PhD Thesis

cíclica es isomorfa a la homología del bicomplejo B(A)
B(A) : .
b
A ⊗ A 2
b
A ⊗ A
A
B
B
.
b
A ⊗ A
donde A = A/k y B(a0, . . . , an) = (−1) in (1 ⊗ ai ⊗ . . . an ⊗ a0 ⊗ . . . ai−1).
De manera más precisa tenemos el siguiente Teorema.
Teorema 1.57. Sea A una k−álgebra unital entonces
b
A,
HCn(A) = Hn(T ot(B(A))).
Prueba. Como el morfismo de álgebras π : A → A se extiende a un morfismo
de bicomplejos π : B(A) → B(A) y las columnas de B(A) y B(A) son
quasi isomorfas entonces las homologías de los complejos B(A) y B(A) son
isomorfas.
Ejemplo 1.58. Si A = k obtenemos HCn(k) es k en grado par y cero en
grado impar. De manera general tenemos
Proposición 1.59. Para toda k−álgebra conmutativa con unidad se cumple
HC1(A) Ω1 A
dA
Prueba. [Lod, Proposición 2.1.14].
Teorema 1.60. Dado una k−álgebra A existe una secuencia exacta larga
. . .
HCn−1(A)
HHn(A)
I
HCn(A)
17
.
b
A
S
HCn−2(A)
B
. . .