PhD Thesis

y a1
1 · · · yar r ω → y a1
1 · · · y ar−1
r−1 yar−1 r
dfr ∧ ω. De aquí se desprende que
(B∗,t, dfr) =
|a|=p+t
y a1
1 · · · y ar−1
r−1 K(dfr) ≤m−t
Como fr tiene una singularidad aislada entonces H i (K(dfr)) = 0 para
todo i = m. De la definición del complejo de Koszul se sigue que
H m−t Ω
(K(dfr)) =
m−t
dfr ∧ Ωm−t−1 Por lo tanto será suficiente demostrar que
dfr ∧ Ω t−1 dfr ∧ Ω t .
En efecto, definamos el morfismo
dfr :
Ω t
Ω t
dfr ∧ Ω t−1 −→ dfr ∧ Ω t .
como ω → dfr∧ω. Es claro que la aplicación es sobre. Veamos la inyectividad.
Si df ∧ ω = 0, como fr tiene una singularidad aislada, entonces ω = df ∧ ω1
Ω (ver Corolario 2.6). Por lo tanto ω = 0 en el módulo
t
dfr∧Ω t−1 .
Lema 2.75. El complejo (M ′ , δ) tiene cohomología cero en todo nivel excepto
en grado m − r + 1.
Prueba. Es claro que M ′ es un complejos de módulos libres de longitud
m − r + 1. Si empleamos el criterio de exactitud debemos demostrar que :
) = 0
para todo primo P tal que ht(P ) < m − r + 1 se tiene que Hi (M ′ P
para todo i = m − r + 1. En efecto sea P un primo con tales características.
Como ht(JF ) = m − r + 1 entonces P no contiene al ideal jacobiano JF . Por
lo tanto el complejo (L ′ m+p)P es exacto.
Por otro lado como el complejo M ′ se escribe como
. . .
B2,r
. . .
· · ·
∂
dfr dfr
B1,r
. . .
B1,m−1
∂ ∂
dfr dfr
dfr
B0,r
. . .
B0,m−1
B0,m
∂ ∂
112
(2.25)