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(fi,j), donde dfj = Σ m i=1fi,jei. Por definición el ideal jacobiano JF es el ideal<br />
generado por los menores c × c de Jac(F )<br />
<br />
= (fi,j).<br />
<br />
En particular, si F = f,<br />
∂f<br />
y R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm) entonces Jf =<br />
.<br />
∂xi<br />
i=1,...,m<br />
Observación. Notemos que de la definición del ideal jacobiano se tiene que<br />
si f ∈ R y df = m<br />
i=1 fiei entonces Jf = 〈f1, . . . , fm〉 . Más aún df ∈ Jf · Ω 1 R .<br />
Observación. Una propiedad que usaremos más adelante es el hecho que<br />
todo menor M de orden r × r de la matriz Jac(F ) esta contenido en el ideal<br />
JF (ver Corolario 1.40). Para demostrar esta afirmación es suficiente notar<br />
que c ≤ r (ver Teorema 1.18), y que los menores de orden r son combinación<br />
lineal de los menores de orden c de (fi,j).<br />
Observación En el caso particular que R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm), I =<br />
(f1, . . . , ft) y la base elegida sea dx1, . . . , dxm tenemos que la matriz jacobiana<br />
de I coincide con la matriz jacobiana que se define en [Hart.,Cap 1, & 5]. Más<br />
aún, si definimos I(Y ) := {f ∈ k[x1, . . . , xn] : f(x) = 0 para todo x ∈ Y },<br />
como el ideal de Y, donde Y = Z(a), entonces podemos definir :<br />
Definición 1.30. Sea Y una variedad afín y {f1, . . . , ft} generadores de ideal<br />
de Y . La variedad Y es no singular en P ∈ Y si el rango de la matriz ( ∂fi<br />
∂xj )<br />
en P es m − r, donde r es la dimensión de Y. (ver [Hart., & 5]).<br />
Podemos asumir que P es el origen. La condición que la matriz ( ∂fi<br />
∂xj )<br />
tenga rango c := m − r equivale a que al menos un menor de orden c × c sea<br />
unidad en k[x1, . . . , xm](x1,...,xm).<br />
Por lo anterior el punto P = 0 es singular si JF ⊆ η = 〈x1, . . . , xm〉 . Es<br />
decir todo menor de orden c × c de JF al ser evaluado en P = (0, . . . , 0) es<br />
cero.<br />
Ejemplo 1.31. Sea f = x 2 + y 3 + z y g = x 4 z + y en k[x, y, z](x,y,z), entonces<br />
(k[x, y, z]/ 〈f, g〉)(x,y,z) es regular local.<br />
Observación. Los ejemplos anteriores se pueden deducir de un hecho conocido<br />
en geometría algebraica : Sea Y = Z(a) una variedad e I(Y ) el ideal<br />
de esta. Se prueba que I(Y ) = √ a. Sea F = (f1, . . . , ft), donde I(Y ) =<br />
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