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Teorema 1.3. Si A es una k−álgebra unital, proyectiva como k−módulo, entonces para todo A−bimódulo M se cumple H(A, M) = T or Ae n (M, A) Prueba. [Lod, Proposición 1.1.13]. Ejemplo 1.4. Sea k un cuerpo de característica cero y A = k[x] remos el complejo C : 0 Ae Ae ·u ·v . . . 〈x n+1 〉 . Conside- con u = x⊗1−1⊗x y v = xn ⊗1+x n−1 ⊗x+. . . 1⊗x n . Bajo el isomorfismo Ae k[x,y] 〈xn+1 ,yn+1 〉 tenemos que u = x−y, v = n i=0 xn−iyi . Es decir, el complejo C se escribe C : 0 k[x,y] 〈x n+1 ,y n+1 〉 k[x,y] 〈xn+1 ,yn+1 ·u ·v . . . 〉 Es claro que u · v = v · u = 0. Ahora si p(x, y)u ∈ 〈x n+1 , y n+1 〉 , entonces p(x, y)u = αx n+1 + βy n+1 = αx n+1 − αy n+1 + (β − α)y n+1 . Como u divide a α(x n+1 −y n+1 ) y no a y n+1 entonces u divide β −α, es decir, existe δ tal que u · δ = β − α y por lo tanto p(x, y) = α · v + δ · y n+1 ∈ 〈v〉 + y n+1 . Esto nos permite afirmar que p ∈ 〈v〉 en Ae y garantiza la exactitud de C en grados impares. La exactitud de C en grados pares se verifica de manera similar. Con esto queda claro que C es una resolución de A como Ae módulo. Si aplicamos el functor A⊗Ae, obtenemos 0 A A . . . A A . . . 0 (n+1)x n 0 (n+1)x n Un cálculo directo muestra que HHi(A) = T orAe i (A, A) = A 〈xn si i es impar y 〉 que HHi(A) = (0 : xn ) = Ker(·xn ) si i es par. En grado cero HH0(A) = A. Se sigue que si n ≥ 1 entonces dimk(HHn(A)) = dimk(HHn+1). 3
Definición 1.5. Sean A una k-álgebra unital y A = A. Definimos el complejo k C(A, M) : 0 M b M ⊗ A b . . . . . . Proposición 1.6. Sea (D, b) el complejo D : 0 D0 b M ⊗ A ⊗n M ⊗ A ⊗n+1 b . . . b b D1 b Dn b Dn+1 . . . b . . . Donde Dn = {(m, a1, . . . , an) : ∃i con ai ∈ k} . Entonces (D, b) es acíclico. Más aún Cn(A,M) Dn = Cn(A, M) y por lo tanto π : C(A, M) → C(A, M) es un quasi-isomorfismo. Prueba. [Lod, Proposición 1.1.15]. Definición 1.7. Una k−derivación de A en M es una aplicación k−lineal D : A −→ M, que cumple la regla de Leibniz D(ab) = aD(b) + D(a)b. Ejemplo 1.8. Sea A = k[x1, . . . xm] entonces ∂ ∂xi i = 1, . . . , m. es una derivación para todo Definición 1.9. Sea A una k−álgebra unital y A = A/k. Definamos Ω 1 A|k := A ⊗ A N , donde N es el A−módulo generado por {a0a1 ⊗ a2 − a0 ⊗ a1a2 + a2a0 ⊗ a1} , con la estructura de A−módulo obvia y d : A −→ Ω1 , d(a) = [1 ⊗ a]. A|k Lema 1.10. La derivación d : A → Ω1 es universal : para toda derivación A|k D : A → M existe un único morfismo f : Ω1 → M de A−módulos tal que A|k el diagrama conmuta. A d D Ω1 ∃!f A 4 M
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tal que η j · M = 0. En el caso q
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Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3
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De aquí se tiene que ht(JF ) = m
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Prueba. Nuevamente como W tiene a l
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es un polinomio no nulo (ver Lema A
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Lj : 0 IjΩ0 R Ij+1Ω0 R dDR I
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donde δ(y (a1) 1 . . . y (ar) r y
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donde df denota la imagen de df ∧
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Observación. Notemos que Lm+p = L
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en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por
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para todo i (ver [Wei, Aplicación
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. . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
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Notemos que puede ocurrir que ai
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2.2.3. Cálculo de la Homología de
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como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
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Prueba. Sea P un ideal primo en el
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Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
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Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
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Con esta notación el bicomplejo L
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Teorema 2.62. Existe una secuencia
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intercambiar el rol de f por el de
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Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1
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son cero, para todo p ≥ 1. En efe
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2.3. Homología de Hochschild para
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Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L
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Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 .
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y a1 1 · · · yar r ω → y a1 1
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Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo
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En el caso que el ideal I = 〈f, g
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para todo i = m − r + 1. Del crit
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En general los módulos de cohomolo
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Capítulo 3 Homología Cíclica. Lo
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el complejo Lj tiene cohomología c
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para todo t ≤ m − r − 2. Si t
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3.2. El Caso Quasihomogéneo En est
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tomamos la secuencia exacta larga
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Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0
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Observación. Del Capítulo anterio
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Prueba. El Lema 3.15 nos permite as
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Definamos el número de Milnor de l
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entonces en el anillo R/Jf,g tendr
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. . . . B d Ω2,1 B . d Ω1,1
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Como lím 1 H( ˆ Dj) = 0 entonces
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. . . Ωm−1 · x · xp+2 ⊕ Ω
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El complejo L ′ m+p se escribe co
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Lema 3.28. El morfismo β restricto
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Si z = ωxiyj y ∈ (E ′ m+p(0))t
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Gr(H m (Γ(f, g))) = ⊕p≥0H m (E
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F y una filtración del mismo. Del
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Prueba. Por definición (E ′ m+p(
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[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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