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Como<br />
M/N<br />
η · M/N<br />
= M<br />
N<br />
⊗ R/η,<br />
entonces M/N = η(M/N). El lema de Nakayama (ver Corolario 4.8 [Eis])<br />
nos indica que M/N = 0, es decir M = N. Por lo tanto dx1, . . . , dxm generan<br />
Ω 1 R . Supongamos por contradicción que los generadores dx1, . . . , dxm no<br />
son R−linealmente independientes entonces tampoco son Q(R)−linealmente<br />
independientes (Q(R) es por definición el cuerpo de fracciones de R). Si usamos<br />
la Proposición A.54 tendríamos que los elementos x1, . . . , xm no son<br />
algebraicamente independiente. Esto significa que existe un polinomio no<br />
nulo P (z1, . . . , zm) tal que P (x1, . . . , xm) = 0, lo cual contradice al Lema<br />
A.53.<br />
<br />
Definición A.56. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y f ∈ η. Diremos que f es<br />
regular si R/ 〈f〉 es un anillo regular local.<br />
Lema A.57. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. f ∈ η es regular si y sólo si<br />
Jf = 〈1〉 .<br />
Prueba. Sea m = dim(R). Notemos que R/ 〈f〉 es esencialmente de tipo<br />
finito. Por definición f es regular si R/ 〈f〉 es un anillo regular local. Por lo<br />
tanto del Teorema A.23 afirmación 4) el elemento f es parte de una secuencia<br />
regular de parámetros x1 := f, · · · , xn. De la proposición anterior tenemos<br />
que dx1, · · · , dxn es una base de Ω 1 R . Por lo tanto en esta base Jf = R.<br />
Por otro lado si Jf = R entonces f ∈ η \ η 2 . En efecto si f ∈ η 2 entonces<br />
f = t<br />
i=1 xiyi donde xi, yi ∈ η. Si aplicamos la derivada universal tenemos<br />
df = t<br />
i=1 (dxiyi +xidyi). Como xi, yi ∈ η entonces se prueba que Jf ∈ η. Por<br />
lo tanto f ∈ η \ η 2 . Esto significa que f ∈ η<br />
η 2 es no nulo. Entonces f es parte<br />
de una base del espacio vectorial η<br />
η 2 . Sean v1 := f, v2 := f 2, · · · , vm := f m<br />
una base de η<br />
η 2 . Sean f, f2, · · · , fm representantes de las clases v1, · · · , vm e<br />
I := 〈f, f2, . . . , fm〉 . Como I := I+η2<br />
η 2<br />
= η<br />
η 2 , entonces I + η 2 = η. Es decir en<br />
el anillo R/I tenemos η = η 2 . Una aplicación del Lema de Nakayama prueba<br />
que I = η. Es decir f, f2, . . . , fm es un sistema regular de parámetros. Del<br />
Teorema A.23 afirmación 3) tenemos que R/ 〈f〉 es una anillo regular local.<br />
<br />
Observación. A continuación presentaremos una demostración del hecho<br />
que los anillos r.l.e.t.f. son suaves según se definen en 3.4.1 de Loday. Como<br />
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