PhD Thesis

Definición A.9. Sea (R, η) un anillo local. La colección (x1, . . . , xn) se denomina
secuencia regular (o secuencia R-regular) si sólo sí la aplicación
xi : R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 −→ R/ 〈x1, . . . , xi−1〉
definida por a ↦→ xi · a es inyectiva para todo i = 1, . . . , n, y además
〈x1, . . . , xn〉 = R.
Corolario A.10. Si x1, . . . , xn es un secuencia regular de parámetros en un
anillos regular local entonces x1, . . . , xn es una secuencia regular.
Prueba. [Eis, Corolario 10.15.]
Nota. Del hecho que :
Divcero(R) =
donde Pi son los primos minimales; se prueba que la definición anterior significa
que xi no se encuentra en ningún primo minimal del anillo R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 .
Definición A.11. Sea (R, η) un anillo local. Definamos la filtración I-ádica
como la cadena
R = I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . . ,
y su anillo graduado como
gr I (R) = In
.
In+1 Para una definición más general ver [Mats.,10.c].
Observación. El anillo graduado definido anteriormente caracteriza las secuencias
regulares de la siguiente manera :
Teorema A.12. Sea (R, η) un anillo local y a1, . . . , as elementos en η. Definamos
J = 〈a1, . . . , as〉 . Entonces a1, . . . , as es una secuencia regular si y
sólo si
(R/J)[x1, . . . , xs] gr J (R).
Prueba. [Mats, Teorema 33].
Definición A.13. Sea (R, η) un anillo local, por definición la longitud máxima
de las cadena de secuencias regulares del anillo (R, η) se denomina profundidad
del anillo R y se escribe como profundidad(R).
170
i
Pi