PhD Thesis

entonces todo menor C1 de orden c de C es combinación lineal de menores
de orden c de A.
Prueba. Sea C1 = (cij,ik ) una submatriz de orden c de C. Entonces existen
A1 = (aij,l) y B1 = (bt,ik ) matrices de orden c × n y n × c respectivamente
tal que
A1 · B1 = C1.
Una aplicación directa del Lema anterior finaliza la prueba. Notemos que
aún en el caso c > n se cumple el corolario. En efecto, si c > n entonces del
lema anterior tenemos que det(C1) = 0.
Observación. Notemos que para n puede suceder que n ≥ m o n < m y
lo mismo para s. Este comentario tiene su asidero en el Corolario A.50 y
Proposición A.51
Corolario A.48. Con las hipótesis del Lema anterior si
A · B = C
entonces todo menor de orden c × c de C es combinación lineal de menores
de orden c de la matriz B.
Prueba. Si tomamos transpuesta a la ecuación anterior tenemos
C t = B t · A t .
Si M es un menor de orden c de C entonces M es un menor de orden c de
C t . Por lo tanto M se escribe como combinación lineal de menores de orden
c de B t . Esto significa, que M es combinación lineal de menores de orden c
de la matriz B.
Corolario A.49. Sea A una matriz m × m invertible, B, C matrices de
orden m × n y c en los naturales tal que c ≤ m y c ≤ n. Si
A · B = C
entonces el ideal C generado por los menores de orden c de la matriz C es
igual al ideal B generado por los menores de orden c de la matriz B.
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