PhD Thesis

Por hipótesis ht(〈f, g, Jf,g〉) = m entonces se tiene que
ht(p) = m.
Corolario 2.21. Conservamos la notación del Lema anterior. Sea
i=t
Jf,g = (
i=1
qi) j=t
(
′
la descomposición primaria del ideal jacobiano, con √ qi = pi, q ′ j = p′ j, y
ht(pi) = m − 1, ht(p ′ i) = m. Entonces el número de elementos del conjunto
es menor o igual a t.
j=1
q ′ j)
W := {λ ∈ k : ht(Jλ) < m.}
Prueba. De la definición del determinante tenemos que Jf,g = Jhλ,g. De la
inclusión Jhλ,g ⊂ Jλ tenemos que Jf,g ⊂ Jλ. Esta última conclusión implica
la desigualdad ht(Jf,g) ≤ ht(Jλ). Como ht(Jf,g) ≥ m − 1 (ver Lema 2.16)
entonces ht(Jλ) ≥ m − 1. Por lo tanto suponer que ht(Jλ) < m equivale
asumir que ht(Jλ) = m − 1. Esto significa que
W = {λ : ht(Jλ) = m − 1} .
Del Lema anterior se desprende que cada Jλ con λ ∈ W está contenido en el
primo pi para algún i = 1, . . . , t.
Como cada pi contiene a lo más un Jλ (por que sino ht(pi) = m por el
Lema 2.20), el número de elementos de W es menor igual a t.
Proposición 2.22. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, I = 〈f, g〉 una icis. Entonces
existe h ∈ I tal que ht(Jh) = m
Prueba. Como el conjunto W tiene a lo más t elementos y k es un cuerpo
infinito entonces basta tomar h = hα con α /∈ W.
Nota. Del Corolario 2.21 se desprende que la mayoría (salvo tal vez un
número finito) de representantes de la forma f + λg cumple la tesis anterior.
Más aún, la Proposición 2.22 se puede optimizar de la siguiente manera:
Corolario 2.23. Sea (R, η) anillo r.l.e.t.f., I = 〈f, g〉 ideal de intersección
completa con una singularidad aislada en η. Entonces existe hα, hβ ∈ I tal
que ht(Jhα) = ht(Jhβ ) = m e I = 〈hα, hβ〉 .
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