PhD Thesis

Lema 2.57. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y K ′ el complejo
Ω 0
df
1 Ω
df
m−2 · · · Ω df
Si f tiene una singularidad aislada en η entonces
y H i (K ′ ) = 0 si i = m − 1.
Prueba. Definamos la aplicación
H m−1 (K ′ ) Jf,
m−1 Ω .
df : Ωm−1
df ∧ Ω m−2 −→ JfΩ m Jf
de la siguiente manera ω ↦→ df ∧ ω. La buena definición se sigue del hecho
que df ∧df = 0. Si identificamos Ω m con el anillo R entonces df ∧Ω m−1 = Jf.
Por lo tanto la aplicación ω ↦→ df ∧ ω es sobre. Sea df ∧ ω = df ∧ ω = 0.
La hipótesis que f tiene una singularidad aislada en η es equivalente a que
H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m. Por lo tanto si df ∧ω = 0 entonces
ω = df ∧ ω0. Es decir ω = 0.
Observación. A continuación calculamos los módulos de cohomología de
los complejos Cp+1. Dicho cálculo se basa en la filtración por columnas del
complejo Lm+p, secuencia exacta 2.17 y en el isomorfismo 2.18.
Lema 2.58. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f, g〉 una icis. Si f y g
tienen una singularidad aislada en η entonces
Gr(H m−1 (Cp+1)) = Jf
p+1
(Jf)i ,
donde (Jf)i = Jf.
Jf,g
Prueba. La prueba será por inducción sobre k para valores de k 0.
Sea k = 0. Si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología en la
secuencia
obtenemos
0
0
m−1 ′ H (K )
′ K
C1
m−1 H (C1)
91
C0
i=1
0
m−1 H (C0)
0.