PhD Thesis

Lema 1.104. Sea j en los naturales entonces ξ j ∗ (L ′ j, δ) ⊗A0 K(f1, . . . , fr)
con I = 〈f1, . . . , fr〉 .
Prueba. Basta formalizar el análisis anterior.
Como lo indicamos líneas atrás bajo de la hipótesis que el ideal I sea
R.
Notemos que aquí es-
intersección completa tenemos que ξj ∗ (L ′ j, δ) ⊗A0 I
tamos proporcionando el quasiisomorfismo entre ξj ∗ y cierto complejo Lj. Este
quasiisomorfismo será fundamental en la prueba de la descomposición de la
homología de Hochschild y cíclica. Para continuar daremos algunas definiciones.
Definición 1.105. Sea A0⊗∧V el complejo de Koszul con ∂(V1) = (f1, . . . , fr)
una secuencia regular, definamos los complejos
y
Lj : 0
Dj : 0
IjΩo R
Ij+1Ωo R
Ω0R Ij+1Ω0 R
dDR dDR
I j−1 Ω 1 R
I j Ω 1 R
dDR dDR Ω
1 R
IjΩ1 R
dDR
. . .
dDR
. . .
dDR
dDR
IΩ
j−1
R
I 2 Ω j−1
R
Ω
j−1
R
I 2 Ω j−1
R
Ω j
dDR R
IΩ j
R
Ω j
dDR R
IΩ j
R
Teorema 1.106. Sea (A0 ⊗ ∧V, ∂) el complejo de Koszul e I = 〈f1, . . . , fr〉
una intersección completa local. Entonces los complejos (ξ j , δ, β) y (ξ j
j+k
son quasisomorfos a L 2j−∗
j
y D 2j−∗
j
, δ)k≥0.
Prueba. Formalicemos el quasi isomorfismo que dimos anteriormente de la
siguiente manera : Definamos
como
ϕ j m(w·x·v1 · · · vj−h−i) =
ϕ j m−j
m :
h=0
ξ j−h
m−2h −→
Ω2j−m
I m−j+1 Ω 2j−m
0 si grado(x) ≥ 1
(−1) j−h−i w · x · ∂(v1) . . . ∂(vj−h−i) en otro caso
(1.5)
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