PhD Thesis

Prueba. Es suficiente tomar la secuencia exacta larga en homología de
0
(C∗(A), b)
(CC∗(A), b + B)
(CC∗−2(A), b + B)
Observación. Es claro que si f : A → A ′ es un morfismo de k−álgebras entonces
este induce un morfismo de complejos CCn(f) : CCn(A) → CCn(A ′ ).
A continuación veremos la homología cíclica en el caso suave
Lema 1.61. Sea A una k−álgebra conmutativa con unidad. Entonces el diagrama
ψ
HHn(A)
Ω n A/k
d
Ω n+1
A|k
ψ
B
HHn+1(A),
donde ψ(r0dr1 ∧ . . . ∧ dr) = [(r0 ⊗ r1) ∗ . . . ∗ (1 ⊗ rn)], es conmutativo.
Prueba. [Wei, Lema 9.8.10].
Observación. La aplicación (1/n!)π de Loday Quillen induce un morfismo
de bicomplejos.
.
A ⊗ A 2
b
A ⊗ A
b
A
B
B
.
A ⊗ A
B
b
A
.
A
(1/n!)π
−→
.
Ω2
0
Ω1
0
Ω0
d
d
.
Ω1
Ω0 d
.
Ω0
0
(1.3)
En el caso suave usando el hecho de que ψ en cada columna induce un
isomorfismo Ω n A HHn(A) (ver Teorema 1.51) tenemos :
Teorema 1.62. Si A es un álgebra e.t.f suave sobre k entonces
HCn(A) = Ωn A
dΩ n−1
A
18
⊕ H n−2
DR (A) ⊕ . . .