PhD Thesis

3.2. El Caso Quasihomogéneo
En esta parte trabajamos sobre el anillo de polinomios k[x1, . . . , xm]. El
ideal I = 〈f1, · · · , fr〉 es generado por polinomios quasihomogéneos. Por lo
tanto el álgebra R/I es graduada.
Si el ideal I = 〈f1, · · · , fr〉 es generado por polinomios quasihomogéneos
entonces la única singularidad aislada aislada que pueden tener es el cero. Si
existiese otro punto x = (x1, . . . , xm) que fuese singular para los generadores
entonces los puntos λ·x también pertenecen al conjunto de puntos singulares
de f1, · · · , fr. En efecto es suficiente notar que fi(λ · x) = λd · fi(x), donde d
es el grado de quasihomogeneidad.
Sean A = R/I, y ˜ HC(A) = HC(A)/HC(k), en el caso quasihomogéneo
sabemos que
HC(A) = HC(k) ⊕ ˜
HC(A)
Más aún, en la secuencia SBI el morfismo S = 0 es nulo. Debido a esto
tenemos la secuencia exacta corta de k−espacios vectoriales
0
De esta secuencia se sigue que
HCn(A) ˜
Bn
HHn+1(A) ˜
In+1
HCn+1(A) ˜
HCn(A) ˜ = ker(Bn+1In+1 : ˜ HHn+1(A) → ˜ HHn+2(A)).
La homología de Hochschild localiza, es decir
HHn(A) ⊗ AT = HHn(AT )
para todo n, donde T es un conjunto multiplicativamente cerrado conteniendo
al uno (ver [Lod, Proposición 1.1.7]). Sea ζ un maximal en el anillo de
polinomios k[x1, . . . , xm] diferente de η el punto singular entonces Aζ es regular
y la homología de Hochschild es conocida para términos mayores que
dim(Aζ) es cero. Si ζ = η entonces La homología de Hochschild es no nula
para todo n > 0. Por lo tanto es suficiente analizar la secuencia anterior en
el anillo local
Aη = k[x1, . . . , xm]η/Iη.
Los resultados se resumen en el siguiente teorema
128
0.