PhD Thesis

para todo i = m − r + 1. Del criterio de exactitud tenemos que el complejo
L ′ m−r+1 es una resolución de H m−r+1 (L ′ m−r+1). De aquí se sigue directamente
que
H ∗ (Lm−r+1) = T orm−r+1−∗(H m−r+1 (L ′ m−r+1), R/I).
Observación. El resultado anterior es una generalización del cálculo obtenido
por [Mich]. Supongamos que en I = 〈f, g〉 el generador f tenga una singularidad
aislada. Cuando r = 2 obtenemos
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗(H m−1 (L ′ m−1), R/I) = T orm−1−∗( Jf
Jf,g
, R/I).
Lema 2.80. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis y s > m−r +1 un entero entonces
H m−r (Ls) = T or1((L ′ s) ≤m−r+1 , R/I).
Prueba. El complejo (L ′ s) ≤m−r+1 tiene longitud m − r + 1. Sea P un ideal
primo de altura menor que m − r + 1. Como ht(JF ) = m − r + 1 entonces
P JF . Del Corolario 2.70 esto significa que H i ((L ′ s)P ) = 0 para todo
i = s ≤ m, si s > m entonces Ls es exacto. Como
H t (((L ′ s) ≤m−r+1 )P ) = H t ((L ′ s)P ) = 0
para todo t < m − r + 1 entonces el complejo H i (((L ′ s) ≤m−r+1 )P ) = 0
para todo i = m − r + 1. Por lo tanto (L ′ s) ≤m−r+1 es una resolución de
H m−r+1 ((L ′ s) ≤m−r+1 ). Como Ls = L ′ s ⊗ R/I, entonces
H m−r (Ls) = T or1((L ′ s) ≤m−r+1 , R/I).
Observación. A continuación presentamos un algoritmo para calcular la
dimensión de los módulos de cohomología de una icis cuando el ideal I =
〈f1, . . . , fr〉 este generado por una secuencia regular de longitud r. De manera
precisa tenemos el siguiente teorema.
Teorema 2.81. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis, j > m−r+1 y t < j. entonces
dim(H t (Lj(f1, . . . , fr))) = ±(dim(H m−r (Lj(f1, . . . , fr−1)))−
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