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Cp+1 : .<br />
<br />
Ω m−2 <br />
2,p+2<br />
df<br />
<br />
Ω m−1 <br />
1,p+1<br />
dg<br />
. . .<br />
<br />
Ω m−2 <br />
2,p+1<br />
. ..<br />
<br />
<br />
df<br />
. .. Ω m−2<br />
<br />
<br />
dg 2,1<br />
. . .<br />
<br />
<br />
df<br />
Ω m−1<br />
1,0 Ω m−2<br />
<br />
<br />
dg 2,0<br />
. . .<br />
y podemos identificar la primera columna de la izquierda con el complejo K ′<br />
Ω 0<br />
df<br />
<br />
1 Ω<br />
df<br />
<br />
· · ·<br />
df<br />
<br />
m−2 Ω<br />
df<br />
<br />
m−1 Ω .<br />
Del Lema anterior se sigue que K ′ es exacto excepto en el último nivel.<br />
Si describimos el complejo Cp como un bicomplejo se tiene que<br />
Cp ∼ = Cp+1<br />
K ′<br />
(2.16)<br />
identificando Ω j<br />
s,t en Cp+1 con Ω j<br />
s,t−1 en Cp. Notemos que por definición el<br />
complejo Cp es el complejo L ′ m+p−1 cortado en grado m − 1. Por lo tanto<br />
tenemos la siguiente secuencia exacta corta de complejos.<br />
0<br />
<br />
′ K <br />
Cp+1<br />
<br />
Cp<br />
<br />
0. (2.17)<br />
Si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología obtenemos la secuencia<br />
exacta<br />
0<br />
Notemos que<br />
<br />
m−1 ′ H (K )<br />
<br />
m−1 H (Cp+1)<br />
<br />
m−1 H (Cp)<br />
<br />
0.<br />
C0 = L ′ m−1. (2.18)<br />
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