PhD Thesis

A.2. Complejo Koszul
Nuestro principal interés se centra en presentar dos maneras distintas de
construir el complejo de Koszul K(x1, . . . , xn) (ver Definición A.35 y Corolario
A.40). Esta descripción nos permite aprovechar el estrecho lazo que
existe entre la propiedad que el complejo de Koszul sea exacto excepto en el
último nivel y que la secuencia x1, . . . , xn sea regular (ver Proposición A.36).
Definición A.31. Sea (R, η) anillo local, x ∈ R. Definamos el complejo de
cocadenas
K(x) : 0
x
R
R,
el cual llamaremos complejo de Koszul.
Notemos que si el elemento x es regular entonces H 0 (K(x)) = 0.
Definición A.32. Sean x, y ∈ R. Definamos el complejo
K(x, y) : 0
R
⎛
⎜
⎝
x
y
⎞
⎟
⎠
(−x,y)
R R
R
Observación. De la definición obtenemos que K(x, y) K(x) ⊗ K(y).
Notemos también que (a, b) ∈ ker(−x, y) si sólo sí −ax + by = 0. A su vez
esto equivale a que ax = by. Si x no es divisor de cero, estas equivalencias
nos permiten establecer un isomorfismo de módulos
ϕ : ker(−x, y) −→ (x : y)
definido de la siguiente manera ϕ(a, b) = b. Es claro que la aplicación esta
bien definida. La igualdad
ϕ(a, b) = ϕ(a ′ , b)
equivale a que x(a − a ′ ) = 0, y como x no es divisor de cero entonces a = a ′ .
Esto significa que ϕ es inyectiva. La sobreyectividad de ϕ se sigue de la
definición de (x : y). La linealidad de ϕ también es clara.
Un cálculo muestra que
x
ϕ(
y
· R) = 〈x〉 ,
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