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En la secuencia exacta larga asociada · · · H t (Lj) t−1 H (Dj) Ht (Dj) π∗ t−1 H (Dj−1) π ∗ Ht (Dj−1) · · · tenemos que π∗ = 0 (Corolario 1.108). De aquí se desprende la secuencia exacta 0 t−1 H (Dj−1) H t (Lj) Ht (Dj) De la secuencia exacta larga asociada a la secuencia (3.5) para los últimos niveles obtenemos H m−1 (Lj) H m (Lj) m−1 H (Dj) Hm (Dj) 0. π∗ m−1 H (Dj−1) π ∗ Hm (Dj−1) Como π ∗ = 0 entonces H m (Dj−1) = 0 para todo j ≥ m − 1. Esto significa que H m (Dj) = 0 para j ≥ m − 2. Por lo tanto 3.3. Ejemplos. H m−1 (Dj−1) H m (Lj). Esta sección esta orientada a presentar la cohomología de los complejos Dj para el caso de curvas complejas inmersas en dimensión 3. Como se observa en el Ejemplo 2.67 todas ellas son quasihomogéneas. Por lo tanto podemos aplicar los cálculos de la sección anterior. Ejemplo 3.13. Este ejemplo recopila los cálculos del capítulo anterior para el caso r = 2. 131 0
Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0 para todo t ≤ j − 1 (Proposición 3.10). Un cálculo directo muestra que H j (Dj) = Ω j A /dΩj−1 A . Si j ≥ m − 2 entonces Ht (Dj) = 0 para todo t ≤ m − 2 − 1 (ver /dΩm−3 A , . Proposición 3.10). Un cálculo muestra que H m−2 (Dm−2) = Ω m−2 A y que H m−1 (Dm−1) = Ω m−1 A /dΩm−2 A De la Proposición 3.11 tenemos que H m−2 (Dj) = H m−2 (Lj) para todo j > m − 2, y Hm−2 (Dm−2) = Ω m−2 A /dΩm−3 A . Notemos que hemos calculado todos los módulos de cohomología de los complejos Dj para t ≤ m − 2, y todo j. Sea j > m − 1. Si m − 2 < t < m entonces t = m − 1. De la Proposición 3.12 se sigue que H m−1 (Dj) = H m (Lj+1). De la Proposición 3.12 con t = m − 1 obtenemos H m−1 (Lj) 0 m−1 H (Dj) m−2 H (Dj−1) Sabemos que H m−2 (Dj) = H m−2 (Lj) para todo j > m − 2 ( ver Proposición 3.11). Por lo tanto tenemos las siguiente secuencia exacta corta 0 m−2 H (Lj−1) Como espacio vectorial tenemos m−1 H (Lj) 0. H m−1 (Dj) Hm−1 (Lj) H m−2 (Lj−1) . Si usamos la Proposición 3.12 tenemos que Como sabemos (Proposición 3.12) para todo j. Por lo tanto si j < m H m−1 (Dj) H m (Lj). H m (Dj) = 0, 132 m−1 H (Dj) 0.
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Resumen Sea A = R/I un anillo regul
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Índice general Introducción III 1
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Introducción En la presente tesis
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para valores j mayores que la dimen
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E 1 2,0 = T or2(Mk, R I ) E1 1,0 =
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En relación a la homología cícli
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atra´s nos permiten establecer el
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Otra forma de abordar el estudio de
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1.1. Homología de Hochschild En es
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Definición 1.5. Sean A una k-álge
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Observación. Notemos que todas las
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Observación. En esta tesis trabaja
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〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano
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En efecto, como df = Σi=1,...,mfid
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σ |σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , a
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1.2. Homología Cíclica. Presentam
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Prueba. Es suficiente tomar la secu
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Definamos los módulos HHn(A) ˜ :=
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Observación. De las definiciones a
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Prueba. La demostración se basa en
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La homología cíclica del A.D.G (A
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entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 M
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Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y
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donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a
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concluimos la prueba del lema. Una
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Sean x, y elementos en ∧V. Sin pe
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con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el
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Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
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indicando con ello que θ ′ 1 es
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Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
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y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
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donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
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para convertir a los polinomios f1,
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términos de cohomología no nulos.
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tal que η j · M = 0. En el caso q
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Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3
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Supongamos que el Lema se cumple pa
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De aquí se tiene que ht(JF ) = m
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Prueba. Nuevamente como W tiene a l
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(ver Proposición A.38 del Apéndic
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es un polinomio no nulo (ver Lema A
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Lj : 0 IjΩ0 R Ij+1Ω0 R dDR I
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donde δ(y (a1) 1 . . . y (ar) r y
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donde df denota la imagen de df ∧
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Observación. Notemos que Lm+p = L
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en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por
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para todo i (ver [Wei, Aplicación
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Observación. Notemos también que
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Prueba. Del Corolario anterior tene
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Por lo tanto fk,j = s gk,iλi,j, es
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Como M/N η · M/N = M N ⊗ R/η,
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esta bien definida. Más aún si x
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Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (
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Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
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[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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