PhD Thesis

son cero, para todo p ≥ 1. En efecto si tomamos cohomología a la secuencia
anterior obtenemos la secuencia exacta larga
H m−2 (Ω ∗ , df)
H m−1 (Ω ∗ , df)
H m (Ω ∗ , df)
m−2 H (Ep+1)
m−1 H (Ep+1)
Hm (Ep+1)
m−2 H (Ep)
m−1 H (Ep)
Hm (Ep).
δ1
δ0
De la hipótesis Jg ⊂ Jf obtenemos que δ0 = 0. Veamos que δ1 = 0. En efecto,
con el mismo argumento que el Corolario 2.65, sea x = [(ηp, ηp−1, · · · , η1)] un
elemento en H m−2 (Ep) entonces
df ∧ ηp + dg ∧ ηp−1 = f · a + g · b
donde los elementos a, b se encuentran en el módulo Ω m−1 . Si aplicamos dg∧
a la igualdad anterior podemos escribir
dg ∧ df ∧ ηp = f · dg ∧ a + g · dg ∧ b.
Como Jg ⊂ Jf se tiene que dg ∧ a = df ∧ a ′ y dg ∧ b = df ∧ b ′ para algún
a ′ y b ′ en el módulo Ω m−1 . Más aún como dg ∧ df = −df ∧ dg, la igualdad
anterior se puede escribir
−df ∧ dg ∧ ηp = f · df ∧ a ′ + g · df ∧ b ′ .
Además H i (Ω, df) = H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m, entonces
dg ∧ ηp = −(f · a ′ + g · b ′ + df ∧ ω),
para algún ω ∈ Ω m−1 . Como δ1(x) = [dg ∧ ηp] = [−(f · a ′ + g · b ′ + df ∧ ω)]
entonces δ1(x) = 0.
Ahora, la secuencia
0
∗
(Ω , df)
Ep+1
nos da el isomorfismo de espacios vectoriales
Ep
H ∗ (Ep+1) H ∗ (Ω, df) ⊕ H ∗ (Ep).
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0