PhD Thesis

(ver Proposición A.38 del Apéndice). En efecto, como
〈g1, . . . , gr−1, fr〉 = 〈f1, . . . , fr〉
y ht(〈f1, . . . , fr〉) = r, entonces ht(〈g1, . . . , gr−1, fr〉) = r. Por lo tanto de la
desigualdad
ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1; fr〉) ≤ ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1〉) + 1
tenemos que ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1〉) ≥ r − 1. Por otro lado, el P.I.T (Teorema
1.18 del Apéndice) nos indica que ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1〉) ≤ r − 1.
Observación. A continuación generalizamos el Corolario 2.23. Mostramos
la siguiente propiedad : Si I = 〈fi; i = 1, . . . , r〉 es una icis, podemos elegir
generadores {gi; i = 1, . . . , r} de I de tal forma que cada 〈gi〉 tiene una
singularidad aislada.
Teorema 2.25. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis. Entonces
existen generadores g1, · · · , gr tal que I = 〈g1, · · · , gr〉 y cada gi tiene
una singularidad aislada en η.
Prueba. El proceso se desarrollará de manera inductiva sobre r ≥ 2 el
número de polinomios. Para dos polinomios es claro que se pueden elegir
representantes con estas características usando el Corolario 2.23.
Supongamos que el teorema se cumple para toda Ir = 〈fi; i = 1, . . . , r〉
icis. Sea Ir+1 = 〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 una icis. De la Proposición 2.3 podemos
fijar fr+1 y hallar elementos gi con i = 1, . . . , r, generadores de Ir+1 =
〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 de tal forma que Ir+1 = 〈gi, fr+1, i = 1, . . . , r〉 y el ideal
Ir = 〈gi : i = 1, . . . , r〉 sea una icis. De la hipótesis inductiva podemos asumir
que cada gi; i = 1, . . . , r tiene una singularidad aislada. Nuevamente para no
cargar la notación denotemos los gi por fi. Este análisis previo nos permite
afirmar que para Ir+1 = 〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 , al menos un generador
tiene una singularidad aislada en η; que sin perdida de generalidad podemos
suponer que es fr+1. Si fijamos este último y usamos la Proposición 2.24
podemos hallar nuevos generadores g1, . . . , gr tales que I ′ r = 〈gi; i = 1, . . . , r〉 ,
sea una icis e Ir+1 = 〈I ′ r, fr+1〉. De la hipótesis inductiva los generadores
de I ′ r = 〈gi; i = 1, . . . , r〉 , se pueden cambiar, sin cambiar el ideal, por
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