PhD Thesis

1.2. Homología Cíclica.
Presentamos la definición así como las propiedades básicas de la homología
cíclica. Un hecho que queremos destacar es el cálculo de la homología
cíclica del álgebra graduada k[x]/〈x m+1 〉. En los dos libros básicos [Lod] y
[Wei] que citamos así como en [Vi] se encuentra planteado solamente.
Existen diferentes maneras de definir la homología Cíclica, nosotros partiremos
de un complejo simplificado.
Definición 1.55. Sea A una k álgebra unital. Definimos
B : A ⊗ A ⊗n −→ A ⊗ A ⊗n+1
por medio de B(a0, . . . , an) = (−1) in (1 ⊗ ai ⊗ . . . ⊗ an ⊗ a0 ⊗ . . . ⊗ ai−1) −
(−1) (i−1)n (ai−1 ⊗ 1 ⊗ ai ⊗ . . . ⊗ an ⊗ a0 ⊗ a1 ⊗ . . . ⊗ ai−2).
Se verifica que B ◦ B = 0 y B ◦ b + b ◦ B = 0.
Definición 1.56. Sea el bicomplejo B(A)
.
A ⊗ A⊗2
.
B
A ⊗ A
.
b
b
A ⊗ A
B
A
.
b
A
Definimos la homología Cíclica de A como HCn(A) = Hn(T ot(B(A), B + b)).
Observación. Es claro que la homología de las columnas de B(A) calculan
la homología de Hochschild de A. Si reemplazamos las columnas del complejo
B(A) por el complejo de Hochschild reducido obtenemos que la homología
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A