PhD Thesis

tenemos que existe as tal que ηs+1 = dg ∧ as−1 + df ∧ as ∈ IΩ m−1 . En efecto
de hipótesis inductiva si tiene
−dg ∧ as−2 = ηs + df ∧ as−1
(2.23)
con ηs ∈ IΩ m−1 . Es decir ηs = η 1 s · f + η 2 s · g . Si aplicamos dg∧ a (2.23)
tenemos
dg ∧ (ηs + df ∧ as−1) = 0. (2.24)
Como ηs ∈ IΩ m−1 entonces ηs = f · η 1 s + g · η 2 s. Como Jg ⊂ Jf, se tiene que
dg ∧ ηs = df ∧ ηs+1, para algún ηs+1 ∈ IΩ m−1 . Por lo tanto la ecuación (2.24)
se escribe como
df ∧ (ηs+1 − dg ∧ as−1) = 0.
Como H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m, existe as tal que
ηs+1 = dg ∧ as−1 + df ∧ as ∈ IΩ m−1 .
Esto finaliza la inducción y demuestra que
dg ∧ al−2 + df ∧ al−1 = ηl ∈ IΩ m−1
R
para todo l = 1, . . . , p. Esto significa que
[(0, . . . , dg ∧ w1)] = [(df ∧ ap+1 + dg ∧ ap . . . , df ∧ a2 + dg ∧ a1, df ∧ a1)] = 0.
Observación. A continuación, bajo la hipótesis Jg ⊂ Jf, describiremos los
módulos de cohomología del complejo Ep.
Lema 2.66. Si Jg ⊂ Jf entonces
.
Gr(H ∗ (Ep)) =
p
(T orm−∗(R/I, R/Jf))i
i=0
Prueba. Demostraremos que los morfismos conección de la secuencia exacta
corta
(Ω ∗ , df)
Ep+1
Ep
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