PhD Thesis

σ
|σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , ap, ap+1, . . . , ap+q) :=
σ
|σ|(a0a ′ 0, a σ −1 (0), . . . , a σ −1 (p), a σ −1 (p+1), . . . , a σ −1 (p+q)),
donde σ recorre sobre las (p, q) barajas, y |σ| es el signo de la permutación,
ver [Lod, Definición 4.2.1].
Definición 1.45. Una k−álgebra se denomina no negativamente graduada si
A = ⊕ ∞ i=0Ai y x·y ∈ Ai+j para x ∈ Ai e y ∈ Aj. Si además x·y = (−1) |x||y| y·x
entonces A se denomina conmutativa graduada.
Proposición 1.46. El borde de Hochschild cumple
b(X ∗ Y ) = b(X) ∗ Y + (−1) |X| X ∗ b(Y )
Prueba. [Lod, Proposición 4.2.2].
Definición 1.47. Una k−álgebra diferencial graduada (A.D.G) se define
como un álgebra graduada con un morfismo ∂ : An → An−1 que cumple la
regla de Leibniz
∂(ab) = ∂(a)b + (−1) |a| a∂(b)
y es un diferencial, es decir ∂ ◦ ∂ = 0.
De la definición anterior tenemos la siguiente proposición
Proposición 1.48. Si A es una álgebra conmutativa entonces (C(A), ∗, b)
es un ADG y HH(A) es un álgebra conmutativa en el sentido graduado, es
decir xy = (−1) |x||y| yx
Prueba. [Wei, Proposición 9.4.2].
Corolario 1.49. Existe un morfismo de anillos graduados
ψ : Λ ∗ Ω 1 −→ HH∗(A),
dado por ψ(r0dr1 ∧ . . . ∧ dr) = [(r0 ⊗ r1) ∗ . . . ∗ (1 ⊗ rn)]. Si Q ⊂ k entonces
la aplicación es inyectiva.
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