PhD Thesis

Prueba. Del Corolario anterior tenemos que todo menor de orden c de la
matriz C se escribe como combinación lineal de menores de orden c de la
matriz B por lo tanto C ⊆ B. Como A es invertible de igual forma se prueba
que B ⊆ C.
A continiación veremos que el ideal jacobiano no depende de la base del
módulo Ω1 R que se elija.
Corolario A.50. La definición anterior del ideal jacobiano de I = 〈f1, . . . , fr〉
no depende de la base de Ω 1 R que se tome. Es decir, si {e′ 1, . . . , e ′ m} es otra
base del módulo Ω 1 R donde la matriz Jac(F ) = (f ′ i,j), entonces JF = J ′ F ,
donde J ′ F es el ideal generados por los menores de orden c de la matriz (f ′ i,j).
Prueba. Sea A : Ω1 → Ω1 la matriz de cambio de la base {e1, . . . , em} a
la base {e ′ 1, . . . , e ′ m}, es decir A · ei = e ′ i. Notemos que A es invertible pues
si definimos A ′ : Ω1 R → Ω1 R como A′ (e ′ i) = ei tenemos que A · A ′ = Id, y
A ′ · A = Id.
Por otro lado si
m
entonces
dfj =
k=1
A(ej) = e ′ j =
m
i=1
m m
(
f ′ i,je ′ i =
i=1
f ′ 1,1 f ′ 1,2 . . . f ′ 1,r
. . . . . . . . . . . .
f ′ m,1 f ′ m,2 . . . f ′ m,r
m
i=1
i=1
f ′ i,j(
ak,if ′ i,j)ek =
ai,jei
m
ak,iek) =
k=1
m
k=1
fk,jek.
En lenguaje matricial esto significa tener la siguiente igualdad
A·
⎛
⎝
⎞
⎠ =
⎛
⎝
f1,1
. . .
f1,1
. . .
. . .
. . .
f1,r
. . .
fm,1 fm,2 . . . fm,r
Donde A = (ai,j) es invertible y A(ej) = m
i=1 ai,jei. Por lo tanto el Corolario
A.49 con n = r prueba que
JF (e1, . . . , em) = JF (e ′ 1, . . . , e ′ m).
Notemos que no existe restricción sobre el número r con respecto a m.
Es decir puede suceder que r sea igual, mayor o menor que m = dim(R)
(ver Corolario A.47).
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⎞
⎠ .