xar r N t−1 . Debemos demostrar que
δ ◦ ϕt−1(x) = ϕt ◦ δ(x).
En efecto sin perdida de generalidad podemos asumir que x = x a1
1 · · · x ar
r · ω,
entonces
ϕt ◦ δ(x) = ϕt(δ(x a1
1 · · · x ar
r ω)) =
Por otro lado tenemos
r
x a1
i=1
δ ◦ ϕt−1(x) = δ(x a1
1 · · · x ai−1
i
1 · · · x ar−1
r
ω) =
r
ϕt(x a1
i=1
1 · · · x ai−1
i
· · · x ar−1
r dxi ∧ ω.
81
r
x a1
i=1
1 · · · x ai−1
i
· · · x ar
r dxi ∧ ω) =
· · · x ar−1
r dxi ∧ ω.

Notemos que puede ocurrir que ai − 1 < 0. De las dos últimas ecuaciones se
desprende que ϕ ◦ δ = δ ◦ ϕ. Es decir ϕ es un morfismo de complejos.
Es claro que ker(ϕ) = Lm+p(x1, . . . , xr−1) esta incluido de manera natural
en Lm+p(x1, . . . , xr).
El caso j < m es similar con un caso particular para ϕj.
Observación. En esta parte abordaremos el cálculo de los módulos de cohomología
de los complejos Lj(x1, . . . , xr) donde A es un álgebra como en la
Definición 2.41. Sean A una k−álgebra, y y1, . . . , ym variables. La A−álgebra
B := A[y1, . . . , ym] es suave sobre A. Por lo tanto del teorema de Hochschild-
Kostant-Rosenberg tenemos que
HH A n (B) = Ω n
B|A =
n [
m
B · dyi]
si n ≤ m y cero en otro término (ver [Wei, Ejercicio 9.1.3]). Es decir, HHn(B)
es un modulo B−libre, más aún la álgebra B es homológicamente regular. El
ideal I = 〈y1, . . . , yr〉 es intersección completa, y C := B/I = A[yr+1, . . . , ym]
es suave sobre A. Por lo tanto tenemos que
HH A n (C) = Ω n C =
n [
i=1
m
i=r+1
C · dyi],
si n < m − r + 1 y cero en los demás casos. Por otro lado, dado que I es
intersección completa, tenemos que
HH A [n/2]
n (C) = H n−2i (Ln−i),
donde el complejo Lj es de la forma
x
|a|=j
a1
1 · · · xar r ⊗k N 0
δ
x
|a|=j−1
a1
1 · · · xar
r ⊗k N δ . . .
. . . δ
|a|=1
i=0
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N j−1
δ
|a|=0
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N j ,
y N = Ω 1
B|A = Ω1 B|A ⊗B C. Notemos que ∧ j N = 0 si j > m y ∧ m N = B.
82

Lema 2.44. Sea n en los naturales. Si
HH A n (C) = Ω n [n/2]
C = H n−2i (Ln−i),
entonces Hi (Lj) = 0 para todo i = j ≤ m − r, Hj (Lj) = Ω j
C
Hi (Lj) = 0 para todo i si j > m − r.
i=0
si j ≤ m − r y
Prueba. Se sigue de la descomposición de Hogde de la homología de Hochschild
y homologia Cíclica
Observación. En el anillo C la secuencia yr+1, . . . , ym es una secuencia regular,
entonces el complejo Koszul K(yr+1, . . . , ym) es exacto.
Ahora la cohomología que nos interesa es la de los complejos
Lj ⊗C C/〈yr+1, . . . , ym〉 = Lj ⊗C A.
Como K(yr+1, . . . , ym) es una resolución de A de C−módulos libre entonces
H ∗ (Lj ⊗C K(yr+1, . . . , ym)) = H ∗−j (H j (Lj) ⊗C K(yr+1, . . . , ym)),
y cero si j > m − r + 1 (ver Lema 2.44). El módulo H j (Lj) = Ω j
C
es un
C−módulo libre. Como yr+1, . . . , ym es una secuencia regular en C entonces
K(yr+1, . . . , ym) es una resolución de A, entonces
H ∗ (Lj ⊗C K(yr+1, . . . , ym)) = H ∗−j (H j (Lj) ⊗C K(yr+1, . . . , ym)) =
H j (Lj) ⊗C A.
Corolario 2.45. Sea j > m − r entonces
H i (Lj ⊗ A) = 0
para todo i ≥ 0. Sea j ≤ m − r entonces
H i
0 si i = j
(Lj ⊗ A) =
Hj (Lj) ⊗C A = Ω j
C ⊗C A si i = j.
(2.13)
Prueba. Se sigue de la observación anterior.
83

2.2.3. Cálculo de la Homología de Hochschild
En esta parte nos encaminamos en dirección al cálculo de los módulos de
cohomología de los complejos Lj. Como sabemos el complejo L ′ m no es exacto
en general. En relación a sus módulos de cohomología podemos precisar lo
siguiente :
Los módulos de cohomología del complejo L ′ m+p están soportados en los primos
P que contienen al ideal Jf,g.
Él es pieza fundamental para demostrar que los complejos Lm+p para k ≥ 0
sólo tienen tres términos de cohomología no nulos. Este Teorema será uno
de los pilares donde se sentara las bases de la siguiente sección. La igualdad
ht(JF ) = m − r + 1 conjuntamente con el resultado anterior nos permitirán
demostrar :
Los complejos Lj para j ≤ m−2 tienen cohomología cero para todo i = j.
Para j = m − 1 llegamos a que H s (Lm−1) = T orm−1−s(Jf/Jf,g, R/I). Finalmente
para j ≥ m presentamos una secuencia espectral Ep,q que converge a
la cohomología de los complejos Lm+p y E 2 = E ∞ .
Los cálculos mencionados líneas atrás se sintetizan en el siguiente Teorema
Teorema 2.46. Sea j ∈ N entonces
H i ⎧
0 si i < min{j, m − 2}.
⎪⎨
df ∧ Ω
(Lj) =
⎪⎩
j
⊗ R/I si i = j y j ≤ m.
df ∧ dg ∧ Ωj−1 T orm−1−i( Jf
, R/I) si j = m − 1.
Jf,g
T or1(H m−1 (Cp+1), R/I) si j > m − 1 e i = m − 2,
(2.14)
donde Cp+1 = (L ′ m+p) ≤m−1 (ver Proposición 2.55). Para los términos en nivel
m − 1 y m presentamos una secuencia espectral
E 1 2,0 = T or2(Mp, R
I )
E1 1,0 = T or1(Mp, R
I ) E1 1,1 = T or1(Mp, R
d1
E1 0,0 = T or0(Mp, R
I )) E1 0,1 = T or0( Jg R , Jf,g I ),
d1
84
I )
(2.15)

donde Gr(Mp) = ⊕ p
i=0 R/Jf (ver Teorema 2.62) y d 1 es el producto exterior
con dg.
En el caso que Jg este contenido en el ideal Jf, se cumple E 1 = E ∞ , lo cual
se demuestra en el Corolario 2.65. Aunque la condición Jg ⊂ Jf simplifica
significativamente los cálculos, esta se da en muchos ejemplos conocidos.
Ello nos permite calcular los módulos de cohomología de los complejos Lm+p
para el caso en que R/I es de dimensión cero y la singularidad es simple
(clasificación de Guisti [G]) [Looj, 7.19], a exepción de Hµ para µ ≥ 7, y
las singularidades simples de curvas inmersas en dimensión tres
(ver Ejemplo 2.67). El cálculo de estos grupos de cohomología fue una de las
motivaciones originales de este trabajo.
Formalmente tenemos :
Teorema 2.47. Sea P un ideal primo con P Jf,g. Entonces (L ′ j)P
Lj(x1, x2) (con N = Ω 1 RP y A = RP ). En particular los complejos L ′ j localizados
en todo primo P Jf,g son exactos en (RP , ηP ) para todo j ≥ m − 1.
Para j < m − 1 los complejos (L ′ j)P son exactos excepto posiblemente en
grado j.
Prueba. Sea dx1, . . . , dxm una base del módulo libre Ω1 R , y df = m fxi i=1 dxi,
dg = m i=1 gxidxi la representationes de los diferenciales de f y g en dicha
base. Entonces el ideal Jf,g es generado por los elementos fxigxj −fxj gxi . Con
estos lineamientos establecidos iniciemos la prueba del Teorema :
Sea P ideal primo tal que P Jf,g entonces algún
fxigxj − fxjgxi /∈ P
para indices i, j diferentes. Es decir fxi gxj − fxj gxi es unidad en RP .
Afirmación. Sin perdida de generalidad podemos suponer (por un isomorfismo
del módulo libre Ω1 R que reordene la base) que
fx1gx2 − fx2gx1 /∈ P.
Por otro lado como Ω1 Rp = m i=1 RP dxi, definamos N := Ω1 . Esta no-
Rp
tación es sólo para indicar que T establece un isomorfismo entre los complejos
(L ′ j)P y Lj(x1, x2). Definamos la aplicación Rp lineal
T : N −→ Ω 1 Rp
85

como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi = dxi para i ≥ 3. De la representación
matricial de T en la base dx1, . . . , dxm tenemos que |T | = fx1gx2 − fx2gx1
es unidad en RP . Por lo tanto T −1 Adj(T )
= esta bien definido. Esto sig-
|T |
nifica que df1, . . . , dfr forman parte de una base de Ω1 RP . Entonces (L′ j)P =
Lj(df1, . . . , dfr, Ω1 RP )
El hecho que L ′ j sea exacto para j ≥ m − 1 se sigue del Corolario 2.45.
La conclusión que los Lj para j < m − 1 sean exactos excepto en el último
nivel se sigue también del Corolario 2.45.
Observación. Si repetimos la demostración anterior ahora para el módulo
Ω ∗
R obtenemos
Teorema 2.48. Los complejos Lj localizados en todo primo P Jf,g son
exactos en ((R/I)P , η P ) para todo j ≥ m − 1. Para j < m − 1 los complejos
(Lj)P son exactos salvo posiblemente en grado j.
Prueba. Es la misma que la demostración anterior con A = (R/I)P y N =
⊕ m i=1Adxi..
Proposición 2.49. El complejo L ′ m−1 es exacto salvo en nivel m − 1.
Prueba. Es claro que el complejo L ′ m−1 tiene longitud m − 1. Entonces
demostrar que H i (L ′ m−1) = 0 para todo i = m − 1 -usando el criterio de
exactitud- equivale a probar que :
(L ′ m−1)P tiene cohomología cero para todo i = m − 1 para todo primo P tal
que profundidad(P ) = ht(P ) < m − 1.
En efecto sea P primo tal que ht(P ) < m − 1. Del Corolario 2.19 tenemos
ht(JF ) = m − r + 1.
En el caso particular que r = 2 obtenemos ht(Jf,g) = m − 2 + 1, es decir
Jf,g P. Entonces en RP el complejo (L ′ m−1)P es exacto. (ver Teorema 2.47).
Esto finaliza la prueba.
Corolario 2.50. La cohomología del complejo Lm−1 cumple
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗(R/I, Jf
donde I = 〈f, g〉 y el generador 〈f〉 tiene una singularidad aislada en η.
86
Jf,g
),

Prueba. Por la proposición, reindexando, L ′ m−1 es una resolución de
H m−1 (L ′ m−1) Jf
(Lema 2.35) y Lm−1 = L ′ m−1 ⊗ R/I. Entonces
Jf,g
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jf
Jf,g
, R/I).
Observación. El corolario anterior es una generalización del Corolario 2.30.
Observación. Hemos expresado los módulos de cohomología del complejo
Lm−1 en función de T or∗(R/I, Jf/Jf,g). A continuación veremos cuantos de
ellos son nulos.
Corolario 2.51. Si i = m − 1, m − 2 entonces H i (Lm−1) = 0.
Prueba. Se sigue del corolario 2.40.
Observación. A continuación veremos que la cohomología de los complejos
L ′ j cumple que H i (L ′ j) = 0 si i = j < m − 1. Existen diferentes maneras de
demostrar esta afirmación (ver Corolario 2.40), nosotros nos basaremos en el
criterio de exactitud.
Corolario 2.52. Los complejos L ′ j son exactos ∀j < m − 1 salvo en grado j.
Prueba. Sea L ′ j con j < m−1 entonces el complejo tienen longitud j. Sea P
un ideal primo tal que ht(P ) < j. Como ht(Jf,g) ≥ m − 1 entonces P Jf,g.
Del Teorema 2.47 se sigue que (L ′ j)P es exacto salvo posiblemente en grado
j. Una aplicación directa del criterio de exactitud finaliza la prueba.
Observación. Del argumento del Corolario 2.40 obtenemos que H i (Lj) = 0
si i = j ≤ m − 2. A continuación nosotros presentaremos otra demostración.
Proposición 2.53. Sea j ≤ m − 2 entonces para todo t = j tenemos
H t (Lj) = 0.
87

Prueba. Sea P un ideal primo en el anillo R/I diferente del maximal. Como
siempre obviaremos la notación de clase de equivalencia en el anillo R/I.
Como ht(Jf,g) = m − 2 entonces P Jf,g. Por lo tanto del Teorema 2.48 se
tiene que H i ((Lj)P ) = 0 para todo i = j. Una aplicación directa del Criterio
de exactitud en el anillo R/I concluye la prueba.
Observación. A continuación demostraremos que los generadores f, g del
ideal I forman una secuencia H j (L ′ j)−regular para j ≤ m−2. Esta propiedad
no se usa en el trabajo pero afianza el manejo de las propiedades del complejo
de Koszul. Como los complejos L ′ j para j ≤ m − 2 tienen cohomología cero
para todo i = j (Corolario 2.52) y Lj = L ′ j ⊗ R/I entonces
H s (Lj) = T orj−s(H j (L ′ j), R/I).
De la proposición anterior tenemos que T orj−s(H j (L ′ j), R/I) = H s (Lj) = 0,
para todo s < j. De aquí (siguiendo el mismo procedimiento que se presenta
en el Teorema A.33 del Apéndice) se prueba que f, g forman un secuencia
H j (L ′ j)−regular para todo j ≤ m − 2.
Observación. Una de las principales propiedades que usamos en las demostraciones
anteriores y que se manifiesta en el Teorema 2.47 es que los
módulos de cohomología de los complejos L ′ m+p están soportados en los primos
P ⊃ Jf,g. La otra propiedad que hemos usado es que los módulos de
cohomología de los complejos Lm+p están soportados sólo en el ideal maximal
(Proposición 2.53.)
A continuación demostraremos que los complejos Lm+p sólo tienen tres
términos de cohomología no nulos.
Teorema 2.54. Se cumple que H s (Lj) = 0, para todo s ≤ m − 3, s > m y
j ≥ m.
Prueba. Se sigue del Corolario 2.40 para j > m − 2.
Observación. A continuación presentamos el cálculo del módulo de cohomología
Hm−2 (Lm+p) para todo p 0. La primera parte de la prueba se basa
en el Teorema 2.47 y el hecho que ht(Jf,g) ≥ m−1. A continuación usaremos
la siguiente notación
Ω m−i
i,l,m+p =
|α|=i+p;a2=l
88
y a1
1 y a2
2 Ω m−i ,

establecida líneas atrás
Proposición 2.55. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f entonces el complejo
Cp+1 : m+p
Ω
l=0
0 m,l,m+p
es exacto salvo en grado m − 1.
δ
m+p−1
Ω
l=0
1 m−1,l,m+p
δ
. . .
p+1
δ Ω
l=0
m−1
1,l,m+p
Prueba. Notemos que Cp+1 es un complejos de módulos libres de longitud
m − 1 tal que (Cp+1)s = (L ′ m+p)s para todo s ≤ m − 1. A continuación
aplicamos el criterio de exactitud al complejo Cp+1 :
En efecto, sea P primo con ht(P ) < m − 1. Como ht(Jf,g) ≥ m − 1
entonces P Jf,g. Del Teorema 2.47 tenemos que H s ((L ′ m+p)P ) = 0 para
todo s ≤ m. Es decir H s ((Cp+1)P ) = 0 en RP para todo primo P ⊂ η, con
ht(P ) < m − 1, y s ≤ m − 2. Esto significa, si empleamos el criterio de
exactitud, que H i (Cp+1) = 0 para todo i = m − 1 en el anillo local (R, η).
Observación. El siguiente lema tiene como fin calcular el último módulo de
cohomología del complejo Cp+1.
Lema 2.56. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f, g〉 una icis. El complejo
K(fx1, . . . , fxm) : 0
0 ΩR df
1 ΩR df
. . .
df
Ωm R ,
tiene a lo más los dos últimos módulos de cohomología no nulos.
Prueba. Como Jf = (fx1, . . . , fxm) ⊃ Jf,g y ht(Jf,g) = m−1 (Corolario 2.19)
entonces ht(Jf) m − 1. Por lo tanto una aplicación del Corolario A.37 del
Apéndice concluye la demostración del Corolario.
Observación. Si en el complejo L ′ m+p usamos la notación
Ω m−i
i,l,m+p = Ωm−i
i,l = xay l Ω m−i ,
entonces el complejo Cp+1 se escribe de la siguiente manera
89
0,

Cp+1 : .
Ω m−2
2,p+2
df
Ω m−1
1,p+1
dg
. . .
Ω m−2
2,p+1
. ..
df
. .. Ω m−2
dg 2,1
. . .
df
Ω m−1
1,0 Ω m−2
dg 2,0
. . .
y podemos identificar la primera columna de la izquierda con el complejo K ′
Ω 0
df
1 Ω
df
· · ·
df
m−2 Ω
df
m−1 Ω .
Del Lema anterior se sigue que K ′ es exacto excepto en el último nivel.
Si describimos el complejo Cp como un bicomplejo se tiene que
Cp ∼ = Cp+1
K ′
(2.16)
identificando Ω j
s,t en Cp+1 con Ω j
s,t−1 en Cp. Notemos que por definición el
complejo Cp es el complejo L ′ m+p−1 cortado en grado m − 1. Por lo tanto
tenemos la siguiente secuencia exacta corta de complejos.
0
′ K
Cp+1
Cp
0. (2.17)
Si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología obtenemos la secuencia
exacta
0
Notemos que
m−1 ′ H (K )
m−1 H (Cp+1)
m−1 H (Cp)
0.
C0 = L ′ m−1. (2.18)
90

Lema 2.57. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y K ′ el complejo
Ω 0
df
1 Ω
df
m−2 · · · Ω df
Si f tiene una singularidad aislada en η entonces
y H i (K ′ ) = 0 si i = m − 1.
Prueba. Definamos la aplicación
H m−1 (K ′ ) Jf,
m−1 Ω .
df : Ωm−1
df ∧ Ω m−2 −→ JfΩ m Jf
de la siguiente manera ω ↦→ df ∧ ω. La buena definición se sigue del hecho
que df ∧df = 0. Si identificamos Ω m con el anillo R entonces df ∧Ω m−1 = Jf.
Por lo tanto la aplicación ω ↦→ df ∧ ω es sobre. Sea df ∧ ω = df ∧ ω = 0.
La hipótesis que f tiene una singularidad aislada en η es equivalente a que
H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m. Por lo tanto si df ∧ω = 0 entonces
ω = df ∧ ω0. Es decir ω = 0.
Observación. A continuación calculamos los módulos de cohomología de
los complejos Cp+1. Dicho cálculo se basa en la filtración por columnas del
complejo Lm+p, secuencia exacta 2.17 y en el isomorfismo 2.18.
Lema 2.58. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f, g〉 una icis. Si f y g
tienen una singularidad aislada en η entonces
Gr(H m−1 (Cp+1)) = Jf
p+1
(Jf)i ,
donde (Jf)i = Jf.
Jf,g
Prueba. La prueba será por inducción sobre k para valores de k 0.
Sea k = 0. Si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología en la
secuencia
obtenemos
0
0
m−1 ′ H (K )
′ K
C1
m−1 H (C1)
91
C0
i=1
0
m−1 H (C0)
0.

Por lo tanto
Gr(H m−1 (C1)) = H m−1 (K ′ ) ⊕ H m−1 (C0). (2.19)
Como C0 L ′ m−1 entonces H m−1 (C0) = H m−1 (L ′ m−1). Del Lema 2.35 se
sigue que Hm−1 (C0) = Jf
. Si reemplazamos los cálculos obtenidos en el
Jf,g
isomorfismo (2.19) obtenemos
Gr(H m−1 (C1)) = Jf
Jf,g
Jf.
Supongamos que el lema se cumple para p = s. Entonces
Gr(H m−1 (Cs)) = Jf
s
(Jf)i
Jf,g
Sea p = s + 1. Sea la secuencia exacta corta
0
′ K
Cs+1
i=1
Cs
Si tomamos las secuencia exacta larga en cohomología tenemos
0
Por lo tanto
m−1 ′ H (K )
m−1 H (Cs+1)
0.
m−1 H (Cs)
Gr(H m−1 (Cs+1)) = H m−1 (Cs+1) H m−1 (K ′ )
El caso p = s y Lema 2.57 finaliza la prueba.
Observación. El módulo graduado del lema anterior anterior se obtiene
filtrando el complejo por columnas. Si filtramos el complejo Cp+1 por filas
obtenemos el siguiente módulo graduado
GrF (H m−1 (Cp+1)) = Jf
p+1
(Jf)i ,
donde (Jf)i = Jf. Develado el módulo H m−1 (Cp+1) presentamos uno de los
cálculos al cual se hizo alusión al inicio de la sección.
Jf,g
Corolario 2.59. H m−2 (Lm+p) = T or1(H m−1 (Cp+1), R
I )
92
i=1
0.

Prueba. Como H i (Cp+1) = 0 para todo i = m − 1 y
para todo s ≤ m − 1 entonces
y
(Lm+p)s = (Cp+1 ⊗R R/I)s
H s (Cp+1 ⊗ R/I) = T orm−1−s(H m−1 (Cp+1), R/I)
H m−2 (Lm+p) = T or1(H m−1 (Cp+1), R
I ).
Observación. Esto es lo más lejos que podemos llegar siguiendo la idea de
la Proposición 2.30 (ver Ejemplo 2.34).
A continuación veremos de que forma podemos calcular H m (Lm+p), y
H m−1 (Lm+p). De manera precisa presentamos una secuencia espectral tal
que E 2 = E ∞ y converge a la cohomología de Lm+p. Se calcula H m−2 (Lm+p)
como H m (Lm+p).
Observación. En estas líneas describiremos brevemente lo que más adelante
formalizaremos. El complejo L ′ m+p se puede escribir de la siguiente manera
L ′ m+p : .
df
Ω m−1
1,p+1
df
Ωm
0,p
dg
dg
. . .
df
Ω m−1
1,p
dg
dg
. . .
df
. ..
df
Ωm
0,0
dg
. . .
df
df
df
. .. Ω m−1
dg 1,1 Ω m−2
dg 2,1
df
dg
· · ·
df
Ω m−1
Ω m−2
· · ·
Notación. A continuación usaremos la siguiente notación
dg
Bl,i−l := Ω ∗ i,l.
93
1,0
dg
2,0
dg
(2.20)

Con esta notación el bicomplejo L ′ m+p se escribe
Bp+1,−p
dg
df
Bp,−p
dg
.. .
df
.. .
dg
· · ·
. ..
dg
df
B2,−1
df
Bm
1,−1
dg
dg
dg
· · ·
df
B m−2
2,0
df
B1,0
df
B0,0
De este complejo vamos a tomar el subcomplejo E ′ p
.
dg
df
Bp+1,−p
δ1
df
Bp,−p
δ1
. ..
df
. ..
df
. ..
dg
δ1
δ1
.
df
. .
.
df
· · ·
. ..
∂
df
B2,−1
df
Bm
1,−1
94
dg
δ1
δ1
δ1
δ1
.
df
. .
.
df
· · ·
df
B m−2
2,0
df
B1,0
df
B0,0
dg
dg
dg
. . .
. . .
· · · .

Demostraremos que este complejo es exacto salvo en el nivel m. Esta
construcción y la prueba de la afirmación se presentan a continuación.
Definición 2.60. Dado el complejo L ′ m+p definamos el subcomplejo (E ′ p, δ),
de la siguiente manera :
donde i + j + s = m + p.
(E ′ p) m−i :=
s+t=i;t≤0
Bs,t,
Observación. Notemos que (E ′ p, δ) esta formado por las primeras p + 1
columnas de la izquierda del complejo L ′ m+p (ver 2.20).
Lema 2.61. Si ht(Jf) = m entonces el complejo E ′ p es exacto salvo en el
nivel cero. Sea Mp := H m (E ′ p) entonces Gr(Mp) = ⊕ p
i=0 (R/Jf)i.
Prueba. La prueba será por inducción sobre p el número de columnas del
complejo E ′ p. Para el caso p = 0 tenemos que E ′ 0 = K(df) el cual tiene
cohomología cero para todo i = m. Más aún H m (E ′ 0) = H m (K(df)) = R/Jf.
De un proceso de inducción y la secuencia exacta corta
0
K(df)
E ′ p+1
E ′ p
se prueba que H i (Ep+1) = 0 para todo i = m. Si tomamos homología en la
secuencia anterior nos queda la secuencia exacta
0
R/Jf
Hm (Ep+1)
Hm (Ep)
Esto significa que Gr(Mp) = ⊕ p
i=0 (R/Jf)i. Notemos que la filtración por
columnas es la que que da origen al módulo graduado Gr(Mp).
Observación. El Lema anterior nos indica que el módulo H m (Ep) es isomor-
fo a ⊕ p
i=0 (R/Jf)i sólo como k−espacios vectoriales. Esto es debido a que no
se encontró un split de R−módulos en la secuencia anterior. En el siguiente
teorema vemos los complejos de cocadenas Ep y Lm−1 como complejos de
cadenas de la siguiente manera (Ep) ∗ = (Ep)m−∗ y (Lm−1) ∗ = (Lm−1)m−1−∗
95
0
0.

Teorema 2.62. Existe una secuencia espectral E r p,q que converge a H ∗ (Lm+p),
E 2 = E ∞ y el E 1 es
T or2(Mp, R)
I 0
T or1(Mp, R
I
T or0(Mp, R
I
donde d 1 es el producto exterior por dg.
d 1
Jg
)
T or1(
d 1
Jf,g
Jg
))
T or0(
Jf,g
, R
I )
, R
I ),
Prueba. La demostración se basa en escribir el complejo Lm+p como
. . .
(Ep)3
(Ep)2
(Ep)1
(Ep)0
dg
dg
dg
dg
dg
. . .
(Lm−1)3
(Lm−1)2
(Lm−1)1
(Lm−1)0
donde Ep = E ′ p ⊗ R/I. Como Ep = E ′ p ⊗ R/I entonces del Lema 2.61 se
prueba que
H ∗ (Ep) = T orm−∗(R/I, Mp).
Por lo tanto si calculamos el primer término de la secuencia espectral al
complejo anterior tenemos
96

y E 2 p,q = E ∞ p,q
T or2(Mp, R)
I 0
T or1(Mp, R
I
T or0(Mp, R
I
dg
Jg
)
T or1(
dg
Jf,g
Jg
))
T or0(
Jf,g
, R
I )
, R
I )
Corolario 2.63. El módulo de cohomología H m (Lm+p) es isomorfo a (
Prueba. Del Lema 2.61 se prueba que
Por otro lado como
tenemos
T or0(Mp, R
I )) = Mp ⊗R R/I.
T or0( R Jg
, ) = (
I Jf,g
Jg
) ⊗
Jf,g
R
I
E 2 0,0 =
T or0(Mp, R
I )
Jg
= Mp ⊗R R
I .
Jg
R
Mp⊗ I ). Jg
Aquí Jg representa la imagen de la aplicación ∧dg en la secuencia espectral
del Teorema 2.62.
Observación. Debido al Corolario 2.23 podemos asumir que el generador
g tiene una singularidad aislada en η. Por lo tanto podemos establecer la
existencia de otra secuencia espectral E ′ tal que E ′ −→ Lm+p y E ′∞ = E ′2 .
Para la prueba basta notar que I = 〈g, f〉. Un hecho que consideramos
más interesante es proporcionar un ejemplo donde los términos E 1 y E ′1
son diferentes. Es decir estamos proporcionando información nueva sobre la
cohomología de los complejos Lm+p.
Observación. Existe una secuencia espectral E ′ ∗,∗ que converge a la cohomología
del complejo Lm+p y colapsa en E ′2 . La secuencia se obtiene al
97

intercambiar el rol de f por el de g. A continuación presentaremos el término
E ′1
T or2(Np, R)
I 0
T or1(Np, R
I
T or0(Np, R
I
df
Jf
)
T or1(
df
Jf,g
Jf
))
T or0(
Jf,g
, R
I )
, R
I )
En el siguiente ejemplo demostramos que E 1 y E ′1 son diferentes.
Ejemplo 2.64. Sea (R, η) = (k[x, y, z](x,y,z), η), f = x 3 +y 2 +z 2 y g = xy+z 2 .
Un cálculo demuestra que Jf = 〈3x 2 − 2y 2 , 6x 2 z − 2yz, 4yz − 2xz〉 y que
I = 〈f, g〉 tiene una singularidad aislada en η. Más aún, f y g tiene una singularidad
aislada en η. Para demostrar que E 1 y E ′1 son diferentes es suficiente
mostrar que la cohomología de K(fx1, . . . , fxm)⊗R/I y K(g x1 , . . . , g xm )⊗R/I
son diferentes. En efecto como f y g tiene una singularidad aislada en η entonces
H ∗ (K(f x1 , . . . , f xm ) ⊗ R/I) = T orm−∗(R/Jf, R/I)
y
Sea
H ∗ (K(g x1 , . . . , g xm ) ⊗ R/I) = T orm−∗(R/Jg, R/I).
0
(f,g) (−g,f)
R
R ⊕ R
R
una resolución de R/I. Como los elementos f, g pertenecen a los ideales Jf,
y Jg respectivamente entonces se prueba que K(f, g) ⊗ R/Jf :
0
k[x](x)
〈x2 〉
y que K(f, g) ⊗ R/Jg :
Esto finaliza el ejemplo.
0
0
k[x](x)
〈x2 k[x](x)
⊕
〉 〈x2 〉
0
k
k ⊕ k
98
0
k
0
0
k[x](x)
〈x2 〉
0.
0,

A continuación veremos un ejemplo donde la secuencia espectral E n ∗∗ del
Teorema 2.62 colapsa en E 1
Corolario 2.65. Si Jg ⊂ Jf entonces la secuencia espectral del Teorema 2.62
cumple que E 1 = E ∞ .
Prueba. Una propiedad que usaremos en repetidas ocasiones en la prueba
del corolario es la que pasamos a demostrar :
Recordemos que en la Sección 2.1 asumimos que ninguno de los generadores
del ideal I es regular, es decir Jf = R. Si Jg ⊂ Jf entonces ht(Jf) = m.
En efecto, como f ∈ Jf, g ∈ Jg se tiene que ht(Jf) = ht( Jf) ≥
ht(〈f, g, Jf,g〉) = m. Esto a su vez significa que H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para
todo i = m (ver Corolario 2.6). Es decir si w ∈ Ω ∗ y df ∧ w = 0 entonces
existe w ′ ∈ Ω ∗−1 tal que w = df ∧ w ′ .
Por otro lado para demostrar el Corolario será suficiente probar que los
morfismos de conexión, dados por ∧dg, de la secuencia exacta larga en cohomología
de la secuencia exacta corta
0
Ep
Lm+p
Lm−1
son nulos. En efecto, si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología a
la secuencia anterior obtenemos la secuencia
H m−2 (Ep)
H m−1 (Ep)
H m (Ep)
m−2 H (Lm+p)
m−1 H (Lm+p)
Hm (Lm+p)
0
m−2 H (Lm−1) δ1
m−1 H (Lm−1) δ0
La condición Jg ⊂ Jf implica que δ0 = 0, y δ1 = 0. Verificaremos sólo que
δ1 = 0, pues el otro caso es similar.
En efecto sea [(w1, w0)] una clase en el módulo H m−2 (Lm−1) con (w1, w0) ∈
Ω m−2 ⊕ Ω m−2 . Entonces
0.
df ∧ w1 + dg ∧ w0 = f · η 1 1 + g · η 2 1 ∈ Ω m−1 .
Si multiplicamos por dg∧ a la igualdad anterior obtenemos
dg ∧ df ∧ w1 = f · dg ∧ η 1 1 + g · dg ∧ η 2 1. (2.21)
99

Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1 ∈ Ω m R R y Jg ⊂ Jf se tiene que existe η 1 2, η 2 2 en Ω m−1
tal que dg ∧ η 1 1 = −df ∧ η 1 2 y dg ∧ η 2 1 = −df ∧ η 2 2. Por lo tanto la ecuación
(2.21) se escribe de la siguiente forma
Si factorizamos df∧ tenemos
dg ∧ df ∧ w1 = −f · df ∧ η 1 2 − g · df ∧ η 2 2.
df ∧ (dg ∧ w1 − fη 1 2 − gη 2 2) = 0.
Como H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m, existe a1 ∈ Ω m−1 tal
que
dg ∧ w1 = f · η 1 2 + g · η 2 2 + df ∧ a1.
Si k = 0 la prueba terminó pues [dg ∧ w1] = 0 ∈ H m−1 (E0). De lo contrario
definamos a0 := w1 y continuamos la demostración por un proceso inductivo.
Admitamos como hipótesis inductiva que
−dg ∧ as−2 = ηs + df ∧ as−1
(2.22)
con ηs ∈ IΩ m−1 . Es decir ηs = η 1 s · f + η 2 s · g. Por el método de la escalera en
el diagrama
as∈Ω m−2
df
dg∧as−1∈Ωm−1
dg
dg
. . .
df
as−1∈Ωm−2
dg
df
. ..
df
df
Ωm dg∧as−2∈Ωm−1
. ..
dg
dg
Ω m . . .
dg
100
dg
dg
dg
. . .
df
· · ·
df
a1∈Ωm−2
df
df
. .. dg∧w1∈Ωm−1
dg
df
Ωm

tenemos que existe as tal que ηs+1 = dg ∧ as−1 + df ∧ as ∈ IΩ m−1 . En efecto
de hipótesis inductiva si tiene
−dg ∧ as−2 = ηs + df ∧ as−1
(2.23)
con ηs ∈ IΩ m−1 . Es decir ηs = η 1 s · f + η 2 s · g . Si aplicamos dg∧ a (2.23)
tenemos
dg ∧ (ηs + df ∧ as−1) = 0. (2.24)
Como ηs ∈ IΩ m−1 entonces ηs = f · η 1 s + g · η 2 s. Como Jg ⊂ Jf, se tiene que
dg ∧ ηs = df ∧ ηs+1, para algún ηs+1 ∈ IΩ m−1 . Por lo tanto la ecuación (2.24)
se escribe como
df ∧ (ηs+1 − dg ∧ as−1) = 0.
Como H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m, existe as tal que
ηs+1 = dg ∧ as−1 + df ∧ as ∈ IΩ m−1 .
Esto finaliza la inducción y demuestra que
dg ∧ al−2 + df ∧ al−1 = ηl ∈ IΩ m−1
R
para todo l = 1, . . . , p. Esto significa que
[(0, . . . , dg ∧ w1)] = [(df ∧ ap+1 + dg ∧ ap . . . , df ∧ a2 + dg ∧ a1, df ∧ a1)] = 0.
Observación. A continuación, bajo la hipótesis Jg ⊂ Jf, describiremos los
módulos de cohomología del complejo Ep.
Lema 2.66. Si Jg ⊂ Jf entonces
.
Gr(H ∗ (Ep)) =
p
(T orm−∗(R/I, R/Jf))i
i=0
Prueba. Demostraremos que los morfismos conección de la secuencia exacta
corta
(Ω ∗ , df)
Ep+1
Ep
101

son cero, para todo p ≥ 1. En efecto si tomamos cohomología a la secuencia
anterior obtenemos la secuencia exacta larga
H m−2 (Ω ∗ , df)
H m−1 (Ω ∗ , df)
H m (Ω ∗ , df)
m−2 H (Ep+1)
m−1 H (Ep+1)
Hm (Ep+1)
m−2 H (Ep)
m−1 H (Ep)
Hm (Ep).
δ1
δ0
De la hipótesis Jg ⊂ Jf obtenemos que δ0 = 0. Veamos que δ1 = 0. En efecto,
con el mismo argumento que el Corolario 2.65, sea x = [(ηp, ηp−1, · · · , η1)] un
elemento en H m−2 (Ep) entonces
df ∧ ηp + dg ∧ ηp−1 = f · a + g · b
donde los elementos a, b se encuentran en el módulo Ω m−1 . Si aplicamos dg∧
a la igualdad anterior podemos escribir
dg ∧ df ∧ ηp = f · dg ∧ a + g · dg ∧ b.
Como Jg ⊂ Jf se tiene que dg ∧ a = df ∧ a ′ y dg ∧ b = df ∧ b ′ para algún
a ′ y b ′ en el módulo Ω m−1 . Más aún como dg ∧ df = −df ∧ dg, la igualdad
anterior se puede escribir
−df ∧ dg ∧ ηp = f · df ∧ a ′ + g · df ∧ b ′ .
Además H i (Ω, df) = H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m, entonces
dg ∧ ηp = −(f · a ′ + g · b ′ + df ∧ ω),
para algún ω ∈ Ω m−1 . Como δ1(x) = [dg ∧ ηp] = [−(f · a ′ + g · b ′ + df ∧ ω)]
entonces δ1(x) = 0.
Ahora, la secuencia
0
∗
(Ω , df)
Ep+1
nos da el isomorfismo de espacios vectoriales
Ep
H ∗ (Ep+1) H ∗ (Ω, df) ⊕ H ∗ (Ep).
102
0

Como
pues
H ∗ (E0) = H ∗ (Ω, df) T orm−∗(R/I, R/Jf)
(Ω, df) = K(fx1, . . . , fxm) ⊗ R/I
tenemos que Gr(H ∗ (Ep+1)) = p
i=0 (T orm−∗(R/I, R/Jf))i.
Observación. Notemos que la condición Jg ⊂ Jf es natural. En efecto, si
tomamos un generador f ∈ I con una singularidad aislada entonces para
algún s ∈ N tenemos J s g ⊂ Jf. Además, todas las icis clasificadas en [Looj]
salvo Hµ, con µ ≥ 7, cumplen esta condición.
Ejemplo 2.67. En este ejemplo presentaremos las variedades de intersección
completa que cumplen y también las que no satisfacen la propiedad anterior.
Los ejemplos que aquí se presentan son de dimensión cero y dimensión uno
inmersas en el espacio C 3 , según se presentan en [Looj].
Símbolo Fórmula Número de Tjurina
F p,q
p+q+1; 2 p q (xy, x p + y p ) p + q
G5 (x 2 , y 3 ) = (x 2 + y 3 , y 3 ) 7
G7 (x 2 , y 4 ) = (x 2 + y 4 , y 4 ) 10
Hµ; 6 ≤ µ (x 2 + y µ−3 , xy 2 ) µ + 2
Iµ, 7 ≤ µ (x 2 + y 3 , y k ) si µ = 2k − 1 µ + 2
Iµ, 7 ≤ µ (x 2 + y 3 , xy k−1 ) si µ = 2k µ + 2
Símbolo. Fórmula.
Sµ, 5 µ (x 2 + y 2 + z µ+3 , yz)
Tµ; µ = 7, 8, 9 (x2 + y3 + z µ , yz)
U7
(x2 + yz, xy + z3 )
U8
(x2 + yz, xy + xz3 )
U9
(x2 + yz, xy + z4 )
W8
(x2 + yz, y2 + z3 )
W9
(x2 + yz, y2 + xz2 )
Z9
(x2 + y2 + z3 , xy)
Z10
(x2 + yz2 , y2 + z3 )
Tabla 2.1: Singularidades
103

2.3. Homología de Hochschild para I = 〈f1, · · · , fr〉
Generalizaremos los resultados de la sección anterior para r polinomios.
Demostramos que para j ≥ m los complejos Lj tiene sólo los últimos r +
1 términos de cohomología no nulos. Presentamos una secuencia espectral
que converge a la cohomología de los complejos Lj y colapsa en E r . Para
los complejos Lj con j < m demostramos que sus módulos de cohomología
H s (Lj) son cero para todo s < min{j, m−r}. Nuevamente el punto clave para
este análisis es el cálculo de la altura ht(JF ) = m − r + 1 y la generalización
del Teorema 2.47.
Recordemos la estructura de los complejos Lm+p. Sea
Lm+p : 0
Im+pΩ0 R
Im+p+1Ω0 R
dDR
I
m+s−1Ω1 R
Im+pΩ1 R
dDR
. . .
dDR
I
p+1Ω m−1
R
I p+2 Ω m−1
R
dDR I
pΩm R
Ip+1Ωm .
R
Sea a = (a1, . . . , ar) y y = (y1, . . . , yr), como I es intersección completa
entonces
I l
I
l+1 =
|a|=l
y a1
1 . . . y ar
Por lo tanto el complejo Lm+s se escribe como
0
|a|=m+p
ya ⊗k Ω 0
R
. . .
|a|=p+1
ya ⊗k Ω m−1
R
r · R/I =
y a · R/I,
|a|=l
δ
|a|=m+p−1
ya ⊗k Ω 1
R δ
. . .
δ
|a|=p
y a ⊗k Ω m
R ,
donde ΩR = ΩR ⊗R R/I. El morfismo borde δ se escribe como
δ(y a1
1 · · · y ar
r ⊗ ω) =
r
y a1
i=1
1 · · · y ai−1
1
· · · y ar
r ⊗ dfi ∧ ω,
por definición y ai
i = 0 si ai < 0. También obviamos poner y a ⊗ ω y sólo
colocamos y a ω. Para
|α|=j−s
y a ⊗k Ω p
R sólo ponemos
Definición 2.68. Bajo la notación anterior definamos
104
|α|=j−s
y a Ω p
R

L ′ m+p : 0
|a|=m+p
yaΩ0 R
δ
y
|a|=m+p−1
aΩ1 R
donde el morfismo borde se define como
r
y a1
δ(y a ω) = δ(y a1
1 · · · y ar
r ω) =
i=1
1 · · · y ai−1
1
δ
. . . δ
· · · y ar
r dfi ∧ ω
y
|a|=p
aΩm R ,
Nota. De esta última definición es claro que Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I.
Observación. De manera similar podemos definir el complejo L ′ j para j < m
de la siguiente manera :
L ′ j : 0
. . . δ
|a|=j
|a|=1
yaΩ0 R
δ
y a Ω j−1
R
El complejo Lj cumple Lj = L ′ j ⊗R R/I.
δ
y
|a|=j−1
aΩ1 R
|a|=0
2.3.1. Homología de Hochschild
y a Ω j
R .
δ
. . .
Esta sección es dirigida a presentar una secuencia espectral E∗,∗ que converge
a la cohomología de los complejos Lj y colapsa en el término r. Cuando
j ≥ m mostramos que los complejos Lj sólo tienen r+1 términos en
cohomología no nulos. Si m − r < j < m entonces los complejos Lj tienen
j−m+r+1 términos de cohomología no nulos. En los demás casos H i (Lj) = 0
para todo i = m.
Teorema 2.69. Sea (R, η) un anillo local, I = 〈f1, . . . , fr〉 una variedad de
intersección completa, f1, . . . , fr una secuencia regular. Entonces para todo
primo P tal que JF P el complejo L ′ j localizado en P, (L ′ j)P , es quasi
isomorfo a Lj(dx1, · · · , dxr, N), donde N = r
i=1 RP dxi.
Prueba. Sea P JF entonces el determinante de algún menor r × r de la
matriz Jac(F ), al cual denotaremos por M(xi1, . . . , xir), no esta contenido
en P. Nuevamente por un reordenamiento de indices podemos suponer que
105

se trata de M(x1, . . . , xr) el determinante del menor de las primeras r filas
de la matriz jacobiana. Por lo tanto, si definimos la aplicación
T : Ω 1 RP −→ Ω1 RP
por T (ei) = dfi para i = 1, . . . , r y T (ei) = ei para i ≥ r + 1 tenemos que
T es un isomorfismo. En efecto, basta notar que T −1 = adj(T ) · |T | −1 esta
bien definida. Entonces df1, . . . , dfr es parte de una base de Ω1 RP y (L′ j)P =
Lj(df1, . . . , dfr, Ω1 ).
RP
Corolario 2.70. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis
entonces para todo primo P tal que JF P el complejo L ′ j localizado en P,
(L ′ j)P , para todo 1 ≤ j < m tiene cohomología cero para todo i = j y es
exacto para todo j ≥ m.
Prueba. Del teorema anterior se sigue que L ′ j es quasi isomorfo a Lj(x1, . . . , xr).
El Corolario 2.45 finaliza la prueba del corolario.
Observación. A continuación presentaremos los ingredientes para poder demostrar
una generalización del Teorema 2.62. Si usamos la notación
el complejo L ′ m+p
Ω m−1
1,p+1
dfr
Ωm
0,p
∂
∂
. ..
dfr
. ..
∂
Bl,i−l = Ω ∗ i,l
· · ·
. ..
dfr
Ω m−1
∂ 1,2
dfr
Ωm
0,1
106
∂
∂
∂
· · ·
dfr
Ω m−2
2,2
dfr
Ω m−1
1,1
dfr
Ωm
0,0
∂
∂
∂
. . .
. . .
· · · .

se escribe como un bicomplejo (Bs,t, δ1 + dfr)
Bp+1,−p
δ1
dfr
Bp,−p
δ1
. ..
dfr
. ..
δ1
· · ·
. ..
∂
dfr
B2,−1
dfr
Bm
1,−1
δ1
δ1
δ1
· · ·
dfr
B m−2
2,0
dfr
B1,0
dfr
B0,0
δ1
δ1
δ1
. . .
. . .
· · · .
Lema 2.71. El complejo (Bs,t, δ1 + dfr) está bien definido.
Prueba. Sea x ∈ y a1
1 . . . yar r ω ∈ Bs,t = Ωs+t,s =
|α|=s+t+p;ar=s. yαΩm−s−t ,
entonces
r−1
δ(x) = y a1
v=1
1 · · · y av−1
v
. . . y ar
r dfv ∧ ω + y a1
1 . . . y ar−1
r−1 y ar−1
r
dfr ∧ ω,
a1 + · · · + (av − 1) + · · · + ar = s + (t − 1) + p y dfv ∧ ω ∈ Ω m−s−(t−1)+p y
ar = s. Esto significa, por definición, que
El término
r−1
δ1(x) := y a1
v=1
se encuentra en el módulo
1 · · · y av−1
v
|α|=(s−1)+t+p;ar=s−1
y a1
1 . . . y ar−1
. . . y ar
r dfv ∧ ω ∈ Ω m−s−(t−1)
s+(t−1),s = Bs,t−1.
r−1 y ar−1
r
dfr ∧ ω
f α Ω m−(s−1)−t = Ω m−(s−1)−t
s−1+t,s−1 = Bs−1,t.
107

Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L ′ m+p son iguales.
Prueba. Se sigue de la definición de (Bs,t, δ1, dfr).
Observación. Del complejo doble (Bs,t, δ1, dfr) tomamos el sub-complejo
doble E ′ s,t = Bs,t para t ≤ 0.
.
δ1
dfr
Bp+1,−p
δ1
dfr
Bp,−p
δ1
. ..
dfr
.. .
dfr
.. .
..
.
δ1
δ1
δ1
∂
.
dfr
. .
.
dfr
· · ·
dfr
B2,−1
dfr
Bm
1,−1
δ1
δ1
δ1
δ1
δ1
.
dfr
. .
.
dfr
· · ·
dfr
B m−2
2,0
dfr
B1,0
dfr
B0,0
Observación. De la definición del bicomplejos (E ′ s,t, δ1, dfr) tenemos que las
columnas son dadas por los complejos
0
E ′ dfr
m+p,−p · · ·
dfr
E ′ p+1,−p
dfr
E ′ p,−p,
donde el morfismo borde dfr : E ′ i,−p −→ E ′ i−1,−p es definido de la siguiente
manera
dfr :
|a|=i−p+p;ar=i
y a Ω m−i+p −→
|a|=i−1−p+p;ar=i−1
dfr(y a1
1 . . . y ar
r ω) = y a1
1 . . . y ar−1
r
108
dfr ∧ ω.
y a Ω m−i+1+p

De aquí se desprende que las columnas del bicomplejo (E ′ s,t, δ1, dfr) son dadas
por los complejos
|a ′ |=i+p−p
y a1
1 · · · y ar−1K(dfr),
donde a = (a1, · · · , ar−1).
A continuación trabajamos con el graduado a la filtración por columnas
del complejo anterior.
Lema 2.73. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f1, · · · , fr〉 una icis. Si fr
tiene una singularidad aislada entonces Hi (E ′ s,t, δ1, dfr) = 0 para todo i = m
y
⎧
⎫
Gr(H m (T ot(E ′ s,t))) =
r
p ⎨
s=0
⎩
|α ′ |=s
⎬
y a1
1 · · · y ar−1
r−1 (R/Jfr)
⎭ ,
donde el graduado se toma con respecto a la filtración por columnas del complejo
doble anterior.
Prueba. De la Observación anterior las columnas del complejo doble (E ′ s,t, δ1, dfr)
son sumas directas del complejo de Koszul K(dfr). Del Corolario 2.6 se sigue
que
H i (K(dfr)) = 0
para todo i = m. Por lo tanto las columnas de (E ′ s,t, δ1, dfr) son exactas salvo
en el último nivel. Un argumento rutinario de filtraciones por columnas nos
indican que
Gr(H m (E ′ p+∗,−p, δ1, dfr−1)) =
⎧
p ⎨
y
⎩
a1
1 · · · y ar−1
r H m ⎫
⎬
(K(dfr))
⎭ ,
s=0
notemos que H m (K(dfrr)) = R/Jfr.
|a ′ |=s
Observación. Del bicomplejo (Bs,t, δ1, dfr) :
109

Bp+1,−p
δ1
dfr
Bp,−p
δ1
. ..
dfr
.. .
..
.
δ1
∂
· · ·
dfr
B2,−1
dfr
Bm
1,−1
vamos a tomar el subcomplejo (D ′ s,t, δ1, dfr) :
Bp+1,−p
δ1
dfr
Bp,−p
δ1
. ..
dfr
. ..
..
.
δ1
∂
δ1
δ1
δ1
δ1
· · ·
dfr
B m−2
2,0
δ1
dfr
B1,0
δ1
dfr
B0,0
δ1
· · ·
· · ·
. . .
dfr
B2,−1
dfr
Bm
1,−1
δ1
δ1
110
dfr
B m−2
2,0
δ1
δ1
dfr
B1,0
δ1
dfr
. .
.
dfr
. .
.
. . .
. . .
· · ·
δ1
δ1
δ1
. . .
dfr
B2,r−1
dfr
B1,r−1
dfr
dfr
dfr
B0,0
· · ·
B0,r−1
δ1 δ1
δ1

Si denotamos al complejo
( L′ m+p
D ′ , δ)
como (M ′ m+p, δ) entonces el complejo L ′ m+p se escribe como :
· · ·
δ1
. . .
dfr
B1,1
δ1
. . .
E ′
m−2 B2,1
. . .
dfr
E ′
m−1 δ1
dfr
E ′
m δ1
δ1
dfr
. .
.
δ1
δ1
. . .
B2,r−1
dfr
B1,r−1
dfr dfr
dfr
B0,1
B0,r−1
δ1 δ1
δ1
δ1
. . .
(M ′ m+p)m−r−1
δ1
(M ′ m+p)m−r
. . . (M ′ m+p)m−r+1
Tal como se presentó en el caso de dos polinomios debemos de probar que
cada columna en el bicomplejo anterior es exacta salvo en el último nivel.
En este caso al tomar cohomología a las columnas de L ′ m+p ⊗ R/I podemos
calcular el primer término en la secuencia espectral E que proporciona el
bicomplejo L ′ m+p ⊗ R/I.
Lema 2.74. Si fr tiene una singularidad aislada en η entonces Hi (B∗,t, dfr) =
0 con 1 ≤ t ≤ r − 1 para todo i = m − t, y
H m−t (B∗,t, dfr) =
y a1
1 · · · y ar−1
r−1 y t rdfr ∧ Ω t
|α ′ |=m+p−t
Prueba. El complejo (B∗,t, dfr) se define de la siguiente manera
0
El morfismo borde
Bm−t,t
se define de la siguiente manera
dfr :
|a|=p+t+s;ar=s
dfr dfr
Bm−t−1,t
· · ·
dfr : Bs,t −→ Bs−1,t
y a1
1 · · · y ar
r Ω m−s−t −→
111
δ1
B1,t
|a|=p+t+s−1;ar=s−1
δ1
y a1
dfr
B0,t.
1 · · · y ar−1
r
Ω m−s−t+1

y a1
1 · · · yar r ω → y a1
1 · · · y ar−1
r−1 yar−1 r
dfr ∧ ω. De aquí se desprende que
(B∗,t, dfr) =
|a|=p+t
y a1
1 · · · y ar−1
r−1 K(dfr) ≤m−t
Como fr tiene una singularidad aislada entonces H i (K(dfr)) = 0 para
todo i = m. De la definición del complejo de Koszul se sigue que
H m−t Ω
(K(dfr)) =
m−t
dfr ∧ Ωm−t−1 Por lo tanto será suficiente demostrar que
dfr ∧ Ω t−1 dfr ∧ Ω t .
En efecto, definamos el morfismo
dfr :
Ω t
Ω t
dfr ∧ Ω t−1 −→ dfr ∧ Ω t .
como ω → dfr∧ω. Es claro que la aplicación es sobre. Veamos la inyectividad.
Si df ∧ ω = 0, como fr tiene una singularidad aislada, entonces ω = df ∧ ω1
Ω (ver Corolario 2.6). Por lo tanto ω = 0 en el módulo
t
dfr∧Ω t−1 .
Lema 2.75. El complejo (M ′ , δ) tiene cohomología cero en todo nivel excepto
en grado m − r + 1.
Prueba. Es claro que M ′ es un complejos de módulos libres de longitud
m − r + 1. Si empleamos el criterio de exactitud debemos demostrar que :
) = 0
para todo primo P tal que ht(P ) < m − r + 1 se tiene que Hi (M ′ P
para todo i = m − r + 1. En efecto sea P un primo con tales características.
Como ht(JF ) = m − r + 1 entonces P no contiene al ideal jacobiano JF . Por
lo tanto el complejo (L ′ m+p)P es exacto.
Por otro lado como el complejo M ′ se escribe como
. . .
B2,r
. . .
· · ·
∂
dfr dfr
B1,r
. . .
B1,m−1
∂ ∂
dfr dfr
dfr
B0,r
. . .
B0,m−1
B0,m
∂ ∂
112
(2.25)

Como sabemos las columnas de este complejos son sumas directas de complejos
Koszul K(dfr) truncados
En el anillo RP se cumple que
(L ′ m+p)P = L ′ m+p(x1, . . . , xr).
Es decir la aplicación ω → dfr ∧ ω y el complejo K((fr)x1, . . . , (fr)xm) se
transforma en ω → dxr ∧ω, y K(dxr). Se prueba que este último complejo es
exacto. Como los complejos E ′ , y (B∗,t, dfr) para t ∈ {0, 1, . . . , m} son sumas
directas del complejo de Koszul K(dxr), y de complejos que se obtienen de
truncar el complejo de Koszul entonces E ′ es exacto y U ′ t es exacto excepto
posiblemente en el último nivel.
Si tomamos cohomología a las columnas del complejo L ′ m+p obtenemos el
siguiente complejo C :
· · ·
Hm (E ′ ) Hm−1
(B∗,1, dfr)
Hm−r (B∗,r, dfr)
H m−r−1 (B∗,r+1, dfr)
. . .
H1 (U ′
1)
Ω0
El complejo C es quasi isomorfo al complejo L ′ m+p. Por lo tanto C es exacto.
Esto significa que el complejo M ′′ definido como
Hm−r (B∗,r, dfr) Hm−r−1
(B∗,r+1, dfr) Hm−r−2
(B∗,r+2, dfr)
. . . H2
(B∗,m−2, dfr) H1
(B∗,m−1, dfr)
B0,m
tiene cohomología cero para todo grado diferente de m−r. Como el complejo
M ′′ se obtiene al tomar cohomología a las columnas del complejo M ′ P (ver
Complejo 2.25) entonces M ′ P y M ′′ son quasi isomorfos. Por lo tanto M ′ P es
exacto salvo en el último nivel.
Observación. Notemos Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I. Como el complejo Lm+p se
puede escribir como un bicomplejo (ver Página 114), tenemos una secuencia
espectral E r ∗,∗ que converge a la cohomología del complejo Lm+p.
113

Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis. Si fr
tiene una singularidad aislada en η entonces existe una secuencia espectral
E ∗ p,q tal que E ∞ = E r , y converge a la cohomología del complejo Lm+p.
Prueba. La prueba se basa en escribir el complejo
de la siguiente manera
· · ·
δ1
. . .
dfr
δ1
Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I
. . .
Em−2
B2,1
. . .
dfr
Em−1
δ1
dfr
Em
δ1
B1,1
δ1
dfr
. .
.
δ1
δ1
. . .
B2,r−1
dfr
B1,r−1
. . .
(Mm+p)m−r−1
δ1
dfr dfr
dfr
δ1
B0,1
B0,r−1
(Mm+p)m−r+1
δ1
δ1
δ1
. . .
δ1
δ1
(Mm+p)m−r
donde E∗ = E ′ ∗ ⊗R R/I, B∗,∗ = B∗,∗ ⊗R/I y M∗ = M ′ ∗ ⊗R R/I. Las columnas
de L ′ m+p son exactas excepto en el último nivel. Entonces podemos tomar
cohomología a las columnas del bicomplejo L ′ m+p ⊗ R/I y tener
· · ·
T or2(H m (E ′ ), R/I) T or2(H m−1
(B∗,1, dfr), R/I)
. . .
∂
∂
dfr
T or1(H m (E ′ ), R/I)
∂
dfr
dfr
dfr
T or0(H m (E ′ ), R/I) T or0(H m−1
(B∗,1, dfr), R/I)
. . .
∂
∂
. . .
dfr
T or1(H m−1 (Hm−1 (B∗,1, dfr)), R/I)
114
∂
. . .
dfr
. .
.

· · ·
. . .
· · · T or2(H m−r+2
((B∗,r−2, dfr), R/I)
∂
· · ·
dfr
T or1(H m−r+2
∂
(B∗,r−2, dfr), R/I)
dfr
· · · T or0(H m−r+2
((B∗,r−2, dfr)), R/I)
∂
∂
∂
. . .
T or2(H m−r+1 (M ′ m+p), R/I)
∂
T or1(H m−r+1 (M ′ m+p), R/I)
T or0(H m−r+1 (M ′ m+p), R/I)
el primer término de la secuencia espectral. De la definición de secuencia
espectral se sigue que E ∞ = E r .
A continuación damos otra demostración del Corolario 2.40, donde se
refleja la relación que existe entre que un anillo sea regular R/I y que su
ideal jacobiano de I sea unidad.
Proposición 2.77. Sean (R, η) un a.r.l.e.t.f e I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis
entonces
H i ((Lj)) = 0
para todo i < m − r e i > m si j > m − r; y si j ≤ m − r e i = j.
Prueba. Sea P un ideal primo en al anillo R/I diferente del maximal. Entonces
P JF , por lo tanto el complejo (Lj)P es exacto para todo j > m − r
y tiene cohomología cero para todo grado i = j si j < m−r+1. Del Corolario
1.69 se sigue la prueba de la Proposición.
2.3.2. El Algoritmo
Como sabemos los módulos de cohomología de los complejos Lj de una
icis I = 〈f1, . . . , fr〉 generado por una secuencia regular de r elementos son
espacios vectoriales de dimensión finita. A continuación presentamos un algoritmo
para calcular la dimensión de los módulos de cohomología de los
complejos Lj, para todo r ≥ 2, y j > m − r + 1. Dejamos en libertad al
lector para que pueda implementar este algoritmo en algún programa de
matemáticas, como por ejemplo el programa Singular.
115
∂
∂

En el caso que el ideal I = 〈f, g〉 este generado por una secuencia regular
de longitud dos sabemos que
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jf
Jf,g
, R/I).
Con este resultado podemos calcular la dimensión de los módulos de cohomología
del complejo Lm−1; pues estos pueden ser calculados por ejemplo
por el programa Singular. También tenemos la secuencia exacta corta de
complejos
0
K(fx1, . . . , . . . fxm) ⊗ R/I
Lm+s
Lm+s−1
De la ecuación anterior podemos suponer por inducción que hemos calculado
la dimensión de los módulos de cohomología del complejo Lm+s. Notemos
que H m (Lm+s) es un espacio vectorial de dimensión finita; más aún es el coker
de una aplicación entre R−módulos libres donde el morfismo entre estos
se conoce. Para el término en nivel m − 2 sabemos que
H m−2 (Lm+s) = T or(H m−2 ((L ′ m+s) ≤m−1 , R/I)),
y su dimension es finita. Del teorema de clasificación podemos suponer que
K := K(fx1, . . . , fxm) es una resolución de R/Jf. Nuevamente de esta información
tenemos que
H ∗ (K ⊗ R/I) = T orm−∗(R/Jf, R/I).
La dimensión de todos los módulos anteriormente mencionados pueden ser
calculados por el programa Singular; debido a los resultados precisados líneas
atrás. Del análisis anterior es claro que la dimensión que nos falta calcular es
la del modulo H m−1 (Lm+s).
Proposición 2.78. Sea I = 〈f, g〉 una icis, entonces
dim(H m−1 (Lm+s)) = −dim(H m−2 (K ⊗ R/I))
+dim(T or(H m−2 ((L ′ m+s) ≤m−1 , R/I))) − dim(H m−2 (Lm+s−1))
+dim(H m−1 (K ⊗ R/I)) + dim(H m−1 (Lm+s−1))
−dim(H m (K ⊗ R/I)) + dim(H m (Lm+s)) − dim(H m (Lm+s−1)).
116
0.

Prueba. De la secuencia exacta corta
0
K(fx1, . . . , . . . fxm) ⊗ R/I
obtenemos la secuencia exacta larga
H m−2 (K ⊗ R/I)
H m−1 (K ⊗ R/I)
H m (K ⊗ R/I)
m−2 H (Lm+s)
m−1 H (Lm+s)
m H (Lm+s)
Lm+s
Lm+s−1
m−2 H (Lm+s−1)
m−1 H (Lm+s−1)
m H (Lm+s−1).
Sabemos que la suma y resta alternada de las dimensiones en la secuencia
anterior es cero, es decir tenemos
dim(H m−2 (K⊗R/I))−dim(T or(H m−2 ((L ′ m+s) ≤m−1 , R/I)))+dim(H m−2 (Lm+s−1))
−dim(H m−1 (K ⊗ R/I)) + dim(H m−1 (Lm+s)) − dim(H m−1 (Lm+s−1))
+dim(H m (K ⊗ R/I)) − dim(H m (Lm+s)) + dim(H m (Lm+s−1)) = 0.
De aquí es simple hallar la dimensión de H m−1 ((L ′ m+s)).
Más aún recordemos que los complejos Lj para j < m − r + 1 son exactos
(ver Corolario 2.40), en el caso que j = m − r + 1 tenemos el siguiente
resultado.
Lema 2.79. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces
H ∗ (Lm−r+1) = T orm−r−1−∗(H m−r+1 (L ′ m−r+1), R/I)
Prueba. Notemos que la longitud del complejo L ′ m−r+1 es m − r + 1, y
ht(JF ) = m − r + 1. Sea P un primo de altura menor que m − r + 1 entonces
P no contiene a JF , el ideal jacobiano de F . De la Corolario 2.70 se sigue
que
H i ((Lm−r+1)P ) = 0
117
0

para todo i = m − r + 1. Del criterio de exactitud tenemos que el complejo
L ′ m−r+1 es una resolución de H m−r+1 (L ′ m−r+1). De aquí se sigue directamente
que
H ∗ (Lm−r+1) = T orm−r+1−∗(H m−r+1 (L ′ m−r+1), R/I).
Observación. El resultado anterior es una generalización del cálculo obtenido
por [Mich]. Supongamos que en I = 〈f, g〉 el generador f tenga una singularidad
aislada. Cuando r = 2 obtenemos
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗(H m−1 (L ′ m−1), R/I) = T orm−1−∗( Jf
Jf,g
, R/I).
Lema 2.80. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis y s > m−r +1 un entero entonces
H m−r (Ls) = T or1((L ′ s) ≤m−r+1 , R/I).
Prueba. El complejo (L ′ s) ≤m−r+1 tiene longitud m − r + 1. Sea P un ideal
primo de altura menor que m − r + 1. Como ht(JF ) = m − r + 1 entonces
P JF . Del Corolario 2.70 esto significa que H i ((L ′ s)P ) = 0 para todo
i = s ≤ m, si s > m entonces Ls es exacto. Como
H t (((L ′ s) ≤m−r+1 )P ) = H t ((L ′ s)P ) = 0
para todo t < m − r + 1 entonces el complejo H i (((L ′ s) ≤m−r+1 )P ) = 0
para todo i = m − r + 1. Por lo tanto (L ′ s) ≤m−r+1 es una resolución de
H m−r+1 ((L ′ s) ≤m−r+1 ). Como Ls = L ′ s ⊗ R/I, entonces
H m−r (Ls) = T or1((L ′ s) ≤m−r+1 , R/I).
Observación. A continuación presentamos un algoritmo para calcular la
dimensión de los módulos de cohomología de una icis cuando el ideal I =
〈f1, . . . , fr〉 este generado por una secuencia regular de longitud r. De manera
precisa tenemos el siguiente teorema.
Teorema 2.81. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis, j > m−r+1 y t < j. entonces
dim(H t (Lj(f1, . . . , fr))) = ±(dim(H m−r (Lj(f1, . . . , fr−1)))−
118

dim(H m−r (Lj(f1, . . . , fr))) + dim(H m−r (Lj−1(f1, . . . , fr)))−
· · · + · · ·
dim(H t−1 (Lj(f1, . . . , fr−1))) − dim(H t−1 (Lj(f1, . . . , fr)))
dim(H t−1 (Lj−1(f1, . . . , fr))) − dim(ker(i ∗ )),
donde i ∗ : H t ((Lj(f1, . . . , fr−1))) ≤t+1 ) → H(Lj((f1, . . . , fr)) ≤t+1 ), las dimensiones
del lado derecho se conocen, y el signo ± depende con el signo que se
comience la suma y resta alternada.
Prueba. Del Lema anterior conocemos la dimensión de los módulos de cohomología
de los complejos Lj cuando I = 〈f, g〉 es generado por una secuencia
regular de longitud dos. Por lo tanto por inducción podemos suponer que
hemos calculado la dimensión de los módulos de cohomología de los complejos
Lj cuando I = 〈f1, . . . , fr〉 es generado por una secuencia regular de
longitud r. Sea I = 〈f1, . . . , fr, fr+1〉 una icis generada por una secuencia
regular de longitud r + 1. Sin perdida de generalidad podemos suponer que
I ′ = 〈f1, . . . , fr〉 genera una icis (ver Proposición 2.24). Del Lema 2.80 tenemos
ya calculado el módulo
para toda icis. Como
H m−r (Lj) = T or1(H m−r+1 (L ′ j) ≤m−r+1 , R/I),
H ∗ (Lm−(r+1)+1) = T orm−(r+1)+1−∗(H(L ′ m−(r+1)+1), R/I)
podemos admitir que hemos calculado la dimensión de los módulos de Lj−1
para la icis I = 〈f1, . . . , fr, fr+1〉, para j ≥ m − (r + 1) − 1.
De la Proposición 2.43 tenemos la secuencia exacta de complejo
0
Lj(f1, . . . , fr)
Lj(f1, . . . , fr+1)
Lj−1(f1, . . . , fr+1)
Si cortamos la secuencia anterior en nivel m − r + 2 tenemos la secuencia
exacta corta de complejos
0
(Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2
(Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2
(Lj−1(x1, . . . , fr+1) ≤m−r+2
0.
119
0.

En general los módulos de cohomología en nivel m−r+2 de los complejos
en la secuencia anterior son espacios vectoriales de dimensión infinita. Si
tomamos cohomología obtenemos la secuencia exacta
H m−r ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )
H m−r ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )
H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )
H m−r+2 ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )
H m−r+2 ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )
i ∗
m−r H ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )
m−r+1 H ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )
m−r+1 H ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )
m−r+2 H ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )
Los módulos de cohomología de nivel menor que m − r + 1 son espacio vectoriales
de dimension finita, pues son los módulos de cohomología de los
complejos Lj y Lj−1 de una icis generado por una secuencia regular de longitud
r y r + 1. Por lo tanto ker(i ∗ ) es un espacio vectorial de dimensión finita.
El cual es sólo el cociente de la aplicación inclución i; y puede ser calculado
por el programa Singular. Por lo tanto tenemos la siguiente secuencia exacta
H m−r ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )
H m−r ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )
H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )
ker(i ∗ )
0.
m−r H ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )
m−r+1 H ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )
m−r+1 H ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )
En la secuencia anterior la única dimensión que nos falta calcular es
dim(H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )) = dim(H m−r+1 (Lj(f1, . . . , fr+1))).
120
0.

En la secuencia anterior sabemos que la suma y resta alternada de las dimensiones
de los módulos nos debe dar cero. De aquí es sencillo calcular
dim(H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr+1))) = −dim(H m−r ((Lj(f1, . . . , fr)))
H m−r (Lj(f1, . . . , fr+1)) − H m−r ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )
dim(H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )) + dim(H m−r+1 (Lj−1(f1, . . . , fr+1))
−dim(ker(i ∗ )).
Un proceso de inducción finaliza la prueba.
121

Capítulo 3
Homología Cíclica.
Los complejos Lj tienen cohomología cero para todo término menor que
m − r. Debido a este hecho y al Lema 3.3 podemos calcular los módulos
de cohomología de los complejos Dj para grados menores que m − r − 1.
Los demás términos se encuentran en una secuencia exacta corta, y pueden
ser calculados de manera recurrente. En el caso que S = 0 expresamos los
módulos de cohomología de los complejos Dj en función de los módulos de
cohomología de los complejos Lj. El complejo que proporciona la homología
cíclica negativa Ω ≥m se descompone en casi un producto tensorial de comple-
jos. En el caso r = 2 esto permite tomar un subcomplejo Ω ≥m
f . El complejo
cociente Ω ≥m /Ω ≥m
f
es isomorfo a Ω ≥m
f . Mostramos una secuencia espectral
que se genera a partir de este subcomplejo. Este estudio permite presentar
una secuencia espectral que converge a la cohomología de Ω ≥m .
3.1. Homología Cíclica
En esta Sección calculamos los módulos de cohomología de los complejos
Dj para todo j. Vamos a demostrar el siguiente teorema :
Teorema 3.1. Sea A1 = R/〈I〉, y At = R/It . Para j ∈ N se tiene que
H i ⎧
H
⎪⎨
(Dj) =
⎪⎩
i DR (A1)
H
si i < min{m − r − 2, j}.
m−r
DR (Aj−m+r+1)
Ω
si i = m − r − 1, j > m − r − 1.
j
A
si i = j
(3.1)
dΩ j−1
A
122

Si j ≥ m − r para m − r + 1 ≤ t ≤ m − 1 existe una secuencia exacta
0
H t (Lj)
t−1
HDR (Aj−t+1)
Ht (Dj)
π ∗
t−1 H (Dj−1)
Ht DR (Aj−t)
Prueba. En lo que sigue de la sección demostraremos los distintos casos del
teorema.
Los resultados se basan en el Corolario 2.40 y Lema 4 de [BACH] que
pasamos a enunciar.
Notación. En este Capítulo usaremos la siguiente notación
Ω i Ar =
Ω i A
I r Ω r A + dIr Ω r A
Lema 3.2. La imagen del morfismo π : H j−r (Dj) −→ H j−r (Dj−1) inducido
por la proyección canónica π ∗ : Dj −→ Dj−1 para todo 1 ≤ r ≤ j es dado por
π ∗ (H j−r (Dj)) = H j−r
DR (Ar)
Prueba. Lema 4 de [BACH].
Observación. A continuación describimos los módulos de cohomología de
los complejos Dj para grados menores que m−r. El primer paso es demostrar
la siguiente proposición :
Proposición 3.3. Si j < m − r entonces
para todo t ≤ j − 2.
H t (Dj) = H t (Dt+1)
Prueba. Sea j < m − r y t ≤ j − 2 < j. En la secuencia
0
Lj
Dj
123
.
π
Dj−1
0.
0

el complejo Lj tiene cohomología cero para todo i = j (Corolario 2.40).
Tomemos la secuencia exacta larga asociada
H t (Lj)
H t+1 (Lj)
· · ·
H j−1 (Lj)
H j (Lj)
Ht (Dj)
t+1 H (Dj)
· · ·
j−1 H (Dj)
j H (Dj)
π
Ht (Dj−1)
π
t+1 H (Dj−1)
· · ·
π
j−1 H (Dj−1)
0.
(3.2)
Como H i (Lj) = 0 para todo i = j y t ≤ j−2, se sigue que H i (Dj) = H i (Dj−1)
para todo i ≤ j − 2.
Un proceso inductivo concluye la prueba.
Proposición 3.4. Sea A1 = R/I y j < m − r entonces
para todo t ≤ j − 1.
H t (Dj) π ∗ (H t (Dj)) = H t DR(A1)
Prueba. Sea t = j − 1. En la secuencia 3.2, H j−1 (Lj) = 0 implica que
es inyectivo. Por el Lema 3.2
π : H j−1 (Dj) −→ H j−1 (Dj−1)
H j−1
DR (A1) = π ∗ (H j−1 (Dj)) H j−1 (Dj). (3.3)
En el caso general, por la Proposición 3.3
La fórmula 3.3 con j = t + 1 nos da
H t (Dj) H t (Dt+1).
H t (Dt+1) = π ∗ (H t (Dt+1)) = HDR(A1).
124

Es decir H t (Dj) H t DR (A1).
Proposición 3.5. Sea j ≥ m − r entonces para todo t ≤ m − r − 2
H t (Dj) = H t (Dt+1).
Prueba. Sea j ≥ m − r y la secuencia
0
Lj
Dj
La secuencia exacta larga asociada es
H t (Lj)
· · ·
H m−r−1 (Lj)
· · ·
H j−1 (Lj)
H j (Lj)
Ht (Dj)
· · ·
m−r−1 H (Dj)
· · ·
j−1 H (Dj)
j H (Dj)
Dj−1
0.
Ht (Dj−1)
· · ·
m−r−1 H (Dj−1)
· · ·
j−1 H (Dj−1)
Como H i (Lj) = 0 para todo i ≤ m − r − 1 por el Corolario 2.40 entonces
H s (Dj) H s (Dj−1) para todo s ≤ m − r − 2. De la hipótesis t ≤ m − r − 2,
entonces
H t (Dj) = H t (Dj−1).
Si t+2 = j la prueba terminó. Notemos que este caso j = m−r, t = m−r−2.
Un proceso inductivo concluye la prueba.
Proposición 3.6. Sea j ≥ m − r entonces
0.
H t (Dj) = π ∗ (H t (Dt+1)) = H t DR(A1)
125

para todo t ≤ m − r − 2. Si t = m − r − 1 entonces
H m−r−1 (Dj) = π ∗ (H m−r−1 (Dj)) = H m−r−1
DR
(Aj−m+r+1)
Prueba. Sea j ≥ m − r, del Corolario 2.40 se sigue que H t (Lj) = 0 para
todo t ≤ m − r − 1. Por lo tanto de la secuencia 3.2 tenemos que
π ∗ : H t−1 (Dj) −→ H t−1 (Dj−1)
es un isomorfismo.
Un proceso de inducción finaliza la prueba. Si t = m − r − 1, π ∗ es
inyectivo. Del Lema 3.2 se sigue
H m−r−1 (Dj) = π ∗ (H m−r−1 (Dj)) = H m−r−1
DR
(Aj−m+r+1)
Observación. Presentamos una secuencia exacta que relaciona los módulos
de cohomología de los complejos Dj para grados mayores o iguales que m−r.
y menores que m − 1.
Proposición 3.7. Sea j ≥ m − r para m − r + 1 ≤ t ≤ m − 1 existe una
secuencia exacta
0
H t (Lj)
t−1
HDR (Aj−t+1)
Ht (Dj)
Prueba. Para la secuencia exacta corta
0
Lj
tenemos la secuencia exacta larga
Dj
126
π ∗
t−1 H (Dj−1)
Ht DR (Aj−t)
π
Dj−1
0
0

· · · · · · · · ·
H t−1 (Lj)
H t (Lj)
H t+1 (Lj)
Del Lema 3.2 se sigue que
y
t−1 H (Dj)
Ht (Dj)
t+1 H (Dj)
π∗
t−1 H (Dj−1)
π ∗
Ht (Dj−1)
π∗
t+1 H (Dj−1)
· · · · · · · · ·
π ∗ (H t−1 (Dj)) = H t−1
DR (Aj−t+1)
π ∗ (H t (Dj)) = H t DR(Aj−t).
Por lo tanto tenemos la secuencia exacta larga
0
H t (Lj)
t−1
HDR (Aj−t+1)
Ht (Dj)
Lema 3.8. Si j < m entonces H j (Dj) = Ωj
A
dΩ j−1
A
π ∗
t−1 H (Dj−1)
Ht DR (Aj−t)
Prueba. De la definición del complejo Dj tenemos
H j (Dj) =
Ω j
R
I·Ω j
R +dI∧Ωj−1 R
dΩj−1 d(IΩj−1 )+IΩj ∩dΩj−1 127
0
donde A = R/I.
= Ωj
A
dΩ j−1
A
.

3.2. El Caso Quasihomogéneo
En esta parte trabajamos sobre el anillo de polinomios k[x1, . . . , xm]. El
ideal I = 〈f1, · · · , fr〉 es generado por polinomios quasihomogéneos. Por lo
tanto el álgebra R/I es graduada.
Si el ideal I = 〈f1, · · · , fr〉 es generado por polinomios quasihomogéneos
entonces la única singularidad aislada aislada que pueden tener es el cero. Si
existiese otro punto x = (x1, . . . , xm) que fuese singular para los generadores
entonces los puntos λ·x también pertenecen al conjunto de puntos singulares
de f1, · · · , fr. En efecto es suficiente notar que fi(λ · x) = λd · fi(x), donde d
es el grado de quasihomogeneidad.
Sean A = R/I, y ˜ HC(A) = HC(A)/HC(k), en el caso quasihomogéneo
sabemos que
HC(A) = HC(k) ⊕ ˜
HC(A)
Más aún, en la secuencia SBI el morfismo S = 0 es nulo. Debido a esto
tenemos la secuencia exacta corta de k−espacios vectoriales
0
De esta secuencia se sigue que
HCn(A) ˜
Bn
HHn+1(A) ˜
In+1
HCn+1(A) ˜
HCn(A) ˜ = ker(Bn+1In+1 : ˜ HHn+1(A) → ˜ HHn+2(A)).
La homología de Hochschild localiza, es decir
HHn(A) ⊗ AT = HHn(AT )
para todo n, donde T es un conjunto multiplicativamente cerrado conteniendo
al uno (ver [Lod, Proposición 1.1.7]). Sea ζ un maximal en el anillo de
polinomios k[x1, . . . , xm] diferente de η el punto singular entonces Aζ es regular
y la homología de Hochschild es conocida para términos mayores que
dim(Aζ) es cero. Si ζ = η entonces La homología de Hochschild es no nula
para todo n > 0. Por lo tanto es suficiente analizar la secuencia anterior en
el anillo local
Aη = k[x1, . . . , xm]η/Iη.
Los resultados se resumen en el siguiente teorema
128
0.

Teorema 3.9. Sea j ∈ N entonces
⎧
0 si t ≤ min{j − 1, m − r − 1}
Ω j
A
H i ⎪⎨
(Dj) =
dΩ
⎪⎩
j−1
si i = j y j < m − r
A
Hm−r (Dm−r) = Ωm−r
A
dΩ m−r−1 si j = m − r
A
Hm−r (Dj) = Hm−r (Lj) si j > m − r.
Si m − r < t < m entonces existe una secuencia exacta
0
t−1 H (Dj−1)
Ht (Lj)
Ht (Dj)
0.
(3.4)
con t ≤ j. Si j ≥ m entonces H m (Dj) = 0, y H m−1 (Dj) = H m (Lj) para todo
j ≥ m − 1.
Observación. A continuación veremos para que términos la homología de los
complejos Dj se anula. La herramienta básica será usar el hecho que π ∗ = 0.
Proposición 3.10. Sea j ∈ N entonces
para todo t ≤ min{j − 1, m − r − 1}.
H t (Dj) = 0
Prueba. Del Corolario 1.108 se tiene que π ∗ = 0. La afirmación para j < m−
r se sigue directamente de la Proposición 3.4. La afirmación para j ≥ m − r
se obtiene de la Proposición 3.6.
Proposición 3.11. Se cumple H m−r (Dj) = H m−r (Lj) para todo j > m − r.
Si j = m − r entonces
Prueba. Para la secuencia
0
H m−r (Dm−r) = Ωm−r
A
dΩ m−r−1
A
Lj
Dj
129
π
Dj−1
0.

tomamos la secuencia exacta larga
· · · · · · · · ·
H m−r−1 (Lj)
H m−r (Lj)
m−r−1 H (Dj)
Hm−r (Dj)
π∗
m−r−1 H (Dj−1)
π ∗
Hm−r (Dj−1)
· · · · · · · · ·
H j−1 (Lj)
H j (Lj)
j−1 H (Dj)
j H (Dj)
π ∗
j−1 H (Dj−1)
Si j > m − r entonces j − 1 ≥ m − r. De la Proposición 3.10 se sigue que
H m−r−1 (Dj−1) = 0. Sabemos que π ∗ = 0, entonces
Si j = m − r entonces
π ∗
H m−r (Lj) = H m−r (Dj).
H m−r (Dm−r) = Ωm−r
A
dΩ m−r−1
A
Proposición 3.12. Si m − r < t < m entonces existe una secuencia exacta
0
t−1 H (Dj−1)
Ht (Lj)
0
Ht (Dj)
con t ≤ j. Si j ≥ m entonces H m (Dj) = 0, y H m−1 (Dj) = H m (Lj) para todo
j ≥ m − 1.
Prueba. Sea la secuencia exacta corta
0
Lj
Dj
130
π
Dj−1
0.
0. (3.5)

En la secuencia exacta larga asociada
· · ·
H t (Lj)
t−1 H (Dj)
Ht (Dj)
π∗
t−1 H (Dj−1)
π ∗
Ht (Dj−1)
· · ·
tenemos que π∗ = 0 (Corolario 1.108). De aquí se desprende la secuencia
exacta
0
t−1 H (Dj−1)
H t (Lj)
Ht (Dj)
De la secuencia exacta larga asociada a la secuencia (3.5) para los últimos
niveles obtenemos
H m−1 (Lj)
H m (Lj)
m−1 H (Dj)
Hm (Dj)
0.
π∗
m−1 H (Dj−1)
π ∗
Hm (Dj−1)
Como π ∗ = 0 entonces H m (Dj−1) = 0 para todo j ≥ m − 1. Esto significa
que H m (Dj) = 0 para j ≥ m − 2. Por lo tanto
3.3. Ejemplos.
H m−1 (Dj−1) H m (Lj).
Esta sección esta orientada a presentar la cohomología de los complejos Dj
para el caso de curvas complejas inmersas en dimensión 3. Como se observa
en el Ejemplo 2.67 todas ellas son quasihomogéneas. Por lo tanto podemos
aplicar los cálculos de la sección anterior.
Ejemplo 3.13. Este ejemplo recopila los cálculos del capítulo anterior para
el caso r = 2.
131
0

Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0 para todo t ≤ j − 1 (Proposición 3.10).
Un cálculo directo muestra que H j (Dj) = Ω j
A /dΩj−1
A .
Si j ≥ m − 2 entonces Ht (Dj) = 0 para todo t ≤ m − 2 − 1 (ver
/dΩm−3
A ,
.
Proposición 3.10). Un cálculo muestra que H m−2 (Dm−2) = Ω m−2
A
y que H m−1 (Dm−1) = Ω m−1
A
/dΩm−2
A
De la Proposición 3.11 tenemos que H m−2 (Dj) = H m−2 (Lj) para todo
j > m − 2, y Hm−2 (Dm−2) = Ω m−2
A
/dΩm−3
A .
Notemos que hemos calculado todos los módulos de cohomología de los
complejos Dj para t ≤ m − 2, y todo j.
Sea j > m − 1. Si m − 2 < t < m entonces t = m − 1. De la Proposición
3.12 se sigue que
H m−1 (Dj) = H m (Lj+1).
De la Proposición 3.12 con t = m − 1 obtenemos
H m−1 (Lj)
0
m−1 H (Dj)
m−2 H (Dj−1)
Sabemos que H m−2 (Dj) = H m−2 (Lj) para todo j > m − 2 ( ver Proposición
3.11). Por lo tanto tenemos las siguiente secuencia exacta corta
0
m−2 H (Lj−1)
Como espacio vectorial tenemos
m−1 H (Lj)
0.
H m−1 (Dj) Hm−1 (Lj)
H m−2 (Lj−1) .
Si usamos la Proposición 3.12 tenemos que
Como sabemos (Proposición 3.12)
para todo j. Por lo tanto si j < m
H m−1 (Dj) H m (Lj).
H m (Dj) = 0,
132
m−1 H (Dj)
0.

H i (Dj) =
0 si i < j
Ω j
A /dΩj−1
A
Si j ≥ m − 1 podemos escribir
⎧
0 si i < m − 2,
si i = j.
⎪⎨ Hm−2 (Lj) si i = m − 2,
Ω m−1
/dΩm−2 si i = m − 1 y j = m − 1,
A A
Hm−1 (Lj)
H ⎪⎩
m−2 (Lj) Hm (Lj) si i = m − 1 y j > m − 1,
0 si i ≥ m y j > m − 1.
(3.6)
(3.7)
Ejemplo 3.14. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f, g〉 una icis quasihomogénia
donde Jf = η. Del Corolario 2.65 se desprende que para j > m − 1
H i ⎧
0 si i < m − 2
⎪⎨
T or1(η/Jf,g, R/I)
(Lj) =
⎪⎩
{ j−m+1 t=1 k · xt} si i = m − 2,
T or0(η/Jf,g, R/I) { j−m+1 t=1 k ⊕ k) · xt} si i = m − 1,
j−m+1 t=1 k · xt si i = m.
(3.8)
Observación. A continuación proporcionamos información sobre los módulos
T or0(η/Jf,g, R/I) y T or1(η/Jf,g, R/I). Específicamente demostramos que
si
µ := dim( R
)
I + JF
es por definición el número de Milnor entonces
dim(T or0(η/Jf,g, R/I)) = dim(T or1(η/Jf,g, R/I)) = µ.
La primera igualdad se sigue de la ecuación
H m−1 (Lj)
H m−2 (Lj) Hm (Lj),
y de (3.8).
Para demostrar esta caracterización presentamos el siguiente análisis.
133

Observación. Del Capítulo anterior tenemos que los elementos f + α · g que
cumplen la condición ht(Jα) < m son un número finito. Entonces definamos,
como en el Capítulo 2,
W := {α/ht(Jα) < m} .
Lema 3.15. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. I = 〈f, g〉 un ideal de intersección
completa con una singularidad aislada en η. Sea h = f + α0 · g generador de
I con una singularidad aislada en η. Entonces existe h ′ generador del ideal I
el cual cumplen las siguientes condiciones :
1) El generador h ′ tienen una singularidad aislada en η, e I = 〈h, h ′ 〉.
2) La aplicación
h ′ : Jh
Jh,h ′
definida como a ↦→ a · h ′ es inyectiva.
−→ Jh
Jh,h ′
Prueba. Sea M = Jh
Jh,g , donde h = f + α0 · g tiene una singularidad aislada
en η. Definamos hλ := f + λ · g ∈ R con λ ∈ k − {W ∪ α0} , y asumamos que
para todo λ ∈ k − W se cumple que la aplicación
hλ : Jh
Jh,g
−→ Jh
Jh,g
definida como a ↦→ a · hλ no es inyectiva. Entonces para cada λ ∈ k − W
existe xλ ∈ M tal que hλ ∈ Ann(xλ).
De la Proposición A.26 podemos decir que cada Ann(xλ) esta contenido
en al menos un ideal primo p ∈ Ass(M). De la Proposición A.27 se sigue que
Ass(M) son un conjunto finito. Los elementos f +λ·g con λ ∈ k −{W ∪ α0}
son infinitos. Por lo tanto podemos afirmar que existe un primo p ∈ Ass(M)
y elementos α = β tal que f + α · g, f + β · g ∈ p = ann(x) y x ∈ M es no
nulo (ver Definición [Mats]). Como α = β se prueba que f · x = g · x = 0. Es
decir
x · hλ = 0 (3.9)
para todo λ ∈ k.
Por otro lado hemos probado que :
Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f y I = 〈f, g〉 una variedad con una singularidad
aislada en η entonces el complejo Lm−1 cumple H i (Lm−1) = 0 para todo
i ≤ m − 3 (ver Corolario 2.51)
134

Más aún, como el complejo L ′ m−1 tiene cohomología cero para todo grado
i = m − 1 (ver Proposición 2.49) y Lm−1 = L ′ m−1 ⊗ R/I ,
H i (Lm−1) = H k (L ′ m−1 ⊗ R/I) = T orm−1−i(H m−1 (L ′ m−1), R/I). (3.10)
Como por hipótesis la secuencia f, g es regular y 〈h, g〉 = 〈f, g〉 se prueba que
h y g también forman una secuencia regular. Esto significa que el complejo
K(x, y) : 0
(h,g)
R
R R (−g,h)
R
es una resolución de R/I, ver Apéndice.
Por otro lado, como h tiene una singularidad aislada en η entonces
H m−1 (L ′ m−1) Jh
(ver Lema 2.35). Más aún la cohomología del complejo Lm−1 es isomorfa a la
homología del complejo K(h, g) ⊗R Jh (ver Ecuación (3.10)). Por lo tanto,
Jh,g
del Corolario 2.51, el complejo
K(x, y) ⊗ M : 0
Jh
Jh,g
Jh,g
0
(h,g) Jh Jh
(−g,h) Jh
Jh,g Jh,g Jh,g
tiene sólo dos términos de homología no nulos. De la Ecuación (3.9) se sigue
no nulo tal que x · h = x · g = 0. Es decir x ∈
que existe x ∈ M = Jh
Jh,g
Hm−3 (Lm−1) = 0, una contradicción.
Por lo tanto existe hλ = f + λ · g donde λ ∈ k − {W ∪ α0} tal que la
aplicación
hλ : Jh
−→
Jh,g
Jh
.
Jh,g
es inyectiva.
Para finalizar la demostración es suficiente notar que Jh,g = Jf,g = Jh,hλ .
Esto significa que
hλ : Jh
Jh,hλ → Jh
Jh,hλ
es una aplicación inyectiva y tanto h como hλ tienen una singularidad aislada
en η.
Lema 3.16. El complejo L ′ m−1⊗K(f) tiene cohomología cero para todo grado
i = m , donde f satisface las propiedades del Lema 3.15.
135
0

Prueba. El Lema 3.15 nos permite asumir sin perdida de generalidad que
la aplicación
f : Jg
Jf,g
−→ Jg
Jf,g
definida como x ↦→ xf es inyectiva, y f así como g tiene una singularidad
aislada en η.
Por otro lado, como L ′ m−1 es un complejo exacto excepto en el último
nivel tenemos que
H ∗ (L ′ m−1 ⊗ K(f)) = T orm−1−∗(H m−1 (L ′ m−1), R/ 〈f〉).
Cuando g tiene una singularidad aislada en η se probó que
(ver Lema 2.35). Es claro que
H m−1 (L ′ m−1) Jg
K(f) : 0
f
R
Jf,g
R
es una resolución de R/ 〈f〉 . Entonces el complejo K(f) ⊗ Jg
0
Jg
Jf,g
f
Jg
.
Jf,g
De Lema anterior tenemos que H m−2 (L ′ m−1 ⊗ K(f)) = H1(K(f) ⊗ Jf
Corolario 3.17. Existen generadores f, g del ideal I tal que
H m−2 (Lm−1) = T or1( Jg
Jf,g
⊗ R/ 〈f〉 , R/ 〈g〉).
Jf,g
es dado por
Jf,g
) = 0.
Prueba. Como L ′ m−1 es un complejo exacto excepto en el último nivel entonces
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jg
, R/ 〈f, g〉).
Jf,g
136

Por lo tanto, para calcular la cohomología del complejo Lm−1 podemos usar
la resolución K(f, g) de R/ 〈f, g〉 . Como
K(f, g) ⊗ Jg
Jf,g
K(g) ⊗ K(f) ⊗ Jg
Jf,g
y como K(g) es una resolución libre de R/〈g〉 y C := K(f) ⊗ Jg
resolución de H0(C) = Jf
Jf,g
⊗ R/〈f〉, entonces
K(f, g) ⊗ Jg
Jf,g
Jf,g
es una
calcula tor(R/〈g〉, H0)
Observación. La conclución anterior también se puede obtener asumiendo
que el ideal 〈Jf,g, f〉 cumplen ht(〈Jf,g, f〉) = m = dim(R). Tal como sucede
en el siguiente ejemplo :
Ejemplo 3.18. Sea (R, η) = (k[x, y](x,y), η) el anillo local y g = x 2 + y 3 ,
f = x 2 − y 3 una variedad de intersección completa con una singularidad
aislada en η. Entonces es claro que ht(〈Jf,g, f〉) = dim(R) = 2.
Observación. Notemos que la condición establecida en la observación anterior
no siempre se cumple. Veamos el siguiente ejemplo :
Ejemplo 3.19. Sea (R, η) = (k[x, y](x,y), η), f = x 2 y g = y 3 . Entonces
Jf,g = (xy 2 ) y ht(〈f, Jf,g〉) = ht(〈g, Jf,g〉) = 1 < 2
Observación. El Lema 3.15 se interpreta de la siguiente manera : siempre
se puede elegir un representante f el cual cumpla que ht(〈Jf,g, f〉) = m.
3.3.1. El Número de Milnor.
A continuación estudiamos la dimensión de H m−1 (Lm−1), cuando I =
〈f, g〉 es una icis y Jf = η. También ponemos de manifiesto la relación de la
dimensión de este espacio con el número de Milnor, según se define en [Looj].
Trabajaremos sólo bajo las hipótesis que aquí se presentan.
Definición 3.20. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis. Sea
As =
R
〈JFs, f1, . . . , fs−1〉 .
137

Definamos el número de Milnor de la singularidad R/I en η como
µ =
r
(−1) r−s As,
s=1
siempre que los sumandos As sean de dimensión finita.
Observación. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis; sin perdida de generalidad podemos
suponer que para todo s el ideal Is = 〈f1, . . . , fs〉 es una icis y que Is−1
es una icis (ver Proposición 2.24). Es decir los elementos fi son los hallados
en la Proposición 2.24. Denotemos al jacobiano de Fs = (f1, . . . , fs) como
JFs.
Lema 3.21. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis como en la observación anterior.
Entonces el anillo R/〈JFs, Is−1〉 tiene dimensión finita para todo 1 ≤ s ≤ r.
Prueba. Será suficiente demostrar que el anillo
R/〈JFr, Ir−1〉
es de dimensión finita. Esta afirmación es equivalente a demostrar que
ht(〈JFr, Ir−1〉) = m.
Esta última demostración es idéntica a la prueba de la Proposición 2.24.
Observación. El lema anterior nos dice que los representantes hallados en la
observación anterior sirven para calcular el número de Milnor según se define
en 5.11.c de [Looj].
Lema 3.22. Sea (R, η) un anillo regular local, I = 〈f, g〉 donde Jf = η.
Entonces existe una secuencia exacta
0
k
ϕ
η
Jf,g + g · η
el morfismo ϕ se define como ϕ(1) = g
138
R
Jf,g + 〈g〉
k
0,

Prueba. Se sigue de la definición de ϕ.
Observación. En el caso que Jf = η se tiene que R/Jf = k. Del lema
anterior se sigue que
µ = R/〈Jf,g, g〉 − R/η = T or0(H m−1 (L ′ m−1, R/〈g〉)) − k.
Lema 3.23. Bajo las hipótesis del lema anterior la secuencia
es exacta.
0
ϕ⊗1
k
η
Jf,g + I · η
ψ
R
Jf,g + I
Prueba. Notemos que la secuencia anterior surge al efectuar el producto
tensorial de la secuencia
0
k
ϕ
η
Jf,g + g · η
R
Jf,g + 〈g〉
con R/〈f〉. Será suficiente demostrar que la aplicación
ϕ ⊗ 1 : k ⊗ R/〈f〉 −→
es inyectiva. Sea I = 〈f, g〉, entonces
η
⊗ R/〈f〉
Jf,g + g · η
k
k
η
⊗ R/〈f〉
Jf,g + g · η
η
Jf,g + I · η .
Al tensorizar la secuencia anterior por R/〈f〉 tenemos
0
N
ϕ⊗1
k
η
Jf,g + I · η
ψ
R
Jf,g + I
donde N es el núcleo de ϕ⊗1. Notemos que en el módulo
k
0.
0,
0,
η
los elementos
Jf,g+I·η
f y g son no nulos a la vez (a lo más uno puede ser nulo). Pues si f = g = 0
139

entonces en el anillo R/Jf,g tendríamos que I = I · η, es decir I = 0. Para
demostrar esto basta usar la inclución
η/Jf,g ↩→ R/Jf,g.
Notemos que f, g ∈ ker(ψ), y al menos uno de ellos es no nulo. Como
dim(k) = 1 concluimos que
ker(ψ) = k.
Por lo tanto ϕ ⊗ 1 es inyectiva.
Corolario 3.24. Sean (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f, g〉 una icis donde
Jf = η, sea
η
χ := dimk
Jf,g + I · η .
Entonces
dimk(T or0(H m−1 (L ′ ), R/I)) = dimk(T or0(R/Jf,g, R/I)) = χ
Prueba. Sabemos que
entonces
H m−1 (L ′ m−1) = Jf
T or0(H m−1 (L ′ m−1), R/I) = Jf
Del lema anterior tenemos la secuencia
0
ϕ⊗1
k
η
Jf,g + I · η
ψ
Jf,g
Jf,g
,
⊗ R/I
R
Jf,g + I
Jf
.
Jf,g + I · Jf
Sabemos que la suma alternada de las dimensiones en la secuencia anterior
nos debe dar cero. De aquí se sigue que
dim(T or0(R/Jf,g, R/I)) = χ.
Observación. La única condición que imponemos sobre al menos un representante
f es que Jf = η. Notemos que en el caso que Jf = 〈1〉 entonces
obtenemos R/〈Jg〉.
140
k
0.

A continuación presentamos algunos ejemplos que cumplen esta condición
y aparecen en la tabla de la Sección 2.2.
Símbolo. Fórmula.
Sµ, 5 µ (x 2 + y 2 + z µ+3 , yz)
Tµ; µ = 7, 8, 9 (x2 + y3 + z µ , yz)
U7
(x2 + yz, xy + z3 )
U8
(x2 + yz, xy + xz3 )
U9
(x2 + yz, xy + z4 )
W8
(x2 + yz, y2 + z3 )
W9
(x2 + yz, y2 + xz2 )
Z10
(x2 + yz2 , y2 + z3 )
3.4. La Homología Cíclica Negativa.
Según lo establecido en la Proposición 1.80 el complejo cíclico negativo
se descompone como
CN =
Ω ≥p
y por lo tanto
HNk =
donde Ω ≥m y Ω se definen como
y
. . . B
d
Ωm+2,1
.
B
p∈Z
p∈Z
Hk−2p(Ω ≥p ),
.
d
Ωm+1,1
.
d
Ωm,1
d
d
d
B
B
Ωm+1,0
B
Ωm,0.
. . . Ωm+2,0
141
B

.
. . . B
d
Ω2,1
B
.
d
Ω1,1
.
d
Ω0,1
d
d
d
B
B
Ω1,0
B
Ω0,0.
. . . Ω2,0
respectivamente (ver Proposición 1.80).
Observación. Dado el complejo Ω ≥p0 definamos los complejos
para todo j ≥ p0. El complejo Dp0 es
.
(Lp0)p0−1
(Lp0)p0
β
β
B
ˆDj := Ker(Dj −→ Dp0)
. ..
d
.. .
d
β
β
β
.
d
(L1)0
d
β
β
d
.
(L0)−1
d
..
. (L1)1
(L0)0.
y el complejo Dj para j ≥ p0 se define como
142
β

.
(Lj)j−1
d
(Lj)j
β
. ..
d
.
. ..
d
d
d
β
β
β
..
. (Lp0)p0−1
..
.
(Lp0)p0
β
d
.. .
β
B
d
d
.
.
(L0)−1
d
d
. ..
B
(L0)0.
De aquí se observa que ker(Dj → Dp0) consiste del complejo
.
(Lj)j+1
d
(Lj)j
Por lo tanto Ω ≥p0+1 = lím↽
β
. ..
d
d
β
β
. ..
(Lp0+1)p0
ˆDj.
β
.
d
(Lp0+1)p0+1.
Por otro lado, como la proyección ˆ Dj → ˆ Dj−1 es sobre, donde ˆ Dj =
Ker(Dj → Dp0) para j ≥ p0 entonces se satisface la condición de Mitaff-
Leffler. Debido a que dimk(H( ˆ Dj)) < ∞, el sistema inverso (H( ˆ Dj), µ) donde
µ : H( ˆ Dj → H( ˆ Dj−1) cumple la condición de Mittag-Leffler. Por lo tanto se
tiene que lím 1 H∗( ˆ Dj) = 0. Del Teorema 3.5.8 de [Wei] se tiene una secuencia
0
1
lím Hs+1( ˆ Dj)
Hs(lím
↽
143
ˆDj)
lím Hs(
↽ ˆ Dj)
0.

Como lím 1 H( ˆ Dj) = 0 entonces
H(lím ↽
ˆDj) lím ↽ H∗( ˆ Dj)
Proposición 3.25. Para todo p0 > 0 se tiene que
H s (Ω ≥p0 ) lím↽ H s ( ˆ Dj).
Prueba. Se sigue del desarrollo anterior.
Corolario 3.26. Los complejos Ω ≥p0 con p0 ≥ m sólo tienen tres términos
de cohomología no nulos.
Prueba. Los complejos Lj para j ≥ m sólo tienen los últimos tres términos
de cohomología no nulos. Entonces ˆ Dj tienen a lo más los tres últimos
términos de cohomogía no nulos. Por lo tanto
H s (Ω ≥p0 ) lím↽ H s (Dj) = 0
para todo s < m − 2. Es decir el complejo Ω ≥p0 con p ≥ m sólo tienen
posiblemente los últimos tres términos de cohomología no nulos.
Interesados en emplear los resultados que se plantean en [ML] descomponemos
el complejo Ω≥m en dos complejos; el complejo Ω ≥m
f y Ω ≥m
f y. Ambos
complejos son isomorfos y dependen de f, df, y dg. Esto nos proporciona una
secuencia exacta
0
Ω ≥m
f
Del subcomplejo Ω ≥m
f
mología de Ω≥m
f
M(f,g)
≥m Ω (f, g)
Ω ≥m
f [−1]
0.
tomamos cierto subcomplejo M(f, g). La coho-
se calcula en el Lema 3.35. Finalmente descomponemos
M(f, g) en dos copias de un complejo Γ, obteniendo una secuencia exacta
0
Γ
M(f, g)
Γ[−1]
Aquí las columnas de Γ son los complejos E ′ m+p (Definición 2.60 ) y son
exacto salvo en el último nivel. Su cohomología se calcula en el Lema 3.34
144
0

Observación. Otra forma de abordar el estudio de la cohomología del complejo
M(f, g) es la siguiente : Tomamos un subcomplejo F de M(f, g) (ver
presentamos una filtración
Definición 3.42). En el complejo cociente M(f,g)
F
Ip ⊂ · · · ⊂ I1 =
M(f, g)
,
F
y que calculamos en el Lema 3.48. Para el complejo F presentamos una
filtración
F1 ⊂ F2 ⊂ . . . ⊂ F.
Esta filtración proporciona una secuencia espectral que colapsa en E 1 . No se
sabe si E 1 ⇒ H ∗ (F ).
Observación. A continuación presentamos el complejo Ω ≥m , primero para
el caso de un polinomio, y luego para el caso de dos polinomios.
Cuando el ideal I es generado por un sólo polinomio de la definición
Ωp,q = ξp,q =
p
i=0
Ω i ⊗ (∧(V ) ⊗ (∧ p−i V ))p+q−i, (3.11)
(ver Observación después de la Definición 1.100) tenemos que el complejo
Ω ≥m se expresa como
.
. . . Ωm−1 · x · x2 ⊕ Ωm−2x3
Ωm−2 · x · x2 ⊕ Ωm−3x3
. . . Ωm · x · x ⊕ Ωm−1x2
.
Ωm−1 · x · x ⊕ Ωm−2x2 δ
Ωm · x Ωm · x ⊕ Ωm−1
x
y una columna en general se representa como
145
δ
Ωm ,

. . . Ωm−1 · x · xp+2 ⊕ Ωm−2xp+3
. . . Ωm−1 · x · xp+1 ⊕ Ωm−2xp+2
β
.
δ
Ωm · x · xp ⊕ Ωm−1xp+1
δ
. . .
. . .
. . .
Ωm p · x . . . ,
(3.12)
donde β y δ se presentan en la Definición 1.100 del primer Capítulo. Las
variables x y x tienen grado uno y dos respectivamente. En nuestro caso,
cuando el ideal es generado por dos polinomios, el complejo Ω ≥m quedaría
de la siguiente forma :
. . .
Ω m (∧(V ))(∧(V ) ⊕ Ω m−1 (∧ 2 V )
δ
.
Ω m−1 ∧ 1 (V ) ∧ 2 (V ) ⊕ Ω m−2 (∧ 2 (V ))(∧(V )) ⊕ Ω m−3 ∧ 3 (V )
Ω m ∧ 2 V ⊕ Ω m−1 (∧V )(∧(V )) ⊕ Ω m−2 (∧ 2 V )
Ωm (∧V ) Ωm (∧(V )) ⊕ Ωm−1 (∧V )
β
m Ω .
(3.13)
En general, de la ecuación 3.11 tenemos que las columnas del complejos
Ω≥m son el complejo total del producto tensorial de los complejos (L ′ m+p, δ)
y K(f, g) (ver Lema 1.104). La p−ésima columna se puede presentar como
el complejo total del bicomplejo
146
δ

.
.
⊕p+2 l=0 Ωm−2
2,l [⊕p+2 l=0 Ωm−1
2,l ]y [⊕p+2 l=0 Ωm−1
2,l ]x [⊕p+2 l=0 Ωm−2
2,l ]xy
⊕p+1 l=0 Ωm−1
1,l [⊕p+1 l=0 Ωm−1
1,l ]y [⊕p+1 l=0 Ωm−1
1,l ]x [⊕p+1 l=0 Ωm−1
1,l ]xy
δ
δ
⊕p l=0Ωm0,l [⊕p l=0Ωm0,l ]y [⊕p l=0Ωm0,l ]x
δ
[⊕p l=0Ωm0,l ]xy
De manera similar al segundo Capítulo (ver Definición 1.103) definimos
L ′ m+p : 0
m+p
Ω
l=0
0 m,l
m+p−1
δ
Ω
l=0
1 m−1,l
δ
. . .
.
δ Ω
l=0
m 0,l .
donde δ se presenta en la Definición 1.100. Notemos que estos últimos complejos
varían salvo signo la definición del morfismo borde de los complejos
L ′ j que se presentarón en el primer capítulo. Sin embargo estos son evidentemente
quasiisomorfos. Para no introducir otra notación simplemente también
los llamamos (L ′ j, δ). En [CGG, Teorema 3.3] se prueba que las columnas del
complejo Ω ≥m son quasisomorfas a Lm+p = (L ′ m+p, df + dg) ⊗R R/I. El complejo
Ω m se puede escribir como :
. . .
. . .
. . .
. . . (L ′
m+p+1 ⊗ K(f, g))m−1
(L ′ m+p+1 ⊗ K(f, g))m
(L
β
(L ′ m+p ⊗ K(f, g))m−2
′ m+p ⊗ K(f, g))m−1
147
δ
(L ′ m+p ⊗ K(f, g))m
p
β
β
β
β
· · ·
· · ·
· · ·
· · · .
(3.14)

El complejo L ′ m+p se escribe como
L ′ m+p : .
df
Ω m−1
1,p+1
df
Ωm
0,p
dg
dg
. . .
df
Ω m−1
1,p
dg
dg
. . .
df
. ..
dg
. . .
df
df
df
. .. Ω m−1
dg 1,1 Ω m−2
dg 2,1
dg
· · ·
df
df
df
Ωm 0,0 Ω m−1
dg 1,0 Ω m−2
dg 2,0 dg
· · · ,
donde el morfismo horizontal se define de la siguiente manera
y el vertical como
df ∧ (ωx i y j ) = (−1) |ω|+1 ω ∧ dfx i y j−1
dg ∧ (ωx i y j ) = (−1) |ω|+1 ω ∧ dgx i−1 y j .
Usando el hecho que δ ◦ δ = 0 se prueba que df ∧ dg + dg ∧ df = 0.
3.4.1. El Complejo Ω ≥m
f .
En esta primera parte definiremos un subcomplejo Ω ≥m
f
mostraremos que esta bien definido.
Definición 3.27. Definamos el complejo Ω ≥m
f
148
como
(3.15)
de Ω ≥m y de

. . . . . .
. . . [(L ′ m+p+1 )m]y ⊕ [(L ′ m+p+1 )m−1]
[(L
β
′ m+p)m−1]y ⊕ [(L ′
β
m+p)m−2]
· · ·
β
(L
δ
′ m+p+1 )m
[(L ′ m+p)m]y ⊕ [(L ′
β
m+p)m−1]
β
· · ·
Observación Notemos que las columnas de Ω ≥m
f
. . .
δ
(L ′
m+p)m
son subcomplejos de las
columnas del complejo Ω≥m . También es claro que el complejo
[L ′ m+p]0
δ
[L ′ m+p]1 δ
. . .
δ [L ′ m+p]m−1
β
δ
[L ′ m+p]m
esta bien definido. Finalmente, se observa que el complejo Cm+p definido
como el complejo total del bicomplejo
· · ·
(L ′
m+p)m−2
(L ′
m+p)m−1
δ
(L ′
m+p)m
· · ·
[(L ′ m+p)m−2]y
[(L ′ m+p)m−1]y
δ1
[(L ′ m+p)m]y,
donde δ ∗ (ωy) = (−1) |ω| fω, y δ1(ωx a y b y) = δ(ωx a y b )y esta bien definido.
A continuación veremos que el complejo Ω ≥m
f
δ ∗
esta bien definido. También
notemos que la definición de Ω ≥m depende de f pues existe una construcción
similar para el generador g.
149
. . .
· · ·

Lema 3.28. El morfismo β restricto a (L ′ m+p)sy ⊕ (L ′ m+p)s−1 cumple
y β ◦ δ + δ ◦ β = 0.
β((L ′ m+p)∗y ⊕ (L ′ m+p)s−1) ⊂ (L ′ m+p+1)s+1y ⊕ (L ′ m+p+1)s,
Prueba. Sea z ∈ (L ′ m+p)sy ⊕ (L ′ m+p)s−1. Si z = ωxayly ∈ (L ′ m+p)sy =
⊕ p+m−s
l=0
Ωsm−s,l,m+py entonces
Por definición
β(z) = dDR(ω)x a y l y + (−1) |ω| x a y l+1 ω.
(L ′ m+p+1)s+1y = ⊕ p+1+m−s−1
l=0 Ω s+1
m−s−1,l,m+p
y = ⊕p+1+m−s−1
l=0
x a y l Ω s+1 y
tal que a + l + s + 1 = m + p + 1. De aquí se sigue que dDR(ω)x a y l y ∈
(L ′ m+p+1)s+1y. De igual modo por definición tenemos que
(L ′ m+p+1)s = ⊕ p+1+m−s
l=0
Ωm−s,l,m+p+1 = ⊕ p+1+m−s
l=0 x a y l Ω s
tal que a + l + s = m + p + 1. Por lo tanto (−1) |ω| x a y l+1 ω ∈ (L ′ m+p+1)s.
De manera similar se prueba que β(z) ∈ (L ′ m+p+1)s+1y ⊕ (L ′ m+p+1)s si z ∈
(L ′ m+p)s−1.
Finalmente la ecuación β ◦ δ + δ ◦ β = 0 se cumple debido al hecho que
esta igualdad se cumple en el complejo Ω ≥m , ver Definición 2.3 de [CGG].
Por lo tanto existe una secuencia exacta corta
0
Ω ≥m
f
≥m Ω (f, g)
Ω ≥m
f [−1]
0.
Observación. Notemos que como módulos graduados los complejos Cm+p
y L ′ m+p ⊗ K(f) son iguales. Sus morfismos borde son iguales salvo signo.
Es decir las cohomología de ambos son iguales. Por este motivo a Cm+p lo
denotaremos como L ′ m+p ⊗ K(f).
3.4.2. El Complejo M(f, g)
Esta parte esta dedicada a demostrar la buena definición de cierto subcomplejo
M(f, g) de Ω ≥m
f .
150

A partir de los complejos L ′ m+p daremos la siguiente definición :
Definición 3.29. Definamos los complejos E ′ m+p(0), con p en los números
naturales, como
(E ′ m+p(0))0
δ
(E ′ m+p(0))1 δ
. . .
donde (E ′ m+p(0))m−s = ⊕ p+s
l=s Ωm−s
s,l,m+p
δ
(E ′ m+p(0))m−1
δ
(E ′ m+p(0))m
= ⊕p+s
l=s Bl,s−l,m+p = ⊕ −p
t+q=s;q=0Bt,q,m+p.
Cuando sea claro en que complejo Lm+p estemos trabajando sólo pondremos
Bp,q. Notemos que K(f) ⊗ E ′ m+p es un subcomplejo de L ′ m+p ⊗ K(f). Para
ello basta usar que δ(y) = f.
Observación. Los complejos E ′ m+p(0) son subcomplejos de los complejo
L ′ m+p. Notemos que los complejos E ′ m+p(0) coinciden con los complejos E ′ p de
la Definición 2.60.
Lema 3.30. El complejo (E ′ m+p(0), δ) esta bien definido.
Prueba. Se sigue del hecho que L ′ m+p se puede escribir como un bicomplejo.
Posteriormente generalizaremos esta definición para ciertos complejos E ′ m+p(l)
donde l es un número natural con ciertas restricciones.
Lema 3.31. El morfismo β restricto al módulo (K(f) ⊗ E ′ m+p(0))t cumple
β((K(f) ⊗ E ′ m+p(0))t) ⊂ (K(f) ⊗ E ′ m+p+1(0))t+1
Prueba. En efecto, sea z ∈ (E ′ m+p(0))t ⊕ (E ′ m+p(0))t+1y. Analizaremos dos
casos :
Primer caso, sea z = ωxjy i ∈ (E ′ m+p(0))t = ⊕ p+m−t
l=m−t Ωtm−t,l,m+p Ωt m−t,i,m+p para algún l = i. Por lo tanto
entonces z ∈
β(z) = d(ω)x j y i ∈ Ω t+1
m−(t+1),i,m+p+1 ⊂ (E′ m+p+1(0))t+1 = ⊕ p+1+m−t−1
l=m−t−1
Ωt+1
m−t−1,l,m+p+1 .
Es decir
β(z) = d(ω)x j y i ∈ (E ′ m+p+1(0))t+1 ⊕ (E ′ m+p+1(0))t+2y.
151

Si z = ωxiyj y ∈ (E ′ m+p(0))t+1y = ⊕ m−t−1+p
l=m−t−1 Ωt+1
m−(t+1),l,m+py entonces z =
ωxiyj y ∈ Ω t+1
m−(t+1),j,m+py para algún m − t − 1 ≤ l = j ≤ m − t − 1 + p y
β(z) = d(ω)x i y j y + (−1) |ω| ωx i y j+1 .
Entonces d(ω)xiyj y ∈ Ω t+2
m−(t+2),j,m+p+1y ⊂ ⊕m−t−2+p+1
l=m−t−2
Ωt+2
m−(t+2),m+p+1y =
(E ′ m+p+1(0))t+2y. Por otro lado ωxiyj+1 ∈ Ωm−(t+1),j+1 ⊂ (E ′ m+p+1(0))t+1 =
⊕ m−t−1+p+1
l=m−t−1
Ωm−(t+1),l,m+p+1, pues en el último sumando l puede tomar el
valor de j = m − t − 1 + p.
Del Lema anterior podemos presentar la siguiente definición
Definición 3.32. Definamos el bicomplejo M(f, g) como
.
. . .
(Em+2(0))m−1
(Em+1(0))m−2
(Em(0))m−3
. . .
(Em+2(0))m
(Em+1(0))m−1
β
.
δ
(Em+1(0))m
β
.
(Em(0))m−2
(Em(0))m−1
δ
(Em(0))m,
y H∗(M(f, g)) = H∗(T ot(M(f, g))), donde (Em+p(0))s = (E ′ m+p(0)⊗K(f))s.
Observación. Cada columna Em+p(0) del complejo M(f, g) esta formada
por el complejo E ′ m+p(0) ⊗ K(f). De este último complejo vamos a tomar el
subcomplejo E ′ m+p(0). Con él definamos el subcomplejo Γ(f, g) :
152

.
. . . (E ′
m+2(0))m−1 (E ′
m+1(0))m−2 (E ′
m(0))m−3
. . . (E ′
m+2(0))m (E ′
β m+1(0))m−1
.
δ
(E ′ m+1(0))m
β
.
(E ′ m(0))m−2
(E ′ m(0))m−1
δ
(E ′ m(0))m,
A continuación demostramos que este complejo esta bien definido.
Lema 3.33. El morfismo β cumple
Prueba. Por definición
y
β(E ′ m+p(0)s) ⊂ E ′ m+p+1(0)s+1.
E ′ m+p(0)s = ⊕ p+m−s
l=m−s Ωs m−s,l,m+p,
E ′ m+p+1(0)s+1 = ⊕ p+1+m−s−1
l=m−s−1
Ωs+1
m−s−1,l,m+p+1
Si z ∈ E ′ m+p(0)s entonces β(z) = dDR(w)xay l ∈ ⊕ p+1+m−s−1
l=m−s−1
Ωs+1
m−s−1,l,m+p+1 .
Observación. De la definición del complejo Γ(f, g) tenemos la secuencia
exacta corta de complejos
0
Γ(f, g)
M(f, g)
Γ(f, g)[−1]
Lema 3.34. Si f tiene una singularidad aislada en η entonces existe una
secuencia exacta
0
H m (Γ(f, g))
m−1 H (M(f, g))
m H (M(f, g))
153
m H (Γ(f, g))y
0,
0

Gr(H m (Γ(f, g))) = ⊕p≥0H m (Em+p(0)), y Gr(H m (Em+p(0))) = ⊕ p
i=0 (R/Jf)i.
Prueba. Notemos que las columnas del complejo E ′ m+p(0) estan formadas
por el complejo K(df). Como por hipótesis f tiene una singularidad aislada,
K(df) es exacto excepto en el último nivel. Por lo tanto H s (Γ(f, g)) = 0 para
todo s < m. De la secuencia exacta larga en cohomología de la secuencia
0
Γ(f, g)
obtenemos la secuencia
0
H m (Γ(f, g))
M(f, g)
m−1 H (M(f, g))
m H (M(f, g))
Γ(f, g)[−1]
m H (Γ(f, g))y
Como los complejos (E ′ m+p(0), δ) son exactos salvo en el último nivel un
argumento rutinario de filtraciones nos llevan a la igualdad
Gr(H m (Γ(f, g))) =
H m (Em+p(0)).
El hecho que Gr(H m (Em+p(0))) = p
i=0 (R/Jf)i se sigue del Lema 2.61.
3.4.3. El Complejo Ω≥m
M(f,g) .
Ω ≥m
M(f,g)
p≥0
Brindamos información sobre los módulos de cohomología del complejo
. Para ello nos basamos en el Lema 3.15.
Lema 3.35. El complejo
es exacto excepto en el último nivel, y
Ω ≥m
M(f, g)
Gr(H0( Ω≥m
M(f, g) )) = Gr(Hm−1 ( Ω≥m
)) = [(
M(f, g) Jg
) ⊗ R/ 〈f〉]i
154
i>0
0.
Jf,g
0

Prueba. En efecto, para ello debemos notar primero que las columnas del
complejo
Ω ≥m
M(f, g)
son isomorfas a L ′ m−1 ⊗ K(f). Estas son exactas excepto en el último nivel
por el Lema 3.15. Por lo tanto el primer término de la secuencia espectral
del Ω≥m
M(f, g)
quedaría de la siguiente manera
.
. . .
0
0
0
. . . ( Jf
) ⊗ R/ 〈f〉
0
Jf,g
Es decir E 1 = E ∞ . Esto significa que
.
.
0
( Jf
Jf,g ) ⊗ R/ 〈f〉
0
i>0
( Jf
Jf,g
Jf,g
) ⊗ R/ 〈f〉 ,
Gr(H0( Ω≥m
M(f, g) )) = Gr(Hm−1 ( Ω≥m
)) = [(
M(f, g) Jg
) ⊗ R/ 〈f〉]i
3.4.4. La Cohomología del Complejo M(f, g)
El siguiente paso es estudiar la cohomología del complejo M(f, g). Para
ellos definiremos ciertos complejos E ′ m+p(∗) que serán subcomplejos de las
columnas de M(f, g). Basados en estos complejos definiremos un subcomplejo
155

F y una filtración del mismo. Del complejo L ′ m+p
Ω m−1
1,p+1 dg
df
Ωm
0,p
dg
. ..
df
. ..
tomamos el subcompejo E ′ (l)
Ω m−1
1,p+1 dg
df
Ωm
0,p
dg
dg
· · ·
. ..
df
Ω m−1
dg 1,2
. ..
df
. ..
dg
df
Ωm
0,1
· · ·
dg
dg
dg
. ..
dfr
Ω m−1
dg 1,l+2
df
Ωm
0,l+1
dg
dg
dg
· · ·
df
Ω m−2
2,2
df
Ω m−1
1,1
df
Ωm
0,0
· · ·
dg
dg
dg
df
Ω m−2
2,l+2
df
Ω m−1
1,l+1
df
Ωm 0,l ,
. . .
. . .
· · · .
donde los morfismo borde df y dg tienen un signo establecido. A continuación
156

definimos estos complejos.
Definición 3.36. Dado el complejo L ′ m+p definamos el subcomplejo (E ′ m+p(l), δ),
para l = 0, . . . , p , de la siguiente manera :
(E ′ m+p(l))s := ⊕ p+m−s
t=l+m−s Ωs m−s,t.
Definición 3.37. El complejo E ′ m+p(l) ⊗ K(f) es por definición
(E ′ m+p(l) ⊗ K(f))s := ((E ′ m+p(l))s ⊕ (E ′ m+p(l))s+1y, δ)
Lema 3.38. El complejo (E ′ m+p(l) ⊗ K(f), δ) esta bien definido.
Prueba. Similar a las pruebas anteriores.
Lema 3.39. Dado
Ωm
0,l
Ω s m−s,l+m−s
la columna l−ésima de L ′ m+p y
Ωm
0,l+1
Ω m−1
. . .
df
1,l+1
· · · Ω0
m,l+m
df
Ω m−1
. . .
df
1,l+2
Ω s+1
· · ·
df
df
df
m−s−1,l+1+m−s−1
la (l + 1)−ésima columna de L ′ m+p+1. Entonces
Prueba. Sabemos que
donde a + l + m = m + p y
β(Ω s m−s,l+m−s) ⊂ Ω s+1
m−s−1,l+1+m−s−1
Ω s m−s,l+m−s = x a y l+m−s Ω s .
Ω s+1
m−s−1,l+1+m−s−1 = xa y l+1+m−s−1 Ω s+1
y a + l + 1 + m = m + p + 1. Entonces claramente el lema se satisface.
Lema 3.40. El morfismo β restricto al módulo (E ′ m+p(l) ⊗ K(f))s cumple
β((E ′ m+p(l) ⊗ K(f))s) ⊂ (E ′ m+p+1(l + 1) ⊗ K(f))s+1
157
df

Prueba. Por definición
(E ′ m+p(l) ⊗ K(f))s = (E ′ m+p(l))s ⊕ (E ′ m+p(l))s+1y.
Del lema anterior se sigue que
Por definición
β(E ′ m+p(l)) ⊂ E ′ m+p+1(l + 1).
Em+p(l)s+1y =
p+m−s−1
t=l+m−s−1
Ω s+1
m−s−1,ty. (3.16)
Sea z ∈ Em+p(l)s+1y entonces z = xayt′ ωy para algún t ′ tal que
y
Por un lado tenemos
l + m − s − 1 t ′ p + m − s − 1
β(z) = x a y t′
d(ω)y + (−1) |ω| x a y t′ +1
ω.
x a y t′
d(ω)y ∈ β(Em+p(l)s+1)y ⊂ Em+p+1(l+1)s+2y ⊂ (E ′ m+p+1(l+1)⊗K(f))s+1.
De igual forma tenemos que
(−1) |ω| x a y t′ +1 ω ∈ (E ′ m+p+1(l + 1))s+1 = ⊕ p+1+m−s−1
t=l+1+m−s−1 Ωs+1
m−s−1,t
ver ecuación 3.16.
Lema 3.41. El complejo
( E′ m+p(l) ⊗ K(f)
E ′ , δ)
m+p(l + 1) ⊗ K(f)
es isomorfo al complejo L ′ l (f) ⊗ K(f).
Prueba. De la definición de E ′ p(l) tenemos que
( E′ m+p(l) ⊗ K(f)
E ′ m+p(l + 1) ⊗ K(f) )s Ω s
s+1
m−s,l+m−s Ωm−s−1,l+m−s−1y. 158
.

Como δ(x) = 0 podemos eliminar el término x∗ . Por lo tanto el complejo
quedaría
.
.
Ωm−2yl+2
Ωm−1yl+1
Ωm−2yl+2y
Ωm−1yl+1y δ1
Ωmyl Ωmyl
y;
f
el cual es isomorfo a la columna l−ésima del complejo Ω ≥m del polinomio f
(ver (3.12)). Este complejo lo denotaremos como Ω ≥m (f). .
Observación. A partir de la definición de los complejos E ′ m+p(l) definiremos
una filtración del complejo M(f, g) y por lo tanto una secuencia espectral.
El primer término de esta secuencia estará conformada por la homología de
los complejos Ω ≥m (f) para un polinomio.
Observación. Notemos que de la definición de los complejos
tenemos que E ′ m+p(l) ⊂ E ′ m+p(l − 1).
(E ′ m+p(l))s.
Nota. En la siguiente definición como en adelante usaremos la siguiente
convención : Em+p(l) := E ′ m+p(l) ⊗ K(f). El complejo
.
. . .
(E∗+2(l + 2))m
(E∗+1(l + 1))m−1
β
β
.
β
(E∗+1(l + 1))m
159
β
.
(E∗(l))m−2
(E∗(l))m−1
δ
(E∗(l))m,

se denotará como
β
β
. . .
E∗+3(l + 3)
E∗+2(l + 2)
E∗+1(l + 1)
E∗(l)
donde sólo se indican las columnas que conforman el bicomplejo.
Definición 3.42. Sea p ≫ un número natural. Definamos el complejos F
como
β
β
· · ·
Em+p+∗+1(p)
Em+p+∗(p)
· · ·
Em+p+1(p)
Em+p(p)
Observación. De la definición de los complejos
β
(E ′ m+p(l ′ ), δ)
tenemos que E ′ m+p(l ′ ) ⊂ E ′ m+p(l ′ − 1). Como
β((E ′ m+p(l))s) ⊂ (E ′ m+p+1(l+1))s+1 ⊂ (E ′ m+p+1(l+1))s+1⊕(E ′ m+p+1(l+1))s+2y,
de la relación de inclusión E ′ m+p(l ′ ) ⊂ E ′ m+p(l ′ − 1), tenemos
β((E ′ m+p(l))s) ⊂ E ′ m+p+1(l)s+1 ⊕ E ′ m+p+1(l)s+2y
y por lo tanto la buena definición del complejo F .
Observación. Cada columna Em+p+∗(p) esta conformada por un bicomplejo
de ∗ + 1 columnas. Cada columna es isomorfa a L ′ q ⊗ K(f) para algún q
adecuado.
Definición 3.43. Para cada i en los números naturales definamos los complejos
Fi de la siguiente forma
y en general
F1 : . . .
Em+p+2(p + 2)
Em+p+1(p + 1)
Em+p(p)
β
β
F2 : . . .
Em+p+2(p + 1)
Em+p+1(p)
Em+p(p)
β
Fi : Em+p+i−1(p)
Em+p+1(p)
Em+p+i(p + 1)
β
β
β
. . . Em+p(p)
Em+p+i+1(p + 2) β
160
. . .
β
β
β

Fi+1 : Em+p+i(p)
Em+p+1(p)
β
Em+p+i+1(p + 1)
. . . Em+p(p)
Em+p+i+2(p + 2) β
. . .
Observación. De la definición de los complejos Fi se sigue que
Más aún tenemos que
Fi+1
Fi
: · · ·
0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fi ⊂ . . . ⊂ F.
Em+p+i+2(p + 2)
Em+p+i+2(p + 3)
Em+p+i+1(p + 1)
Em+p+i+1(p + 2)
Em+p+i(p)
0.
Em+p+i(p + 1)
Del Lema 3.41 y la notación que se refirio anteriormente el complejo Fi+1
Fi
puede escribir como
β
β
. . .
Lm+p+3(f)
Lm+p+2(f) Lm+p+1(f)
Lm+p(f)
Este es isomorfo al complejo Ω ≥m+p (f). Al emplear la notación Lm+∗(f) nos
referimos al complejo (L ′ m+∗(f) ⊗ K(f), δ). Este módulo quasisomorfismos es
igual al complejo Ω ≥m+p del primer Capítulo para un sólo polinomio.
De [LM, Teorema 3.4.7] tenemos que los complejos Ω ≥m+p (f) son exactos
excepto en el último nivel cuando p + m ≥ m + cr+1, para cierto cr+1. El
análisis anterior es la prueba del siguiente Lema:
Lema 3.44. La secuencia espectral E s asociada a la filtración
colapsa en E 1 .
0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fi ⊂ Fi+1 ⊂ . . .
Prueba. Se sigue del desarrollo anterior.
Lema 3.45. Los complejos Fi para todo i ≥ 0 son exactos excepto en el
último nivel.
161
β
se

Prueba. La demostración será por inducción. Para F1 tenemos que F1 =
Ω ≥m+p (f). Este por hipótesis es exacto excepto en el último nivel pues según
[LM] existe un p para el cual el complejo es exacto excepto en el último nivel.
Supongamos por hipótesis inductiva que Fs es exacto excepto en el último
nivel. Sea Fs+1, de la observación anterior tenemos la siguiente secuencia
exacta corta
0
Fs
Fs+1
De la secuencia exacta larga en cohomología
H m−1 (Fs)
H m (Fs)
m−1 H (Fs+1)
m H (Fs+1)
≥m+p Ω (f)
0.
m−1 ≥m+p H (Ω (f))
m ≥m+p H (Ω (f))
tenemos que H m−1 (Fs+1) = 0, pues H m−1 (Fs) = H m−1 (Ω ≥m+p (f)) = 0.
Observación. A continuación estudiamos la cohomología del complejo M(f,g)
. F
Este se puede escribir como
. . .
Em+p−1(0)
. . .
Em+1(0)
Em(0)
Em+p+2(0)
Em+p+2(p)
Em+p(0)
Em+p(p)
Em+p+1(0)
Em+p+1(p)
Definición 3.46. Definamos los complejos Ip−i para i = 1, . . . , p de la siguiente
manera :
Ip : Em+p−2(p − 2)
. . .
Em+1(1)
Em(0)
Em+p−1(p − 1)
Em+p(p − 1)
Em+p(p)
162
Em+p+1(p − 1)
Em+p+1(p)
· · ·

y de manera general
Ip−i : Em+i−1(0)
· · ·
Em+1(0)
Em(0)
Em+i(0)
· · ·
Em+i+1(1)
Em+p+1(p − i − 1)
Em+p+1(p)
· · ·
De la definición tenemos que Ip ⊂ . . . ⊂ I1 = M(f,g)
. F
Lema 3.47. El complejo Ip−i
Ip−i+1
Em+p−2(p − i − 2)
Em+p(p − i − 1)
Em+p−1(p − i − 1)
Em+p(p)
es isomorfo al complejo
β
Lm+p−i−1
Lm+1
β1
β1
. . . Lm+p−i−1
· · ·
Lm,
donde los complejos Lm+p K(df) ⊗ K(f) y β1 = 0.
Prueba. De la convención de la notación el complejo Ip−i
como
Em+i(0)
Em+i(1)
Em+i+1(1)
Em+i+1(2)
Em+i−1(0)
· · ·
Em+i−1(0)
· · ·
β1
Em+p(p − (i + 1))
Em+p(p − i)
Ip−i+1
β
se puede escribir
Em(0)
Em(0)
β2
Em+p+1(p − (i + 1))
Em+p+1(p − i)
donde β2 = 0 pues β(Em+p(p−(i+1))) ⊂ Em+p(p−i). Por lo tanto del Lema
3.41 obtenemos que el complejo anterior se escribe como
. . .
0
Lm+p−i−1(f)
0
Lm+p−i−1(f)
· · ·
Lm+1(f)
Lm(f)
0
Observación. De la notación de [LM] el complejo anterior se escribe como
163
β
β
β

. . .
0
Lm+p−i−1(f)
0
Lm+p−i−1(f) Ωm≤·≤m+p−i−1
0
(f).
Calculamos la cohomología de los complejos
Ip−i
Ip−i+1
Lema 3.48. Existe dos secuencias exactas cortas
0
Hj (Lm+p−i(f); δ)
Hj ( Ip−i+1
)
Ip−i
j m≤·≤m+p−i−1 H (Ω (f))
para j = m, m − 1. La Cohomología en los demás casos es cero.
Prueba. Tomando la secuencia exacta larga de cohomología de la secuencia
exacta corta
0
tenemos
(Lm+p−i(f), δ)
0
H m−1 (Ω m≤·≤m+p−i−1 (f))
H m (Ω m≤·≤m+p−i−1 (f))
Ip−i
Ip−i+1
Hm−1 (Lm+p−i(f); δ)
0
Hm (Lm+p−i(f); δ)
m≤·≤m+p−i−1 Ω (f)
0
Hm−1 ( Ip−i+1
)
Ip−i
Hm ( Ip−i+1
)
Ip−i
Del hecho que el morfismo conección es cero tenemos la prueba del lema.
.
164
0.
0

Observación. De la filtración M(f,g)
= I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ Ip, tenemos una
F
secuencia espectral E∗ convergente cuyo término E1 es dado por el Lema
anterior.
Proposición 3.49. Existe una secuencia exacta
H m−1 (F )
m−1 H (M(f, g))
m−1 M(f,g)
H ( ) F
Hm ( M(f,g)
) H
F m
(M(f, g)) Hm
(F ).
que relaciona los módulos de cohomología del complejo M(f, g).
Prueba. De la secuencia exacta corta
0
F
M(f, g)
tomando cohomología tenemos la secuencia :
H m−1 (F )
m−1 H (M(f, g))
M(f, g)/F
0
m−1 M(f,g)
H ( ) F
Hm ( M(f,g)
) H
F m
(M(f, g)) Hm
(F ).
Observación. De la definición del complejo L ′ m+p el complejo Ω ≥m (f, g) se
escribe como:
. . .
. . .
. . .
. . .
(Cm+1)m ⊕ (Cm+1)m−1x
(Cm+1)m
165
(Cm)m−2 ⊕ (Cm)m−1x
(Cm)m−1 ⊕ (Cm)mx
(Cm)m.

Como β(x) = x, entonces el morfismo β(x) = 0 en el módulo Ω≥m (f, g)
.
Esto significa que Ω≥m (f, g)
Ω ≥m
f
secuencia exacta corta de complejos
0
Ω ≥m
f
Ω ≥m
f
Ω ≥m
f [−1]. Por lo tanto, tenemos la siguiente
≥m Ω (f, g)
Proposición 3.50. Existe una secuencia exacta
0
m−2 ≥m H (Ω (f, g))
Hm−1 (Ω ≥m
f )
m−1 ≥m H (Ω (f, g))
Hm (Ω ≥m
f )
m ≥m H (Ω (f, g))
Ω ≥m
f [−1]
0.
Hm−1 (Ω ≥m
f )
Hm (Ω ≥m
f )
que relaciona los módulos de cohomología del complejo Ω ≥m (f, g).
Prueba. De la secuencia exacta corta
0
tenemos la secuencia
0
Ω ≥m
f
H m−1 (Ω ≥m (f))
H m (Ω ≥m (f))
≥m Ω (f, g)
m−2 ≥m H (Ω (f, g))
m−1 ≥m H (Ω (f, g))
m ≥m H (Ω (f, g))
166
0
Ω ≥m
f [−1]
0.
m−1 ≥m H (Ω (f))
m ≥m H (Ω (f))
0

Apéndice A
Álgebra Conmutativa
Este ápendice esta destinado a presentar las principales definiciones y
propiedades de la teoría de anillos. También será el sustento de las demostración
de propiedades que se usan en el cuerpo de la tesis y son parte
fundamental en el trabajo. Nos referimos en especial a la sección titulada El
Ideal Jacobiano. Aquí se presenta la prueba que la definición de los dos principales
cimientos de la tesis : El Ideal Jacobiano y las singularidades aisladas
de tipo intersección completa no depende de los generadores del ideal I.
A.1. Definiciones y Propiedades
Todos los anillos tratados son noetherianos. Entre las principales definiciones
que usaremos se encuentra la dimensión de Krull.
Definición A.1. Sea R un anillo. La dimensión de Krull o simplemente
la dimensión del anillo R, denotada como dim(R), es el supremo de las longitudes
de las cadenas de ideales primos en R. Es decir, dim(R) = n si existe
una cadena de ideales primos
y ninguna cadena es más grande.
P0 P1 · · · Pn
Definición A.2. Sea I un ideal primo de R. Definimos la altura ht(I) del
ideal I como el supremo de la longitud de las cadenas de primos
P0 P1 · · · I = Pn.
167

que finalizan en I.
Si el ideal I no es primo definimos la altura del ideal I como el mínimo
de las alturas de los primos P que contienen a I.
Observación. Cabe resaltar que algunos autores (ej [Eis]) a la altura del
ideal I la llaman codimensión.
Si el anillo (R, η) es local entonces
dim(R) = ht(η).
Teorema A.3. Sea x1, . . . , xc ∈ R y P ideal primo minimal entre los primos
que contienen a x1, . . . , xc. Entonces ht(P ) ≤ c.
Prueba. [Eis, Teorema 10.2].
El teorema anterior se llama P.I.T. (según sus siglas en inglés de Principal
Ideal Theorem.)
Corolario A.4. Para todo primo P con ht(P ) = c existe un ideal I generado
por c elementos de modo que P sea minimal entre los primos que contienen
al ideal I.
Prueba. [Eis, Corolario 10.5].
Definición A.5. Diremos que un anillo local (R, η) es regular si y sólo sí
donde k = R/η.
dimKrull(R) = dimk( η
)
η2 Lema A.6. Si (R, η) es un anillo regular local entonces R es un dominio.
Prueba. [Eis, Corolario 10.14].
Definición A.7. Sea (R, η) un anillo local. El conjunto x1, . . . , xn se denomina
una secuencia de parámetros si sólo sí
η j ⊂ 〈x1, . . . , xn〉 ⊂ η,
para algún j ∈ N y dim(R) = n. Si además 〈x1, . . . , xn〉 = η la secuencia
se llama secuencia regular de parámetros -Ver [Eis, Corolario 10.7], pág
242-.
168

Lema A.8. (R, η) es un anillo regular local si sólo sí η posee una secuencia
regular de parámetros.
Prueba. Sea
dim(R) = dimk(η/η 2 ) = n,
y {x1, . . . , xn} una base del espacio vectorial η/η2 . Tomemos I = 〈x1, . . . , xn〉 ⊂
entonces
η y η/I. Como (η/I) 2 = η2 +I
I
η/I η
=
(η/I) 2 η2 + I .
Por otro lado como I = 〈x1, . . . , xn〉 = η/η 2 entonces
η/η 2
I
= 0
donde I = I+η2
η 2 . Por lo tanto si usamos los isomorfismos
tenemos que
η/η 2
I
η/η2 (I + η2 η
)/η2 η2 + I
η/I
= 0;
(η/I) 2
y del Lema de Nakayama ([Eis, Corolario 4.8]) obtenemos que η = I. Es decir
dim(R) = n y η = 〈x1, . . . , xn〉 . Por definición esto significa que 〈x1, . . . , xn〉
es una secuencia regular de paramétros.
Para el retorno supondremos que 〈x1, . . . , xn〉 = η es una secuencia regular
de parámetros. Entonces por definición dim(R) = ht(η) = n.
Notemos también que
dim(η/η 2 ) ≤ n,
pues {x1, . . . , xn} generan η/η 2 . Si dim(η/η 2 ) < n a decir
η/η 2 = 〈y 1, . . . , y m〉
con m < n, usando el Lema de Nakayama (de la misma forma que se uso
líneas atrás) tenemos que η = 〈y1, . . . , ym〉 . Esto significaría usando el P.I.T
que ht(η) ≤ m < n, lo cual es una contradicción y prueba el Lema.
169

Definición A.9. Sea (R, η) un anillo local. La colección (x1, . . . , xn) se denomina
secuencia regular (o secuencia R-regular) si sólo sí la aplicación
xi : R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 −→ R/ 〈x1, . . . , xi−1〉
definida por a ↦→ xi · a es inyectiva para todo i = 1, . . . , n, y además
〈x1, . . . , xn〉 = R.
Corolario A.10. Si x1, . . . , xn es un secuencia regular de parámetros en un
anillos regular local entonces x1, . . . , xn es una secuencia regular.
Prueba. [Eis, Corolario 10.15.]
Nota. Del hecho que :
Divcero(R) =
donde Pi son los primos minimales; se prueba que la definición anterior significa
que xi no se encuentra en ningún primo minimal del anillo R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 .
Definición A.11. Sea (R, η) un anillo local. Definamos la filtración I-ádica
como la cadena
R = I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . . ,
y su anillo graduado como
gr I (R) = In
.
In+1 Para una definición más general ver [Mats.,10.c].
Observación. El anillo graduado definido anteriormente caracteriza las secuencias
regulares de la siguiente manera :
Teorema A.12. Sea (R, η) un anillo local y a1, . . . , as elementos en η. Definamos
J = 〈a1, . . . , as〉 . Entonces a1, . . . , as es una secuencia regular si y
sólo si
(R/J)[x1, . . . , xs] gr J (R).
Prueba. [Mats, Teorema 33].
Definición A.13. Sea (R, η) un anillo local, por definición la longitud máxima
de las cadena de secuencias regulares del anillo (R, η) se denomina profundidad
del anillo R y se escribe como profundidad(R).
170
i
Pi

Definición A.14. Sea (R, η) un anillo, I un ideal. La longitud de la máxima
cadenas de secuencias regulares de R contenidas en I se define como
profundidad(I).
Observación. Si en la Definición A.9 en lugar de R tomamos cualquier
R−módulo M, la secuencia {x1, . . . , xn} se denomina M− regular. La maxima
longitud de cadena de secuencias M−regulares contenidas en I se denomina
profundidad de M en I y se denota como depht(M, I) (ver [Eis,Cap.
17,18]). Si M = R tenemos que profundidad(R, I) = profundidad(I).
Observación. Notemos que bajo esta definición tenemos que
profundidad(R) = profundidad(η)
Proposición A.15. Sea R un anillo, I un ideal. Entonces
profundidad(I) ≤ ht(I)
Prueba. Si usamos la Proposición 18.2 de [Eis] tenemos
profundidad(I, R) ≤ codim(I).
Como se indico líneas atrás codim(I) = ht(I) y profundidad(I, R) = profundidad(I)
según [Eis, pag 429]. Entonces
profundidad(I) ≤ ht(I).
Lema A.16. Sea (R, η) un anillo local. I un ideal de R e y ∈ η. Entonces
profundidad(〈I, y〉) ≤ profundidad(I) + 1.
Prueba. Del Lema 18.3 de [Eis] con M = R obtenemos
profundidad(〈I, y〉 ; R) ≤ profundidad(I, R) + 1.
Por definición sabemos que profundidad(〈I, y〉 ; R) = profundidad(〈I, y〉) y
profundidad(I, R) = profundidad(I). Entonces
profundidad(〈I, y〉) ≤ profundidad(I) + 1.
Definición A.17. Un anillo local (R, η) es llamado Cohen Macaulay (C.M)
si sólo sí profundidad(R) = dim(R) (ver [Mats, 16.A, Pág 103]).
171
.

Observación. Notemos que esta definición coincide con la que se presenta
en [Eis.] :
Un anillo para el cual profundidad(P ) = codim(P ), para todo ideal maximal
P de R es llamado anillo Cohen Macaulay.
En efecto, profundidad(R) = dim(R) si sólo sí profundidad(η) = ht(η). Como
η es el único ideal maximal de R tenemos que las definiciones coinciden en
al caso que R sea un anillo local.
Proposición A.18. Sea (R, η) un anillo regular local. Entonces (R, η) es
Cohen-Macaulay.
Prueba. Sea {x1, . . . , xn} una secuencia regular de parámetros. Del Corolario
A.10 tenemos que x1, . . . , xn es una secuencia regular. Esto significa, a partir
de la definición, que
profundidad(R) ≥ n.
Si usamos la Proposición A.15 tenemos que
profundidad(η) ≤ ht(η) = dim(R) = n.
Por lo tanto dim(R) = profundidad(R.)
Observación. Un hecho importante que se obtiene del último teorema es el
que para todo ideal I de un anillo regular local esencialmente de tipo finito
(r.l.e.t.f) se cumple
ht(I) = profundidad(I).
Esta propiedad se presenta a continuación :
Teorema A.19. Sea R un anillo tal que profundidad(P ) = ht(P ) para todo
ideal maximal P de R. Si I ⊂ R es un ideal propio, entonces profundidad(I) =
ht(I).
Prueba. [Eis, Teorema 18.7].
Para anillos r.l.e.t.f se tiene la siguiente versión :
Teorema A.20. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si I ⊂ R es un ideal propio,
entonces
profundidad(I) = ht(I).
172

Prueba. De la definición de anillo Cohen Macaulay tenemos que
Esto significa que
profundidad(R) = dim(R).
profundidad(η) = ht(η).
Como η el único ideal maximal de R, del Teorema A.19 se desprende que
ht(I) = profundidad(I)
para todo ideal I propio de R
Corolario A.21. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., y ∈ η. Entonces
Prueba. Del Lema A.16 obtenemos
ht(〈I, y〉) ≤ ht(I) + 1.
profundidad(〈I, y〉) ≤ profundidad(I) + 1. (A.1)
Por otro lado del Teorema anterior se sigue que profundidad(〈I, y〉) = ht(〈I, y〉)
y profundidad(I) = ht(I). Entonces de A.1 se sigue
ht(〈I, y〉) ≤ ht(I) + 1.
Proposición A.22. Sea (R, η) un anillo local Cohen Macaulay. Entonces
para todo ideal I tenemos
ht(I) + dim(R/I) = dim(R).
Prueba. [Mats, Teorema 29, parte (i)] (por esto ht(I) se llama también
codimensión.)
Teorema A.23. Sea R un anillo regular local y {x1, . . . , xm} una secuencia
regular de parámetros. Entonces
1) R es un dominio que es integralmente cerrado en su cuerpo de fracciones.
2) x1, . . . , xm es una secuencia regular y por tanto R es un anillo Cohen
Macaulay.
3)〈x1, . . . , xi〉 = Pi es un ideal primo de altura i para cada 1 ≤ i ≤ m y
A/Pi es un anillo regular local de dimensión d − i.
4)Recíprocamente, ∀ 0 ≤ i ≤ m si P es un ideal primo de R y si R/P
es regular y tiene dimensión d − i entonces existe un sistema regular de
parámetros y1, . . . , ym tal que P = 〈y1, . . . , yi〉 .
173

Prueba. [Mats, Teorema 36]. .
Definición A.24. Sea M un R−módulo. Diremos que P es un primo asociado
si existe x ∈ M tal que ann(x) = P. Aquí
ann(x) := {λ ∈ R : λ · x = 0}.
El conjunto de los primos asociados de M se denota como Ass(M).
Proposición A.25. Sea P un elemento maximal del conjunto de ideales
Ann = {Ann(x) : x ∈ M, x = 0.} entonces P ∈ Ass(M)
Prueba. [Mats, Proposición 7.B].
Proposición A.26. Sea M un R−módulo f.g., todo elemento Ann(x) esta
contenido en un elemento de Ass(M).
Prueba. En efecto, sea
∆(x) := {Ann(y) : Ann(x) ⊂ Ann(y); y ∈ M} .
El conjunto ∆(x) es no vacío pues Ann(x) ∈ ∆(x). Sea
Ann(x) = Ann(x1) ⊂ Ann(x2) ⊂ . . .
una cadena de elementos en ∆(x). Como el anillo R es noetheriano satisface
la condición de cadena ascendente. Es decir existe s en los naturales tal que
Ann(xs) = Ann(xi) para todo i ≥ s. Por lo tanto basta tomar Ann(xs)
como elemento maximal de la cadena. El Lema de Zorn nos indica entonces
que ∆(x) tiene elementos maximales. Se prueba también que si Ann(x ′ ) es
un elemento maximal de ∆(x) entonces también lo es de Ann. En efecto si
Ann(x ′ ) no fuera un elemento maximal en Ann entonces existe y ∈ M tal
que Ann(x ′ ) Ann(y). Como Ann(x) ⊂ Ann(x ′ ) y Ann(x ′ ) ⊂ Ann(y).
Entonces Ann(y) ∈ ∆(x) y Ann(x ′ ) Ann(y), una contradicción con la
hipótesis de elemento maximal de Ann(x ′ ). Por tanto Ann(x ′ ) ∈ Ass(M) y
Ann(x) ⊂ Ann(x ′ ). Esto finaliza la prueba de la proposición.
Proposición A.27. Sea R un anillo noetheriano y M un módulo finito.
Entonces Ass(M) es un conjunto finito.
174

Prueba. [Mats, Proposición 7.G].
Definición A.28. Sea R un anillo e I un ideal. Sea Ass(R/I) = {P1, . . . , Ps}.
Diremos que I es Unmixed si ht(Pi) = ht(I) para todo i.
Proposición A.29. Sea (R, η) un anillo local de dimension m. Entonces las
siguientes afirmaciones son equivalentes :
1)(R, η) es Cohen Macaulay, es decir, profundidad(R) = m.
2) Si J = 〈a1, . . . , ar〉 es un ideal de altura r generado por r elementos
entonces J v es unmixed para todo entero v.
3) Si a1, . . . , ar y J cumplen las hipótesis de (2) entonces
grJ(R) (R/J)[x1, . . . , xr]
4) Existe un sistema de parámetros a1, . . . , an tal que
grI(R) (R/I)[x1, . . . , xn],
donde I = 〈a1, . . . , an〉 .
Nota. En 3 y 4 los isomorfismos son naturales. Ellos son definidos como
ai mod J 2 ↦→ xi.
Prueba. [Mats, Teorema 32].
Corolario A.30. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal
generado por una secuencia regular entonces
I s
I s+1 ((R/I)[x1, . . . , xr]) s ,
donde ((R/I)[x1, . . . , xr]) s representa en R/I−módulo de los polinomios de
grado s con coeficientes en R/I.
Prueba. Como f1, . . . , fr forman una secuencia regular entonces ht(I) = r.
De la Proposición A.29 tenemos que
gr I (R) R/I[x1, . . . , xr].
Donde el isomorfismo es definido como f i ↦→ xi. Denotemos a este isomor-
fismo como ϕ. Un elemento generador de I s es de la forma z = αf a1
1 . . . f ar
r ,
donde a1+· · ·+ar = s, y α ∈ R. De la definición del isomorfismo ϕ obtenemos
ϕ(z) = αx a1
1 . . . xar r . De aquí se prueba que el R/I−módulo Is
representan
Is+1 los polinomios de grado s sobre R/I.
175

A.2. Complejo Koszul
Nuestro principal interés se centra en presentar dos maneras distintas de
construir el complejo de Koszul K(x1, . . . , xn) (ver Definición A.35 y Corolario
A.40). Esta descripción nos permite aprovechar el estrecho lazo que
existe entre la propiedad que el complejo de Koszul sea exacto excepto en el
último nivel y que la secuencia x1, . . . , xn sea regular (ver Proposición A.36).
Definición A.31. Sea (R, η) anillo local, x ∈ R. Definamos el complejo de
cocadenas
K(x) : 0
x
R
R,
el cual llamaremos complejo de Koszul.
Notemos que si el elemento x es regular entonces H 0 (K(x)) = 0.
Definición A.32. Sean x, y ∈ R. Definamos el complejo
K(x, y) : 0
R
⎛
⎜
⎝
x
y
⎞
⎟
⎠
(−x,y)
R R
R
Observación. De la definición obtenemos que K(x, y) K(x) ⊗ K(y).
Notemos también que (a, b) ∈ ker(−x, y) si sólo sí −ax + by = 0. A su vez
esto equivale a que ax = by. Si x no es divisor de cero, estas equivalencias
nos permiten establecer un isomorfismo de módulos
ϕ : ker(−x, y) −→ (x : y)
definido de la siguiente manera ϕ(a, b) = b. Es claro que la aplicación esta
bien definida. La igualdad
ϕ(a, b) = ϕ(a ′ , b)
equivale a que x(a − a ′ ) = 0, y como x no es divisor de cero entonces a = a ′ .
Esto significa que ϕ es inyectiva. La sobreyectividad de ϕ se sigue de la
definición de (x : y). La linealidad de ϕ también es clara.
Un cálculo muestra que
x
ϕ(
y
· R) = 〈x〉 ,
176
0

esto significa que
H 1 ker(−x, y)
(K(x, y)) =
x
· R
y
(x : y)
〈x〉 .
De esta ecuación se ve directamente que si {x, y} es una secuencia regular
entonces H 0 (K(x, y)) = H 1 (K(x, y)) = 0, pues a ∈ 〈x : y〉 entonces a · y = 0
en R/ 〈x〉 .
Por otro lado supongamos que H 1 (K(x, y)) = 0. Si usamos el isomorfismo
K(x, y) K(x) ⊗ K(y) tenemos la secuencia exacta corta de complejos
0
K(x)[−1]
K(x, y)
La secuencia exacta larga en cohomología nos da
0
H 0 (K(x))
H 1 (K(x))
Como H 1 (K(x, y)) = 0 entonces
0 H (K(x, y))
1 H (K(x, y))
2 H (K(x, y))
H 0 (K(x))
y · H 0 (K(x))
= 0,
K(x)
0 H (K(x))
1 H (K(x))
pues δ1 es la multiplicación por y. Esto significa que H 0 (K(x)) = y·H 0 (K(x)).
Del Lema de Nakayama se sigue que H 0 (K(x)) = 0. Es decir x es un elemento
regular. El hecho que
y : R/ 〈x〉 → R/ 〈x〉
0.
sea una aplicación inyectiva se obtiene de la hipótesis
H 1 (K(x, y)) =
(x : y)
〈x〉
= 0.
0.
δ1
δ1
El análisis anterior es un bosquejo de la prueba del siguiente Teorema
Teorema A.33. Sea (R, η) anillo local noetheriano y {x, y} ⊂ η, entonces
{x, y} es una secuencia regular si y solo sí H 1 (K(x, y)) = 0.
177

Prueba. [Eis, Teorema 17.1] .
Corolario A.34. Sea (R, η) es un anillo local noetheriano y {x1, . . . , xr} una
secuencia regular de elementos en η entonces toda permutación {xσ(1), . . . , xσ(r)}
es una secuencia regular.
Prueba. [Eis, Corolario 17.2].
Definición A.35. Sea R un anillo y x = (x1, . . . , xn) ∈ N R n . Definimos
el complejo de Koszul de x como
0
· · ·
donde dx(ω) = x ∧ ω.
R
n−1
dx
∧ N
n ∧ N
dx
dx
N
2 ∧ N
0,
· · ·
Observación. Si N no es libre simplemente habremos definido el complejo
de Koszul de un elemento x ∈ N (ver [Eis, Sección 17.2]).
Si x = x1 entonces
K(x1) : 0
∂
R · e
R,
donde ∂(e) = x. Es claro que este complejo coincide con el que se presentó en
la Definición A.31.
Proposición A.36. Si
para todo j < r y
H j (K(x1, . . . , xn)) = 0
H r (K(x1, . . . , xn)) = 0,
entonces todo R−secuencia maximal en I = 〈x1, . . . , xn〉 ⊂ R tiene longitud
r.
Prueba. La demostración se sigue de [Eis, Teorema 17.4] si tomamos M = R.
Corolario A.37. Si profundidad(〈x1, . . . , xn〉) ≥ r entonces
para todo t < r.
H t (K(x1, . . . , xn)) = 0
178

Prueba. Admitamos que la tesis no se cumple. Es decir H t (K(x1, . . . , xn)) =
0 para todo t ≤ r1 y r1 < r. Entonces del Teorema anterior tenemos que la
maxima cadena de R−secuencias tiene longitud menor igual a r1. Lo cual
significa que profundidad(x1, . . . , xn) ≤ r1 < r. La última desigualdad es una
contradicción con la hipótesis y prueba el Corolario.
Proposición A.38. Si (R, η) es local y 〈x1, . . . , xn〉 es un ideal propio conteniendo
una secuencia regular de longitud n entonces x1, . . . , xn es una secuencia
regular.
Prueba. De la definición de secuencia regular y el Corolario 17.7 de [Eis]
será suficiente tomar M = R.
Proposición A.39. Si N = N ′ ⊕ N ′′ entonces ∧N = ∧N ′ ⊕ ∧N ′′ como
álgebra conmutativa graduada. Sea x ′ ∈ N ′ y x ′′ ∈ N ′′ tal que x = (x ′ , x ′′ ) ∈
N entonces
K(x) = K(x ′ ) ⊗ K(x ′′ )
como complejos.
Prueba. [Eis, Proposición 17.9].
Nota. Un hecho que usaremos repetidas ocasiones en la tesis es el siguiente
Corolario A.40. Sea R un anillo y x = (x1, . . . , xn) ∈ N R n entonces
K(x1, . . . , xn) = K(x1) ⊗ · · · ⊗ K(xn)
Prueba. La demostración será por inducción sobre n, para valores mayores
que uno.
Si n = 2 entonces x = (x1, x2) ∈ N. De la proposición anterior con x ′ = x1
y x ′′ = x2, N ′ = R, N ′′ = R se tiene que
K(x1, x2) = K(x1) ⊗ K(x2).
Si n = r, supongamos que K(x1, · · · , xr) = K(x1) ⊗ · · · ⊗ K(xr).
Sea x = (x1, . . . , xr+1) = (x ′ , x ′′ ) donde x ′ = (x1, . . . , xr) y x ′′ = xr+1. De
la proposición anterior tenemos que
K(x1, . . . , xr+1) = K(x ′ ) ⊗ K(x ′′ ).
179

De la hipótesis inductiva se sigue que
K(x1, . . . , xr+1) = K(x1) ⊗ · · · ⊗ K(xr+1)
Lema A.41. Sea K(x1, . . . , xn) el complejo de Koszul, N = ⊕ n i=1R · ei y
d
d
d
C : 0
R
N ∧2
N
· · · ∧n−1
N
R
0,
donde d(ei1 ∧ · · · ∧ eij ∧ eik ) = j (−1)j∂(eij )ei1 ∧ · · · ∧ eij ∧ · · · ∧ eik . Entonces
K(x1, . . . , xn) C.
Prueba. Del corolario anterior tenemos K(x1, . . . , xn) = K(x1)⊗· · ·⊗K(xn).
Vemos ahora a K(x1, . . . , xn) como complejo de cadenas poniendo K(x)i =
K(x) 1−i
ψj : ⊕i1

Prueba. [Eis, Lema 17.13].
Corolario A.43. Si algún xi es unidad en el anillo (R, η) entonces
K ∗ (x1, . . . , xn) : R
donde N = ⊕ n 1ei · R es contráctil.
dx dx
N
2 ∧ N
· · ·
Prueba. Si x1 es unidad en R, definamos
ϕ : N −→ R
dx dx
n−1 ∧ N
n ∧ N
como ϕ(e1) = 1
x1 , y ϕ(ei) = 0 para todo i mayor que uno.
De la definición de ϕ tenemos que ϕ(x) = 1. Del lema anterior se sigue
que
dx · ∂ϕ + ∂ϕ · dx = ϕ(x) = 1 − 0.
A.3. El Ideal Jacobiano.
La definición que presentaremos del ideal jacobiano será sólo para anillos
regulares locales. Esta se basá en el hecho que Ω1 R es libre.
Definición A.44. Sea R un anillo r.l.e.t.f. Sea F = (f1, . . . , fr) con r ≥ 1 tal
donde m =
que ht(I) = c e I = 〈f1, . . . , fr〉 . Sea e1, . . . , em una base de Ω1 R
dim(R). Definamos la matriz jacobiana de F en la base e1, . . . , em como
Jac(F ) = (fi,j), donde dfj = Σm i=1fi,jei. Por definición el ideal jacobiano
JF (e1, . . . , em) es el ideal generado por los menores c × c de Jac(F ) = (fi,j).
Observación. La definición de ideal jacobiano JF que presentamos depende
de los generadores y del número de estos en el ideal I. Para probar esta
afirmación basta ver el siguiente ejemplo.
Ejemplo A.45. Sea (R; η) = k[x, y](x,y) e I = 〈f = x 2 + y 2 , g = x 2 − y 2 〉,
es claro que I representa una icis. Un cálculo nos hace ver Jf,g = 〈xy〉. Los
polinomios f ′ = (1+xy)(x 2 +y 2 ) y g ′ = y 2 generan el ideal I. De la definición
de ideal jacobiano tenemos que Jf ′ ,g ′ = 〈y2 x 2 + y 4 + 2xy + 2x 2 y 2 〉.
Por otro lado si h = (1 − xy)x 2 , es claro que I = 〈f, g, h〉 y un cálculo
nos lleva a que Jf,g,h = 〈xy, x 4 + y 4 , x 4 − y 4 〉, aquí estamos tomando todos
los menores de orden 2 × 2 de la matriz jacobiana de F = (f, g, h). Es claro
que ht(Jf,g,h) = m = 2.
181

Observación. Notemos también que en la definición del ideal jacobiano
hacemos uso de una base del módulo Ω1 R . De aquí la razón de denotar el
ideal jacobiano de F = (f1, . . . , fr) como JF (e1, . . . , em). Aquí si veremos
que si cambiemos la base del módulo libre Ω1 R el ideal jacobiano sigue siendo
el mismo. La prueba de esta afirmación sigue a continuación. Para iniciar
presentamos algunos propiedades conocidas.
Lema A.46. Sea As×m, Bm×s y Cs×s matrices con entradas en un anillo R
con s ≤ m. Si
A · B = C
entonces det(C) es combinación lineal de menores s × s de la matriz A. Si
s > m entonces det(C) = 0.
Prueba. Sea C =
C1 C2 . . . Cs , y A = A1 A2 . . . Am , donde
Ai, Cj representan los vectores columnas de A y C respectivamente. De la
hipótesis C = A · B se prueba que Ck = m
bik,kAik . Por lo tanto
ik=1
det(C) = det C1 C2 . . . Cs
=
m
det bi1,1Ai1
i=1
. . . m
bik,kAik
i=1
. . . m
bis,sAik
i=1
=
m
bi1,1bi2,2 · · · bis,s · det Ai1 . . . Aik . . . Ais
.
i1,...,is=1
Si s > m entonces en la ecuación
det(C) =
m
bi1,1bi2,2 · · · bis,s · det Ai1 . . . Aik . . . Ais
i1,...,is=1
alguna columna Aik se repite en (Ai1 . . . Aik . . . Ais). Es decir
Por lo tanto det(C) = 0.
det(Ai1 . . . Aik . . . Ais) = 0.
Corolario A.47. Sean A, B, y C matrices de rango m × n, n × s y m × s
respectivamente y c ∈ N tal que c ≤ m, c ≤ s. Si
A · B = C
182

entonces todo menor C1 de orden c de C es combinación lineal de menores
de orden c de A.
Prueba. Sea C1 = (cij,ik ) una submatriz de orden c de C. Entonces existen
A1 = (aij,l) y B1 = (bt,ik ) matrices de orden c × n y n × c respectivamente
tal que
A1 · B1 = C1.
Una aplicación directa del Lema anterior finaliza la prueba. Notemos que
aún en el caso c > n se cumple el corolario. En efecto, si c > n entonces del
lema anterior tenemos que det(C1) = 0.
Observación. Notemos que para n puede suceder que n ≥ m o n < m y
lo mismo para s. Este comentario tiene su asidero en el Corolario A.50 y
Proposición A.51
Corolario A.48. Con las hipótesis del Lema anterior si
A · B = C
entonces todo menor de orden c × c de C es combinación lineal de menores
de orden c de la matriz B.
Prueba. Si tomamos transpuesta a la ecuación anterior tenemos
C t = B t · A t .
Si M es un menor de orden c de C entonces M es un menor de orden c de
C t . Por lo tanto M se escribe como combinación lineal de menores de orden
c de B t . Esto significa, que M es combinación lineal de menores de orden c
de la matriz B.
Corolario A.49. Sea A una matriz m × m invertible, B, C matrices de
orden m × n y c en los naturales tal que c ≤ m y c ≤ n. Si
A · B = C
entonces el ideal C generado por los menores de orden c de la matriz C es
igual al ideal B generado por los menores de orden c de la matriz B.
183

Prueba. Del Corolario anterior tenemos que todo menor de orden c de la
matriz C se escribe como combinación lineal de menores de orden c de la
matriz B por lo tanto C ⊆ B. Como A es invertible de igual forma se prueba
que B ⊆ C.
A continiación veremos que el ideal jacobiano no depende de la base del
módulo Ω1 R que se elija.
Corolario A.50. La definición anterior del ideal jacobiano de I = 〈f1, . . . , fr〉
no depende de la base de Ω 1 R que se tome. Es decir, si {e′ 1, . . . , e ′ m} es otra
base del módulo Ω 1 R donde la matriz Jac(F ) = (f ′ i,j), entonces JF = J ′ F ,
donde J ′ F es el ideal generados por los menores de orden c de la matriz (f ′ i,j).
Prueba. Sea A : Ω1 → Ω1 la matriz de cambio de la base {e1, . . . , em} a
la base {e ′ 1, . . . , e ′ m}, es decir A · ei = e ′ i. Notemos que A es invertible pues
si definimos A ′ : Ω1 R → Ω1 R como A′ (e ′ i) = ei tenemos que A · A ′ = Id, y
A ′ · A = Id.
Por otro lado si
m
entonces
dfj =
k=1
A(ej) = e ′ j =
m
i=1
m m
(
f ′ i,je ′ i =
i=1
f ′ 1,1 f ′ 1,2 . . . f ′ 1,r
. . . . . . . . . . . .
f ′ m,1 f ′ m,2 . . . f ′ m,r
m
i=1
i=1
f ′ i,j(
ak,if ′ i,j)ek =
ai,jei
m
ak,iek) =
k=1
m
k=1
fk,jek.
En lenguaje matricial esto significa tener la siguiente igualdad
A·
⎛
⎝
⎞
⎠ =
⎛
⎝
f1,1
. . .
f1,1
. . .
. . .
. . .
f1,r
. . .
fm,1 fm,2 . . . fm,r
Donde A = (ai,j) es invertible y A(ej) = m
i=1 ai,jei. Por lo tanto el Corolario
A.49 con n = r prueba que
JF (e1, . . . , em) = JF (e ′ 1, . . . , e ′ m).
Notemos que no existe restricción sobre el número r con respecto a m.
Es decir puede suceder que r sea igual, mayor o menor que m = dim(R)
(ver Corolario A.47).
184
⎞
⎠ .

Observación. A continuación veremos que la definición de una icis no depende
del número de generadores ni de los generadores del ideal I. En un
primer momento demostramos lo siguiente :
Proposición A.51. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f1, . . . , fr〉 tal que
ht(I) = c. Si I = 〈g1, . . . , gs〉 entonces se cumple
JF = JG
en el anillo R/I, donde F = (f1, . . . , fr) y G = (g1, . . . , gs).
Prueba. Como fj ∈ I = 〈g1, . . . , gs〉 para todo j = 1, . . . , r entonces
fj =
s
i=1
λi,jgi.
Si aplicamos la derivada universal d : R → Ω 1 R obtenemos
dfj =
s
(λi,jdgi + gid(λi,j)).
i=1
La igualdad anterior en el módulo Ω 1 R ⊗R R/I se escribe como
dfj =
s
i=1
λi,jdg i
(A.2)
De ahora en adelante trabajaremos en el anillo R/I, y obviaremos la notación
de clase de equivalencia. Tenemos que
y
dfj =
dgj =
m
k=1
m
k=1
fkjek
gkjek,
entonces la ecuación A.2 se escribe como
m
s m
fkjek = λi,j( gk,iek) =
k=1
i=1
k=1
185
m
(
k=1
s
i=1
λi,jgk,i)ek.

Por lo tanto fk,j = s
gk,iλi,j, es decir
i=1
Jac(F ) = Jac(G) · Λ,
donde Λ = (λi,j).
Del Corolario A.47 se sigue que los menores de orden c de jac(F ) son
combinación lineal de menores de Jac(G) de orden c, es decir JF ⊆ JG. De
la misma manera se prueba que JG ⊆ JF .
Notemos que no existe restricción sobre los número de generadores r y s
del ideal I. Es decir puede suceder que r ≥ m o r < m, lo mismo para s.
Corolario A.52. La definición de singularidad aislada de tipo intersección
completa de I = 〈f1, . . . , fr〉 no depende de los representantes del ideal I ni
del ideal Jacobiano.
Prueba. De la Proposición anterior tenemos que para generadores f1, . . . , fr
y g1, . . . , gt se cumple JF = JG en el anillo R/I. Esto significa que
〈JF , I〉 = 〈JG, I〉 .
Es decir ht(〈JF , I〉) = ht(〈JG, I〉). Por lo tanto la definición de una icis no
depende de los representantes de I ni del ideal jacobiano de estos representantes.
Observación. A continuación presentaremos los ingredientes que nos permitirán
probar lo siguiente : los elementos dxi forman una base de Ω 1 R si
{x1, . . . , xm} forman una secuencia regular de parámetros de R.
Lema A.53. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y x1, . . . , xm un sistema regular
de parámetros. Entonces no existe polinomio no nulo P (z1, . . . , zm) ∈
k[z1, . . . , zm] tal que P (x1, . . . , xm) = 0.
Prueba. Supongamos que existe un polinomio P (z1, . . . , zm) ∈ k[z1, . . . , zm]
no nulo tal que P (x1, . . . , xm) = 0. El polinomio P (z1, . . . , zm) se puede
escribir como
N
P = Pn(z1, . . . , zm),
n=n0
186

donde Pn es un polinomio homogénio de grado n, y Pn0(z1, . . . , zm) es un
polinomio homogénio no nulo. Como P (x1, . . . , xm) = 0 entonces
Pn0(x1, . . . , xm) = −
N
n=n0+1
Pn(x1, . . . , xm).
Notemos que Pn(x1, . . . , xm) = 0 en η n0 /η n0+1 para todo n > n0. Por lo tanto
de la ecuación anterior tenemos que
Pn0(x1, . . . , xm) = 0
en η n0 /η n0+1 ⊂ gr(η) k[z1, . . . , zm]. Esto significa que Pn0(z1, . . . , zm) es el
polinomio nulo, una contradicción. Por lo tanto P (z1, . . . , zm) = 0.
Proposición A.54. Sean S ⊂ T cuerpos de caracteristica cero y {xλ} λ∈Λ ⊂
T una colección de elementos. Entonces {dxλ} λ∈Λ es una base de Ω 1 T |S como
un espacio vectorial sobre T si sólo si {xλ} λ∈Λ es una base de transcendencia
de T sobre S.
Prueba. [Eis, Proposición 16.14].
Proposición A.55. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y x1, . . . , xm un sistema
regular de parámetros. Entonces dx1, . . . , dxm es una base de Ω 1 R .
Prueba. Para el epimorfismo de anillos
R −→ R/η = k,
de la secuencia conormal (ver Proposición 16.3 [Eis]), tenemos la secuencia
exacta
η
η2 d
1 ΩR ⊗ R/η
Ω1
k|k 0,
donde Ω1 R ⊗ R/η es un k-espacio vectorial de dimensión m (Teorema 1.28).
Como Ω1 η
= 0 y k|k η2 = 〈x1, . . . , xm〉 es k−espacio vectorial de dimensión m
entonces d es un isomorfismo de e.v. Es decir, los elementos dxi ⊗ 1 generan
Ω1 R ⊗ R/η.
Sea N = 〈dx1, . . . , dxm〉 R y M = Ω1 R entonces N ⊗ R/η = M ⊗ R/η. Por
lo tanto
M M ⊗ R/η
⊗ R/η = = 0.
N N ⊗ R/η
187

Como
M/N
η · M/N
= M
N
⊗ R/η,
entonces M/N = η(M/N). El lema de Nakayama (ver Corolario 4.8 [Eis])
nos indica que M/N = 0, es decir M = N. Por lo tanto dx1, . . . , dxm generan
Ω 1 R . Supongamos por contradicción que los generadores dx1, . . . , dxm no
son R−linealmente independientes entonces tampoco son Q(R)−linealmente
independientes (Q(R) es por definición el cuerpo de fracciones de R). Si usamos
la Proposición A.54 tendríamos que los elementos x1, . . . , xm no son
algebraicamente independiente. Esto significa que existe un polinomio no
nulo P (z1, . . . , zm) tal que P (x1, . . . , xm) = 0, lo cual contradice al Lema
A.53.
Definición A.56. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y f ∈ η. Diremos que f es
regular si R/ 〈f〉 es un anillo regular local.
Lema A.57. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. f ∈ η es regular si y sólo si
Jf = 〈1〉 .
Prueba. Sea m = dim(R). Notemos que R/ 〈f〉 es esencialmente de tipo
finito. Por definición f es regular si R/ 〈f〉 es un anillo regular local. Por lo
tanto del Teorema A.23 afirmación 4) el elemento f es parte de una secuencia
regular de parámetros x1 := f, · · · , xn. De la proposición anterior tenemos
que dx1, · · · , dxn es una base de Ω 1 R . Por lo tanto en esta base Jf = R.
Por otro lado si Jf = R entonces f ∈ η \ η 2 . En efecto si f ∈ η 2 entonces
f = t
i=1 xiyi donde xi, yi ∈ η. Si aplicamos la derivada universal tenemos
df = t
i=1 (dxiyi +xidyi). Como xi, yi ∈ η entonces se prueba que Jf ∈ η. Por
lo tanto f ∈ η \ η 2 . Esto significa que f ∈ η
η 2 es no nulo. Entonces f es parte
de una base del espacio vectorial η
η 2 . Sean v1 := f, v2 := f 2, · · · , vm := f m
una base de η
η 2 . Sean f, f2, · · · , fm representantes de las clases v1, · · · , vm e
I := 〈f, f2, . . . , fm〉 . Como I := I+η2
η 2
= η
η 2 , entonces I + η 2 = η. Es decir en
el anillo R/I tenemos η = η 2 . Una aplicación del Lema de Nakayama prueba
que I = η. Es decir f, f2, . . . , fm es un sistema regular de parámetros. Del
Teorema A.23 afirmación 3) tenemos que R/ 〈f〉 es una anillo regular local.
Observación. A continuación presentaremos una demostración del hecho
que los anillos r.l.e.t.f. son suaves según se definen en 3.4.1 de Loday. Como
188

un anillo (R, η) r.l.e.t.f. es una k−álgebra conmutativa donde k es un cuerpo
de caracteristica cero, entonces R es k−flat.
Proposición A.58. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f, entonces es suave.
Prueba. Como (R, η) es un álgebra k−flat entonces será suficiente demostrar
que R cumple con las condiciones establecidas en el enunciado e de la Proposición
3.4.2 de Loday :
Para cualquier par (C, J), donde C es una k−álgebra y J es un ideal tal
que J 2 = 0, la aplicación Homalg(R, C) → Homalg(R, C/J) es sobreyectiva.
(Aquí Homalg significa morfismo de k−álgebras.)
Sea (C, J) un par donde C es una k−álgebra y J es un ideal tal que
J 2 = 0. Sea f : R → C/J un morfismo de k−álgebras. Debemos demostrar
la existencia de un morfismo de k−álgebras g : R → C tal que ε ◦ g = f
donde ε : C → C/J es el morfismo proyección.
Por definición de anillo r.l.e.t.f. tenemos que
R = ( k[x1, . . . , xn]
)η.
I
Más aún es claro que existe un epimorfismo de k−álgebras
π : P := k[x1, . . . , xn]η → R.
Es decir tenemos el siguiente diagrama
0
J
C
ε
P
π
R
f
C/J
Como P es suave (del enunciado c de la Proposición 3.4.2 de Loday presentado
líneas atrás) tenemos que para el morfismo f ◦ π existe f1 : P → C
morfismo de k−álgebras tal que ε ◦ f1 = f ◦ π.
Como ε◦f1(I) = f ◦π(I) = 0 entonces f1(I) ⊂ J. Por lo tanto la aplicación
f1 : I → J
189
0.

esta bien definida. Más aún si x ∈ I 2 entonces x = xiyi donde xi, yi ∈ I.
Como f1(xi)f1(yi) ∈ J 2 = 0 entonces f1 induce una aplicación
f 1 : I
−→ J.
I2 Notemos que f 1 es sólo un morfismo k lineal y que f 1(x) = f1(x). Dotemos
a J de una estructura de R−módulo. Definamos la siguiente acción
λ · a = f1(λ)a,
donde λ es un representante de la clase λ en el anillo R = P/I, y a ∈ J.
Veamos que la definición no depende del representante elejido : En efecto sea
λ + β otro representante de la clase λ (es decir β ∈ I). Entonces
λ · a = f1(λ + β)a = (f1(λ) + f1(β))a = f1(λ)a + f1(β)a.
Como f1(β) y a son elementos de J, entonces f1(β)a ∈ J 2 = 0. Es decir la
acción que convierte a J en un R−módulo esta bien definida.
Por otro lado tomemos la secuencia conormal (ver Proposición 1.14)
I
I 2
d
1 ΩP ⊗P R
1 ΩR Como Ω1 R es un R−módulo libre, la secuencia conormal se parte. Para todo
elemento x ∈ I
I2 y [λ] ∈ R se cumple que
0.
d(λ · x) = d(λ · x) = xd(λ) + λd(x),
pues d es una derivada. Como x ∈ I la última igualdad, en el módulo Ω 1 P ⊗P R,
se escribe como
d(λ · x) = [λ]d(x).
Esto significa que d es un morfismo R lineal.
Otro hecho que se desprende, esta vez, de la propiedad que la secuencia
conormal se parte es que nos permite probar la existencia de un morfismo
de R−módulos h : Ω1 P ⊗P R → J tal que h ◦ d = f 1. (Para probar esta
afirmación es suficiente usar el isomorfismo Ω1 P ⊗P R I
I2 ⊕ Ω1 R . ) Es decir
tenemos el siguiente diagrama
190

I
I 2
f 1
d
h
Ω 1 P ⊗P R
Donde el triángulo inferior es conmutativo.
Luego definamos la aplicación
J.
g : R −→ C
como g(x) = f1(x) − h(d(x)). La buena definición se prueba usando el hecho
que h ◦ d = f 1.
Veamos que g es un morfismo de k−álgebras. En efecto es claro que g es
k−lineal. Veamos que g(xy) = g(x)g(y).
Por un lado tenemos
g(xy) = f1(xy) − h(d(xy)) = f1(x)f1(y) − h(xd(y) + yd(x))
Ω 1 R
pues d es una derivada. Si continuamos tenemos
0
f1(x)f1(y) − h(xd(y)) − h(yd(x)) =
f1(x)f1(y) − h(x · d(y)) − h(y · d(x)) =
f1(x)f1(y) − x · h(d(y)) − y · h(d(x)).
Como h(dx), h(d(y)) ∈ J, si recordamos la estructura de R−módulo de J :
tenemos que
Por otro lado tenemos
x · h(d(y)) = f1(x)h(d(y)),
y · h(d(x)) = f1(y)h(d(y)),
g(xy) = f1(x)f1(y) − f1(x)h(dy) − f1(y)h(dx).
g(x)g(y) = (f1(x) − h(d(x)))(f1(y) − h(d(y)) =
f1(x)f1(y) − f1(x)h(dy) − f1(y)h(dx) + h(dx)h(dy).
191

Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (por hipótesis) entonces h(dx)h(dy) = 0.
Es decir g(xy) = g(x)g(y).
Finalmente veamos que ε ◦ g = f. En efecto
ε ◦ g(x) = ε(f1(x) − h(d(x))) =
ε(f1(x)) − ε(h(d(x)))
como h(d(x)) ∈ J (es decir ε(h(d(x)) = 0) y ε(f1(x)) = f ◦ π(x) entonces
ε ◦ g(x) = f(x).
A.4. El Anillo de Polinomios.
En esta sección demostramos la siguiente propiedad
Sea k un cuerpo de caracteristica cero y k[x1, . . . , xr] el anillo de polinomios.
Para todo polinomio P (x1, . . . , xr) no nulo existen elementos λ1, . . . , λr−1
todos no nulos en el cuerpo k tal que el polinomio P (λ1xr, . . . , λr−1xr, xr) es
no nulo.
Lema A.59. Si k es un dominio entonces el anillo k[x1, . . . , xn] es un dominio.
Prueba. Trivial.
Lema A.60. Sea Q(x1, . . . , xr) polinomio no nulo con coeficientes en k un
cuerpo infinito. Entonces existen constantes ci ∈ k −{0} para i = 1, . . . , r −1
tal que Q(c1, . . . , cr−1, xr) es un polinomio no nulo de k[xr].
Prueba. La prueba se desarrollará por inducción sobre r el número de variables
para r ≥ 2.
Si r = 2 el polinomio Q(x1, x2) se puede escribir como
Q(x1, x2) =
l
Qi(x1)x i 2.
i=0
Sea P (x1) = (Q0 · Q1 · · · Ql)(x1) y s el grado de P. Entonces P tiene a lo más
s raíces. Como k es infinito, existe c1 ∈ k no nulo tal que P (c1) es no nulo.
192

Entonces Qi(c1) para i = 0, . . . , l es un elemento no nulo en el cuerpo k. Por
lo tanto el polinomio Q(c1, x2) es no nulo.
Por hipótesis inductiva tenemos lo siguiente : Si Q(x1, . . . , xn) es un polinomio
no nulo entonces existen constantes c1, . . . , cn−1 todas ellas no nulas
tal que Q(c1, . . . , cn−1, xn) es un polinomio no nulo.
Sea Q(x1, . . . , xn+1) polinomio no nulo. Entonces Q se puede escribir como
Q(x1, . . . , xn+1) =
l
i=0
Qi(x1, . . . , xn)x i n+1,
donde los polinomios Qi son no nulos. Sea P (x1, . . . , xn) = Q0 · Q1 · · · Ql,
entonces P es un polinomio no nulo pues k[x1, . . . , xn] es un dominio. De
la hipótesis inductiva tenemos que existen constantes c1, . . . , cn−1 todas no
nulas tales que P (c1, . . . , cn−1, xn) es un polinomio no nulo. Como k [xn] es
un dominio entonces Qi(c1, . . . , cn−1, xn) es un polinomio no nulo para todo
i = 0, . . . , l. Como Q(c1, . . . , cn−1, xn, xn+1) ∈ (k[xn])[xn+1] y sus coeficientes
Qi(c1, . . . , cn−1, xn) son elementos no nulos de k[xn] entonces Q(c1, . . . , cn−1, xn, xn+1)
es polinomio no nulo en dos variables. Del caso r = 2 tenemos que existe
cn ∈ k no nulo tal que Q(c1, . . . , cn−1, cn, xn+1) es un polinomio no nulo de
k[xn+1]..
Lema A.61. Sea P (x1, · · · , xr) un polinomio no nulo. Entonces
Q(y1, · · · , yr−1, xr) = P (y1.xr, · · · , yr−1xr, xr)
es un polinomio no nulo en las variables (y1, · · · , yr−1, xr).
Prueba. Como P es un polinomio no nulo entonces el grado de P respecto
a alguna variable xk es no nulo. Si el grado de P respecto de xk para k < r
es positivo entonces el grado de Q respecto a yk es también positivo. Por lo
tanto Q(y1, · · · , yr−1, xr) es un polinomio no nulo. Si el grado de Q es cero
con respecto a las variables xk para todo k < r entonces P = P (xr) = Q(xr)
es un polinomio no nulo.
Corolario A.62. Sea P (x1, . . . , xr) polinomio no nulo. Entonces existen constantes
λi para i = 1, . . . , r − 1 todas no nulas tal que el polinomio
es no nulo.
P (λ1xr, . . . , λr−1xr, xr) ∈ k[xr]
193

Prueba. Del Lema A.61 tenemos que
Q(y1, · · · , yr−1, xr) = P (y1 · xr, · · · , yr−1 · xr, xr)
es un polinomio no nulo. Entonces del Lema A.60 tenemos que existen constantes
λi para i = 1, . . . , r − 1 todas no nulas tal que Q(λ1, · · · , λr−1, xr) es
polinomio no nulo. Por lo tanto P (λ1xr, . . . , λr−1xr, xr) es un polinomio no
nulo, donde las constantes λi ∈ k son todas no nulas. .
194

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