PhD Thesis

tal que η j · M = 0. En el caso que M = R/ 〈Jf, f〉 esto significa que existe
algún j tal que η j ⊂ 〈Jf, f〉 .
.
Corolario 2.5. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. El ideal I = 〈f〉 tiene una
singularidad aislada en η si sólo si ht(Jf) = ht(〈Jf, f〉) = m = dim(R).
Prueba. Del Lema 2.2, las equivalencias 1 y 2 de la Proposición anterior
y la aplicación directa de la definición de altura de un ideal obtenemos que
I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada en η si sólo si ht(Jf) = ht(〈Jf, f〉) =
m = dim(R).
Corolario 2.6. Si I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada entonces el complejo
de Koszul K(fx1, . . . , fxm) cumple H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo
i < m, y H m (K(fx1, . . . , fxm)) = 0.
Prueba. Del Corolario anterior se tiene que profundidad(Jf) = m. Esto
significa que Jf contiene a alguna secuencia regular de longitud m. Como
Jf = 〈fx1, . . . , fxm〉 donde df = m
i=1 fxi ei, la Proposición A.38 nos dice que
los elementos fx1, . . . , fxr forman una secuencia regular.
La propiedad del corolario anterior sólo se cumple en el caso local (ver
Ejemplo 2.7). Esta propiedad se usa en [Mich], cuando R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm),
para calcular de manera eficiente la homología de Hochschild para álgebras
de la forma R/ 〈f〉 .
Veamos el siguiente ejemplo de Michler :
Ejemplo 2.7. El polinomio f = (c+x)2y2 cx2 x3 + + 2 2 3 en (k [x, y] (x,y) , η), donde
c es un elemento no nulo del cuerpo, tiene una singularidad aislada en el
origen. Sus derivadas parciales { ∂f ∂f
, ∂x ∂x } = {(c + x)(x + y2 ), (c + x) 2y}, no
forman una secuencia regular en k [x, y] , [Mich, Ejemplo 2]. Sin embargo, en
el anillo local (k [x, y] (x,y) , η) si es una secuencia regular.
Interesados en el caso cuando el ideal I este generado por una secuencia
regular, daremos la siguiente definición.
Definición 2.8. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si f1, . . . , fr forman una secuencia
regular entonces diremos que el ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es intersección
completa.
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