PhD Thesis

En el caso que el ideal I = 〈f, g〉 este generado por una secuencia regular
de longitud dos sabemos que
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jf
Jf,g
, R/I).
Con este resultado podemos calcular la dimensión de los módulos de cohomología
del complejo Lm−1; pues estos pueden ser calculados por ejemplo
por el programa Singular. También tenemos la secuencia exacta corta de
complejos
0
K(fx1, . . . , . . . fxm) ⊗ R/I
Lm+s
Lm+s−1
De la ecuación anterior podemos suponer por inducción que hemos calculado
la dimensión de los módulos de cohomología del complejo Lm+s. Notemos
que H m (Lm+s) es un espacio vectorial de dimensión finita; más aún es el coker
de una aplicación entre R−módulos libres donde el morfismo entre estos
se conoce. Para el término en nivel m − 2 sabemos que
H m−2 (Lm+s) = T or(H m−2 ((L ′ m+s) ≤m−1 , R/I)),
y su dimension es finita. Del teorema de clasificación podemos suponer que
K := K(fx1, . . . , fxm) es una resolución de R/Jf. Nuevamente de esta información
tenemos que
H ∗ (K ⊗ R/I) = T orm−∗(R/Jf, R/I).
La dimensión de todos los módulos anteriormente mencionados pueden ser
calculados por el programa Singular; debido a los resultados precisados líneas
atrás. Del análisis anterior es claro que la dimensión que nos falta calcular es
la del modulo H m−1 (Lm+s).
Proposición 2.78. Sea I = 〈f, g〉 una icis, entonces
dim(H m−1 (Lm+s)) = −dim(H m−2 (K ⊗ R/I))
+dim(T or(H m−2 ((L ′ m+s) ≤m−1 , R/I))) − dim(H m−2 (Lm+s−1))
+dim(H m−1 (K ⊗ R/I)) + dim(H m−1 (Lm+s−1))
−dim(H m (K ⊗ R/I)) + dim(H m (Lm+s)) − dim(H m (Lm+s−1)).
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0.