PhD Thesis

Ejemplo 1.67. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal. Definamos
N = ⊕ r i=1R · ei y el complejo
K(f1, . . . , fr) = ∧N =
r
∧ p N,
donde d(ei1 ∧ . . . ∧ eik ) = r j=1 (−1)j−1d(eij )ei1 ∧ . . . ∧ eij ∧ . . . ∧ eik , con
d(eij ) = fj. El producto en K(f1, . . . , fr) se define como ω·η := ω∧η. También
se prueba que el diferencial d cumple d(ω ∧ η) = d(ω) ∧ η + (−1) |ω| ω ∧ d(η).
Observación. Notemos que si V = ⊕ r i=1k · ei entonces N = R ⊗ V y K ∼ =
R ⊗ ∧V como álgebras graduadas. Más aún K(f1, . . . , fr) = ⊗ r i=1K(fi). A
continuación presentaremos un teorema que será pieza fundamental en las
propiedades que presentamos en el segundo Capítulo. Este Teorema se llama
criterio de exactitud y es enunciado a continuación
Teorema 1.68. Sea A un anillo noetheriano. Un complejo de longitud finita
de módulos libres (de tipo finito)
M : 0 M0
p=0
M1
Mn
. . . 0
es exacto excepto posiblemente en el nivel 0 si al localizar en cada primo P
de profundidad(P ) ≤ n − 1, MP es exacto salvo el nivel cero.
Prueba. Corolario 1.4.14 de [BH].
Corolario 1.69. Sea
M : 0
0 M
1 M
. . .
m M
. . .
un complejos de módulos libres f.g. y H i (MP ) = 0 para todo P con ht(P ) <
m, entonces H i (M) = 0 para todo i < m
Prueba. Se sigue del teorema anterior.
Para ilustrar su uso presentamos la demostración del siguiente lema.
Lema 1.70. Sea (R; η) es un anillo r.l.e.t.f. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 donde
{f1, . . . , fr} es una secuencia regular entonces H i (K(f1, . . . , fr), d) = 0 para
todo i = m y H r (K(f1, . . . , fr)) = R/〈f1, . . . , fr〉.
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